24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 切线长定理
1.(概念应用题)如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接OP,则下列判断错误的是 ( )
A.∠PAO=∠PBO=90°
B.OP平分∠APB
C.PA=PB
D.∠AOB=
2.(2024·黔南州期末)如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB的长是 ( )
A. B.2 C.2 D.3
3.(2023·安顺模拟)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(2024·南京期末)如图,PA,PB分别切☉O于A,B,PA=10 cm,C是劣弧AB上的点(不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F.则△PEF的周长为
cm.
知识点2 三角形的内切圆
5.已知△ABC的内心为P,则下列说法错误的是 ( )
A.PA=PB=PC
B.P在△ABC的内部
C.P为△ABC三个内角平分线的交点
D.P到三边距离相等
6.如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F.已知∠EDF=55°,∠C=60°,连接OE,OF,DE,DF,那么∠B等于 .
7.(教材再开发·P100例2改编)如图,△ABC外切于☉O,切点分别为D,E,F,∠A=60°,
BC=7,☉O的半径为.求:
(1)BF+CE的值;
(2)△ABC的周长.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图, PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,过C的切线分别交PA,PB于点E,D,若△PDE的周长为8,OP=5,则☉O的半径为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.不能确定
9.如图,圆O是等边三角形内切圆,则∠BOC的度数是 ( )
A.60° B.100°
C.110° D.120°
10.(2024·上海期末)若一个等边三角形的边长为2,则其内切圆与外接圆的半径分别为 ( )
A., B.,2
C.1, D.1,2
11.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+a2-8a=4-19,则△ABC的内切圆半径=
.
12.(2024·泉州期末)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为 .
13.(素养提升题)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数.
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
模型 见内心,连接内心和顶点得角平分线
如图,若已知点O是△ABC的内心,可连接OB,OC,则OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,进而能进行角度计算.24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 直线和圆的位置关系的判定
1.如图是“光盘行动”的宣传海报,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.平行
2.☉O的直径为10,圆心O到直线l的距离为3,下列位置关系正确的是 ( )
3.(2024·潍坊期末)在平面直角坐标系中,以点(3,2)为圆心,3为半径的圆与坐标轴的位置关系为 ( )
A.与x轴相切,与y轴相离
B.与x轴相交,与y轴相切
C.与x轴,y轴都相交
D.与x轴,y轴相离
4.已知☉O的面积为16π cm2,若点O到直线l的距离为π cm,则直线l与☉O的位置关系是 .
5.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,已知点A(4,0),AB=3,以C为圆心,4为半径作圆,则直线AB和☉C的位置关系为 .
知识点2 直线和圆的位置关系的性质
6.已知☉O的半径等于8 cm,圆心O到直线l的距离为9 cm,则直线l与☉O的公共点的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
7.(教材再开发·P96练习改编)直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为3,则r的取值范围是 ( )
A.r<3 B.r=3
C.r>3 D.r≥3
8.已知☉O的直径为10,直线a与☉O只有一个公共点,点P是直线a上的动点,则线段OP的最小值为 .
9.(2023·贵阳清镇市质检)已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点A为圆心,r为半径作☉A,
(1)当半径r为 时,☉A与BC相切;
(2)当半径r为 时,☉A与BD相切;
(3)当半径r的范围为 时,☉A与直线BC相交且与直线CD相离.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(2024·厦门期末)已知,☉O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的两根,圆心O到直线l的距离d=4,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
11.圆O的圆心到直线a的距离为3 cm,圆O的半径为1 cm,将直线a向垂直于a的方向平移,使a与☉O相切,则平移的距离是 ( )
A.1 cm B.2 cm
C.4 cm D.2 cm或4 cm
12.(2024·苏州期末)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的圆,下列结论中正确的是 ( )
A.点B在☉A内
B.直线BC与☉A相离
C.点C在☉A上
D.直线BC与☉A相切
13.如图,在平行四边形ABCD中,BC=5,S ABCD=10,以顶点C为圆心,BC为半径作圆,则AD边所在直线与☉C的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种都有可能
14.(生活情境题)小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为
2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:cm),请你帮小华算出圆盘的半径是 cm.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的值是 .
16.(2023·毕节大方县模拟)如图,半径为2的☉P的圆心在直线y=2x-1上运动,当☉P与x轴相切时圆心P的坐标为 .
17.(素养提升题)已知平面直角坐标系中点P(x0,y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算.例如:求点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离,因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.所以点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离为d====.根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,-3)到直线y=x-1的距离.
(2)已知圆心Q坐标为(0,5),半径r为3,判断☉Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由.
易错点 忽视多解情况
【典例】已知☉O的半径为5 cm,点P在直线l上,且点P到圆心O的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 直线和圆的位置关系的判定
1.如图是“光盘行动”的宣传海报,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 (B)
A.相切 B.相交
C.相离 D.平行
2.☉O的直径为10,圆心O到直线l的距离为3,下列位置关系正确的是 (B)
3.(2024·潍坊期末)在平面直角坐标系中,以点(3,2)为圆心,3为半径的圆与坐标轴的位置关系为 (B)
A.与x轴相切,与y轴相离
B.与x轴相交,与y轴相切
C.与x轴,y轴都相交
D.与x轴,y轴相离
4.已知☉O的面积为16π cm2,若点O到直线l的距离为π cm,则直线l与☉O的位置关系是 相交 .
5.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,已知点A(4,0),AB=3,以C为圆心,4为半径作圆,则直线AB和☉C的位置关系为 相切 .
知识点2 直线和圆的位置关系的性质
6.已知☉O的半径等于8 cm,圆心O到直线l的距离为9 cm,则直线l与☉O的公共点的个数为 (A)
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
7.(教材再开发·P96练习改编)直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为3,则r的取值范围是 (C)
A.r<3 B.r=3
C.r>3 D.r≥3
8.已知☉O的直径为10,直线a与☉O只有一个公共点,点P是直线a上的动点,则线段OP的最小值为 5 .
9.(2023·贵阳清镇市质检)已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点A为圆心,r为半径作☉A,
(1)当半径r为 3 时,☉A与BC相切;
(2)当半径r为 2.4 时,☉A与BD相切;
(3)当半径r的范围为 3综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(2024·厦门期末)已知,☉O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的两根,圆心O到直线l的距离d=4,则直线l与☉O的位置关系是 (A)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
11.圆O的圆心到直线a的距离为3 cm,圆O的半径为1 cm,将直线a向垂直于a的方向平移,使a与☉O相切,则平移的距离是 (D)
A.1 cm B.2 cm
C.4 cm D.2 cm或4 cm
12.(2024·苏州期末)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的圆,下列结论中正确的是 (D)
A.点B在☉A内
B.直线BC与☉A相离
C.点C在☉A上
D.直线BC与☉A相切
13.如图,在平行四边形ABCD中,BC=5,S ABCD=10,以顶点C为圆心,BC为半径作圆,则AD边所在直线与☉C的位置关系是 (A)
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种都有可能
14.(生活情境题)小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为
2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:cm),请你帮小华算出圆盘的半径是 10 cm.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的值是 316.(2023·毕节大方县模拟)如图,半径为2的☉P的圆心在直线y=2x-1上运动,当☉P与x轴相切时圆心P的坐标为 (1.5,2)或(-0.5,-2) .
17.(素养提升题)已知平面直角坐标系中点P(x0,y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算.例如:求点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离,因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.所以点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离为d====.根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,-3)到直线y=x-1的距离.
(2)已知圆心Q坐标为(0,5),半径r为3,判断☉Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由.
【解析】(1)点P(1,-3)到直线y=x-1的距离为=;
(2)☉Q与直线y=x+9的位置关系为相交.理由如下:
圆心Q(0,5)到直线y=x+9的距离为d===2.
∵☉Q的半径r=3,即d∴☉Q与直线y=x+9相交.
易错点 忽视多解情况
【典例】已知☉O的半径为5 cm,点P在直线l上,且点P到圆心O的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为 (D)
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 切线的判定
1.(概念应用题)下列直线中可以判定为圆的切线的是 ( )
A.与圆有且仅有一个公共点的直线
B.经过半径外端的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.与圆心的距离等于直径的直线
2.如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 ( )
A.40°或80° B.50°或110°
C.50°或100° D.60°或120°
3.已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,如图,若AB为☉O的直径,要使EF成为☉O的切线,满足的条件为(至少说出两种): 或者 .
知识点2 切线的性质
4.(2024·遵义红花岗区期中)如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,连接AC交☉O于点D,连接BD,若∠CBD=28°,则∠A的度数为 ( )
A.62° B.30° C.28° D.14°
5.如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为 ( )
A.65° B.60° C.50° D.25°
6.(2024·遵义绥阳县期中)如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE=28°,求∠C的度数;
(2)若AC=6,CE=3,求☉O半径的长.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.下列说法中,正确的是 ( )
A.圆的切线垂直于经过切点的半径
B.垂直于切线的直线必经过切点
C.垂直于切线的直线必经过圆心
D.垂直于半径的直线是圆的切线
8.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C为☉O上一点,连接AC,BC,若∠P=70°,则∠ACB的度数为 ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.(2024·遵义绥阳县期末)如图,☉O与正方形ABCD的两边AB,AD都相切,且DE与☉O相切于点E,若正方形ABCD的边长为4,DE=3,则OD的长为 ( )
A.2 B. C. D.4
10.如图,以O为圆心的两个同心圆,过点E的直径与外圆交于C,D两点,若CE=8,ED=2,则AB长为 时,外圆的弦AB与内圆相切于点E.
11.(素养提升题)如图,AB为☉O的直径,OC⊥AB交☉O于点C,D为OB上一点,延长CD交☉O于点E,延长OB至F,使DF=FE,连接EF.
(1)求证:EF为☉O的切线;
(2)若OD=1且BD=BF,求☉O的半径.
模型一 见切线,连半径,得垂直
如图,若已知CD和☉O相切,切点为D,则连接OD,根据半径与切线垂直,得到Rt△COD,再利用直角三角形的有关性质解题.
模型二 连半径,证垂直,得切线
如图,当已知直线BC与☉A有公共点D时,只需连接AD,证AD⊥BC,便可得到BC是☉A的切线.
模型三 作垂线段,证d=r,得切线
如图,没有指明直线ED与☉O有公共点时,过圆心O作已知直线ED的垂线,证明垂线段=半径,可得ED是☉O的切线.24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 切线长定理
1.(概念应用题)如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接OP,则下列判断错误的是 (D)
A.∠PAO=∠PBO=90°
B.OP平分∠APB
C.PA=PB
D.∠AOB=
2.(2024·黔南州期末)如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB的长是 (B)
A. B.2 C.2 D.3
3.(2023·安顺模拟)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是 (C)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(2024·南京期末)如图,PA,PB分别切☉O于A,B,PA=10 cm,C是劣弧AB上的点(不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F.则△PEF的周长为
20 cm.
知识点2 三角形的内切圆
5.已知△ABC的内心为P,则下列说法错误的是 (A)
A.PA=PB=PC
B.P在△ABC的内部
C.P为△ABC三个内角平分线的交点
D.P到三边距离相等
6.如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F.已知∠EDF=55°,∠C=60°,连接OE,OF,DE,DF,那么∠B等于 50° .
7.(教材再开发·P100例2改编)如图,△ABC外切于☉O,切点分别为D,E,F,∠A=60°,
BC=7,☉O的半径为.求:
(1)BF+CE的值;
(2)△ABC的周长.
【解析】(1)如图,连接OF,OE,OD.
∵△ABC外切于☉O,切点分别为D,E,F,
∴BF=BD,CE=CD,
∴BF+CE=BD+CD=BC=7;
(2)如图,连接OA.
∵△ABC外切于☉O,切点分别为D,E,F,
∴∠OEA=90°,∵AF=AE,AO=AO,FO=EO,∴△AFO≌△AEO,
∴∠OAE=∠BAC=30°,
∴OA=2OE=2,由勾股定理,得AE=AF===3,
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=3+3+7+7=20.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图, PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,过C的切线分别交PA,PB于点E,D,若△PDE的周长为8,OP=5,则☉O的半径为 (B)
A.2 B.3
C.4 D.不能确定
9.如图,圆O是等边三角形内切圆,则∠BOC的度数是 (D)
A.60° B.100°
C.110° D.120°
10.(2024·上海期末)若一个等边三角形的边长为2,则其内切圆与外接圆的半径分别为 (D)
A., B.,2
C.1, D.1,2
11.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+a2-8a=4-19,则△ABC的内切圆半径=
1 .
12.(2024·泉州期末)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为 20° .
13.(素养提升题)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数.
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
【解析】(1)∵PA是☉O的切线,
∴∠BAP=90°-∠1=70°,
又∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,
∴∠BAP=∠ABP=70°,
∴∠APB=180°-70°×2=40°.
(2)当∠1=30°时,OP=OD.
理由如下:当∠1=30°时,
由(1)知∠BAP=∠ABP=60°,
∴∠APB=180°-60°×2=60°.
∵PA,PB是☉O的切线,
∴∠OPB=∠APB=30°.
又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°,
∴∠OPB=∠D,∴OP=OD.
模型 见内心,连接内心和顶点得角平分线
如图,若已知点O是△ABC的内心,可连接OB,OC,则OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,进而能进行角度计算.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(八)”24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 切线的判定
1.(概念应用题)下列直线中可以判定为圆的切线的是 (A)
A.与圆有且仅有一个公共点的直线
B.经过半径外端的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.与圆心的距离等于直径的直线
2.如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 (B)
A.40°或80° B.50°或110°
C.50°或100° D.60°或120°
3.已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,如图,若AB为☉O的直径,要使EF成为☉O的切线,满足的条件为(至少说出两种):∠BAE=90°或者 ∠EAC=
∠ABC(答案不唯一) .
知识点2 切线的性质
4.(2024·遵义红花岗区期中)如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,连接AC交☉O于点D,连接BD,若∠CBD=28°,则∠A的度数为 (C)
A.62° B.30° C.28° D.14°
5.如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为 (A)
A.65° B.60° C.50° D.25°
6.(2024·遵义绥阳县期中)如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE=28°,求∠C的度数;
(2)若AC=6,CE=3,求☉O半径的长.
【解析】(1)如图,连接OA,
∵∠ADE=28°,
∴由圆周角定理得,∠AOC=2∠ADE=56°,
∵AC切☉O于A,
∴∠OAC=90°,∴∠C=180°-∠AOC-∠OAC=180°-56°-90°=34°;
(2)设OA=OE=r,
在Rt△OAC中,由勾股定理得,OA2+AC2=OC2,即r2+62=(r+3)2,
解得r=.
答:☉O半径的长是.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.下列说法中,正确的是 (A)
A.圆的切线垂直于经过切点的半径
B.垂直于切线的直线必经过切点
C.垂直于切线的直线必经过圆心
D.垂直于半径的直线是圆的切线
8.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C为☉O上一点,连接AC,BC,若∠P=70°,则∠ACB的度数为 (B)
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.(2024·遵义绥阳县期末)如图,☉O与正方形ABCD的两边AB,AD都相切,且DE与☉O相切于点E,若正方形ABCD的边长为4,DE=3,则OD的长为 (B)
A.2 B. C. D.4
10.如图,以O为圆心的两个同心圆,过点E的直径与外圆交于C,D两点,若CE=8,ED=2,则AB长为 8 时,外圆的弦AB与内圆相切于点E.
11.(素养提升题)如图,AB为☉O的直径,OC⊥AB交☉O于点C,D为OB上一点,延长CD交☉O于点E,延长OB至F,使DF=FE,连接EF.
(1)求证:EF为☉O的切线;
(2)若OD=1且BD=BF,求☉O的半径.
【解析】 (1)如图,连接OE,
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,
∵DF=FE,
∴∠FED=∠FDE,
∵∠FDE=∠CDO,∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠FED+∠OEC=90°,即∠FEO=90°,
∴OE⊥FE,
∵OE是☉O的半径,∴EF为☉O的切线;
(2)见全解全析
模型一 见切线,连半径,得垂直
如图,若已知CD和☉O相切,切点为D,则连接OD,根据半径与切线垂直,得到Rt△COD,再利用直角三角形的有关性质解题.
模型二 连半径,证垂直,得切线
如图,当已知直线BC与☉A有公共点D时,只需连接AD,证AD⊥BC,便可得到BC是☉A的切线.
模型三 作垂线段,证d=r,得切线
如图,没有指明直线ED与☉O有公共点时,过圆心O作已知直线ED的垂线,证明垂线段=半径,可得ED是☉O的切线.
