24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 点与圆的位置关系
1.(概念应用题)已知☉O的半径OA长为,若OB=,则可以得到的正确图形可能是(A)
2.(教材再开发·P101习题第1题改编)(2024·遵义红花岗区质检)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,斜边AB上的高为CD.若以点C为圆心,分别以r1=2,r2=2.4,r3=3为半径作圆,试判断点D与这三个圆的位置关系.
【解析】在Rt△ABC中,
根据勾股定理得AB=5,
则CD·AB=AC·BC,
解得CD=2.4.
①当r1=2时,2.4>2,点D在圆外;
②当r2=2.4时,点D在圆上;
③当r3=3时,2.4<3,点D在圆内.
知识点2 圆的确定
4.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.平面直角坐标系内的三个点A(1,0),B(0,-3),C(2,-3) 能 确定一个圆(填“能”或“不能”).
知识点3 三角形的外接圆与外心
6.☉O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的 (A)
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
7.(2023·黔西南州兴义市模拟)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为 .
知识点4 反证法
8.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾.②因此假设不成立.
∴∠B<90°.③假设在△ABC中,∠B≥90°.④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+
∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是 (D)
A.④③①② B.③④②①
C.①②③④ D.③④①②
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义绥阳县期末)在△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆心,1为半径作☉C,则 (A)
A.点M在☉C外 B.点M在☉C上
C.点M在☉C内 D.不能确定
10.三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是 (B)
A.4 B.5 C.6 D.8
11.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,点D是上一动点(不与A,C重合),下列结论:
①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(易错警示题)为说明命题“如果a>b,那么>”是假命题,你举出的反例是
a=2,b=1时,a>b,但 .
13.(2024·黔东南州期末)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M是平面内一动点,且满足BM=2,N为MD的中点,点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ≤CN≤ .
14.(素养提升题)小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论:P1P2=;他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是:x=,y=;
请利用上面的信息,解答下面的问题:
如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),☉M经过原点O及点A,B.
(1)求☉M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与☉M的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)∵∠AOB=90°,
∴AB是☉M的直径,
∵A(8,0),B(0,6),
∴AB==10,
∴☉M的半径为5,
由线段中点坐标公式x=,y=,
得x=4,y=3,∴M(4,3);
(2)点C在☉M上,
理由:∵C(1,7),M(4,3),
∴CM==5,
∴点C在☉M上.
易错点 忽视多解情况
【典例】△ABC是☉O的内接三角形,若∠AOC=100°,则∠ABC的度数等于
50°或130° . 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 点与圆的位置关系
1.(概念应用题)已知☉O的半径OA长为,若OB=,则可以得到的正确图形可能是( )
2.(教材再开发·P101习题第1题改编)(2024·遵义红花岗区质检)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,斜边AB上的高为CD.若以点C为圆心,分别以r1=2,r2=2.4,r3=3为半径作圆,试判断点D与这三个圆的位置关系.
知识点2 圆的确定
4.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.平面直角坐标系内的三个点A(1,0),B(0,-3),C(2,-3) 确定一个圆(填“能”或“不能”).
知识点3 三角形的外接圆与外心
6.☉O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的 ( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
7.(2023·黔西南州兴义市模拟)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为 .
知识点4 反证法
8.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾.②因此假设不成立.
∴∠B<90°.③假设在△ABC中,∠B≥90°.④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+
∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是 ( )
A.④③①② B.③④②①
C.①②③④ D.③④①②
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义绥阳县期末)在△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆心,1为半径作☉C,则 ( )
A.点M在☉C外 B.点M在☉C上
C.点M在☉C内 D.不能确定
10.三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
11.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,点D是上一动点(不与A,C重合),下列结论:
①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(易错警示题)为说明命题“如果a>b,那么>”是假命题,你举出的反例是
.
13.(2024·黔东南州期末)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M是平面内一动点,且满足BM=2,N为MD的中点,点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 .
14.(素养提升题)小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论:P1P2=;他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是:x=,y=;
请利用上面的信息,解答下面的问题:
如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),☉M经过原点O及点A,B.
(1)求☉M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与☉M的位置关系,并说明理由.
易错点 忽视多解情况
【典例】△ABC是☉O的内接三角形,若∠AOC=100°,则∠ABC的度数等于
.
