第二十四章 圆
(120分钟 150分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法:①三角形的外心到三角形三边的距离相等;②若两个扇形的圆心角相等,则它们所对的弧长也相等;③三点确定一个圆;④平分弧的直径垂直于弦;⑤等弧所对的圆周角相等;⑥在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等.其中正确的个数有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则
∠AOB等于 ( )
A.140° B.120° C.110° D.70°
3.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
4.起重机的滑轮装置如图所示,已知滑轮半径是10 cm,当物体向上提升3π cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为 ( )
A.54° B.27° C.60° D.108°
5.如图所示,圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为 ( )
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 ( )
A.3π B.4π C.6π D.9π
7.如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形AOCD是菱形,则∠B的度数为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
8.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=2∠B,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.π B.2π C.3π D.6π
9.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则
∠ACB的度数为 ( )
A.140° B.70° C.110° D.80°
10.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中,若AB与x轴垂直,顶点A的坐标为(2,-3),则顶点C的坐标为( )
A.(2-2,3) B.(0,1+2)
C.(2-,3) D.(2-2,2+)
11.(2023·铜仁碧江区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,☉P为△ABC的内切圆,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8,则OP的长为 ( )
A.2 B.3 C. D.
12.(2023·乐山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A,B两点,C,D是半径为1的☉O上两动点,且CD=,P为弦CD的中点.当C,D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是 ( )
A.8 B.6 C.4 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,AB是☉O的直径,∠BOC=42°,==,则∠AOE= °.
14.一个扇形的面积是13π cm2,半径是6 cm,则它的圆心角是 度.
15.(2024·铜仁期末)如图,点B,C在☉O上,D为的中点,直径AD交BC于点E,AD=6,BC=2,则DE的长为 .
16.(2024·莆田期末)如图,正方形ABCD的边长为6,它的中心为O,☉O的半径为2.OE⊥OF于O,点E,F分别在AB,AD上,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AP⊥BC于P,AM为☉O的直径.求证:∠BAM=∠CAP.
18.(10分)(2024·遵义绥阳县期中)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB=24 m,设所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5 m.连接OB.求这座石拱桥主桥拱的半径.(精确到
1 m)
19.(10分)如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB(1)尺规作图:在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC,PC(保留清晰作图痕迹,不要求写作法);并证明PC是☉O的切线;
(2)在(1)的条件下,若BP=4,EB=1,求PC的长.
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-4,0),C(-2,2).将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.
(1)请写出A1,B1,C1三点的坐标:
A1 ,B1 ,C1 ;
(2)求点B旋转到点B1的弧长.
21.(10分)(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
22.(12分)已知:PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E三点,PA=6.求:
(1)△PCD的周长;
(2)若∠P=50°,求∠COD的度数.
23.(12分)(2023·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,点O在线段AD上,☉O与AB相切于点E.
(1)求证:☉O与AC相切;
(2)已知AB=5,BC=6,当☉O与BC也相切时,求☉O的半径.
24.(12分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,AB=6,求阴影部分的面积(结果保留π).
25.(12分)(2024·福州期末)【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-b,c),以AB为直径作☉P.若☉P交x轴于点M(m,0),N(n,0),则m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【探究】
(1)由勾股定理得,AM2=12+m2,BM2=c2+(-b-m)2,AB2=(1-c)2+b2.在Rt△ABM中,AM2+BM2=AB2,所以12+m2+c2+(-b-m)2=(1-c)2+b2.
化简得m2+bm+c=0.同理可得: .
所以m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程x2-3x-2=0两根为横坐标的点M,N.
(3)已知点A(0,1),B(6,9),以AB为直径作☉C.判断☉C与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点A(0,a),B(-b,c),若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是 . 第二十四章 圆
(120分钟 150分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法:①三角形的外心到三角形三边的距离相等;②若两个扇形的圆心角相等,则它们所对的弧长也相等;③三点确定一个圆;④平分弧的直径垂直于弦;⑤等弧所对的圆周角相等;⑥在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等.其中正确的个数有 (B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则
∠AOB等于 (A)
A.140° B.120° C.110° D.70°
3.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= (B)
A.1 B.2 C.2 D.4
4.起重机的滑轮装置如图所示,已知滑轮半径是10 cm,当物体向上提升3π cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为 (A)
A.54° B.27° C.60° D.108°
5.如图所示,圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为 (D)
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 (D)
A.3π B.4π C.6π D.9π
7.如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形AOCD是菱形,则∠B的度数为 (C)
A.45° B.50° C.60° D.75°
8.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=2∠B,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是 (C)
A.π B.2π C.3π D.6π
9.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则
∠ACB的度数为 (C)
A.140° B.70° C.110° D.80°
10.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中,若AB与x轴垂直,顶点A的坐标为(2,-3),则顶点C的坐标为(A)
A.(2-2,3) B.(0,1+2)
C.(2-,3) D.(2-2,2+)
11.(2023·铜仁碧江区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,☉P为△ABC的内切圆,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8,则OP的长为 (C)
A.2 B.3 C. D.
12.(2023·乐山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A,B两点,C,D是半径为1的☉O上两动点,且CD=,P为弦CD的中点.当C,D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是 (D)
A.8 B.6 C.4 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,AB是☉O的直径,∠BOC=42°,==,则∠AOE= 54 °.
14.一个扇形的面积是13π cm2,半径是6 cm,则它的圆心角是 130 度.
15.(2024·铜仁期末)如图,点B,C在☉O上,D为的中点,直径AD交BC于点E,AD=6,BC=2,则DE的长为.
16.(2024·莆田期末)如图,正方形ABCD的边长为6,它的中心为O,☉O的半径为2.OE⊥OF于O,点E,F分别在AB,AD上,则图中阴影部分的面积为 9-π .(结果保留π)
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AP⊥BC于P,AM为☉O的直径.求证:∠BAM=∠CAP.
【证明】连接BM,
∵AM为☉O的直径,∴∠ABM=90°,
∴∠M+∠BAM=90°,
∵AP⊥BC,∴∠APC=90°,
∴∠C+∠CAP=90°,
∵∠C=∠M,∴∠BAM=∠CAP.
18.(10分)(2024·遵义绥阳县期中)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB=24 m,设所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5 m.连接OB.求这座石拱桥主桥拱的半径.(精确到
1 m)
【解析】见全解全析
19.(10分)如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB(1)尺规作图:在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC,PC(保留清晰作图痕迹,不要求写作法);并证明PC是☉O的切线;
(2)在(1)的条件下,若BP=4,EB=1,求PC的长.
【解析】见全解全析
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-4,0),C(-2,2).将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.
(1)请写出A1,B1,C1三点的坐标:
A1 ,B1 ,C1 ;
(2)求点B旋转到点B1的弧长.
【解析】(1)由题图知,A1(1,1),B1(0,4),C1(2,2);
答案:(1,1) (0,4) (2,2)
(2)由题意知,点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4,弧所对的圆心角为90°,∴弧长为=2π.
21.(10分)(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
【解析】见全解全析
22.(12分)已知:PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E三点,PA=6.求:
(1)△PCD的周长;
(2)若∠P=50°,求∠COD的度数.
【解析】见全解全析
23.(12分)(2023·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,点O在线段AD上,☉O与AB相切于点E.
(1)求证:☉O与AC相切;
(2)已知AB=5,BC=6,当☉O与BC也相切时,求☉O的半径.
【解析】见全解全析
24.(12分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,AB=6,求阴影部分的面积(结果保留π).
【解析】(1)连接OD,如图:∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠CAD,∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,∴∠ODB=∠C=90°,即BC⊥OD,
又∵OD为☉O的半径,∴直线BC是☉O的切线;
(2)设OA=OD=r,则OB=6-r,在Rt△ODB中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2,
∴r2+(2)2=(6-r)2,解得:r=2,
∴OB=4,OD=2,∴OD=OB,∴∠B=30°,
∴∠DOB=180°-∠B-∠ODB=60°,∴阴影部分的面积S=S△ODB-
S扇形DOF=×2×2-=2-.
25.(12分)(2024·福州期末)【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-b,c),以AB为直径作☉P.若☉P交x轴于点M(m,0),N(n,0),则m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【探究】
(1)由勾股定理得,AM2=12+m2,BM2=c2+(-b-m)2,AB2=(1-c)2+b2.在Rt△ABM中,AM2+BM2=AB2,所以12+m2+c2+(-b-m)2=(1-c)2+b2.
化简得m2+bm+c=0.同理可得: .
所以m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程x2-3x-2=0两根为横坐标的点M,N.
(3)已知点A(0,1),B(6,9),以AB为直径作☉C.判断☉C与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点A(0,a),B(-b,c),若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是 .
【解析】(1)AN2=12+n2,BN2=c2+(-b-n)2,AB2=(1-c)2+b2,
在Rt△ABN中,AN2+BN2=AB2,∴12+n2+c2+(-b-n)2=(1-c)2+b2,化简得:n2+bn+c=0;
答案:n2+bn+c=0
(2)先在坐标系内找到A(0,1),B(3,-2),连接AB,分别以A,B为圆心,以大于AB长为半径画弧,连接两弧的交点与AB交于点P,
以P为圆心,以AB长为直径画圆,圆与x轴的交点即为M,N点.如图所示:
(3)(4)见全解全析
