第二十四章 圆
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答案:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;
(6) ;(7) ;(8) ;
(9) ; (10) ;(11) ;
(12) ;(13) ;(14) ;
(15) ;(16) ;(17) ;(18) ;(19) ;
(20) ; (21) ;(22) ;
(23) ;(24) ;
(25) ;(26) ;(27) ;(28) ;(29) ;
(30) ; (31) ;(32) ;(33) ;(34) ;(35) .
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圆的有关性质
1. (2022·铜仁中考)如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
2.(2022·贵阳中考)如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 ( )
A.5 B.5 C.5 D.5
3.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 cm.
4.(2023·常德中考)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是弦AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s计算公式:s=AB+,当OA=2,∠AOB=90°时,|l-s|= .(结果保留一位小数)
5.(2023·湘潭中考)问题情境:筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动,每旋转一周用时120秒.
问题设置:把筒车抽象为一个半径为r的☉O.如图②,OM始终垂直于水平面,设筒车半径为2米,当t=0时,某盛水筒恰好位于水面A处,此时∠AOM=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决:
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时,∠BOM的度数;
(2)求该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离.(结果精确到0.1米)
(参考数据≈1.414,≈1.732)
切线的判定和性质
6.(2023·眉山中考)如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为 ( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
7.(2022·无锡中考)如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是 ( )
A.AE⊥DE B.AE∥OD
C.DE=OD D.∠BOD=50°
8.(2022·宜宾中考)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为 .
9.(2023·鄂州中考)如图,AB为☉O的直径,E为☉O上一点,点C为的中点,过点C作CD⊥AE,交AE的延长线于点D,延长DC交AB的延长线于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=1,DC=2,求☉O的半径长.
圆的有关计算
10.(2023·东营中考)如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.(2022·青岛中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点M在上,则∠CME的度数为 ( )
A.30° B.36° C.45° D.60°
12.(2023·扬州中考)用半径为24 cm,面积为120π cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为 cm.
13.(2022·黔西南州中考)如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°.则图中阴影部分的面积是 .
14.(2022·潍坊中考)在数学实验课上,小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件Geogebra画出如下示意图.
小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等.”
你认同小亮的说法吗 请说明理由.
15.(2022·益阳中考)如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.
(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
教学总结与教学反思
1.本章授课教师在教学设计中,要让学生的数学学习贴近生活,要让学生体会到他们的学习是有意义的数学,这些知识是与生活息息相关的,从而激发学生学习数学的兴趣.教学时,利用多媒体课件展示生活中的圆形,学生在享受数学美的同时也深切地感受到生活离不开圆,体会到学习圆的重要性.
2.教学时,让学生通过观察,例如,把圆与车轮类比,结合圆规画圆等得出圆的本质特点——“圆周上各点到圆心的距离相等”.点和圆的关系,在生活中也能找到原型:已射击的飞镖和靶的位置关系,这样的教学方式让学生既熟悉又感兴趣.
3.教学中,首先让学生预习教材,对于教材上正五边形的证明结合图形,明确其证明思路,并让学生明确这个结论对于任意的正多边形都成立.学案设计一些简单适合大部分学生做的题,让他们从做题中得到成就感,培养其对数学的兴趣.
4.授课教师提出问题,引导学生分析弧长和圆周长之间的关系,推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式,引导学生层层深入,逐步分析,尽量提问让学生回答,相互补充、得出结论,使学生明确探索一个新的知识要从学过的知识入手,找寻它们的联系,探究规律,得出结论.第二十四章 圆
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答案:(1) 平分 ;(2) 平分 ;(3) 直径 ;(4) 垂直 ;(5) 平分弦所对 ;
(6) 圆心角、两条弧、两条弦 ;(7) 圆周角 ;(8) 圆心角 ;
(9) 同弧或等弧 ; (10) 90 ;(11) 90 ;
(12) 圆内接四边形的对角互补 ;(13) d>r ;(14) 顶点 ;
(15) 垂直平分线 ;(16) 外心 ;(17) dr ;(19) 外端 ;
(20) 垂直 ; (21) 垂直于经过切点 ;(22) 相等 ;
(23) 平分两条切线的夹角 ;(24) 相切 ;
(25) 角平分线 ;(26) 内心 ;(27) d(30) 直角 ; (31) 圆周 ;(32) ;(33) ;(34) lR ;(35) πrl .
中考对点练真题链接 实战演练
圆的有关性质
1. (2022·铜仁中考)如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 (B)
A.30° B.40°
C.50° D.60°
2.(2022·贵阳中考)如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 (A)
A.5 B.5 C.5 D.5
3.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 16 cm.
4.(2023·常德中考)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是弦AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s计算公式:s=AB+,当OA=2,∠AOB=90°时,|l-s|= 0.1 .(结果保留一位小数)
5.(2023·湘潭中考)问题情境:筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动,每旋转一周用时120秒.
问题设置:把筒车抽象为一个半径为r的☉O.如图②,OM始终垂直于水平面,设筒车半径为2米,当t=0时,某盛水筒恰好位于水面A处,此时∠AOM=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决:
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时,∠BOM的度数;
(2)求该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离.(结果精确到0.1米)
(参考数据≈1.414,≈1.732)
【解析】(1)由于筒车每旋转一周用时120秒.所以每秒转过360°÷120=3°,
∴∠BOM=360°-3°×95-30°=45°;
(2)如图,过点B、点A分别作OM的垂线,垂足分别为点C,D,
在Rt△AOD中,∠AOD=30°,OA=2米,
∴OD=OA=(米).
在Rt△BOC中,∠BOC=45°,OB=2米,
∴OC=OB=(米),
∴CD=OD-OC=-≈0.3(米),
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.
切线的判定和性质
6.(2023·眉山中考)如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为 (C)
A.25° B.35° C.40° D.45°
7.(2022·无锡中考)如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是 (C)
A.AE⊥DE B.AE∥OD
C.DE=OD D.∠BOD=50°
8.(2022·宜宾中考)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为 289 .
9.(2023·鄂州中考)如图,AB为☉O的直径,E为☉O上一点,点C为的中点,过点C作CD⊥AE,交AE的延长线于点D,延长DC交AB的延长线于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=1,DC=2,求☉O的半径长.
【解析】(1)连接OC,
∵点C为的中点,∴=,
∴∠EAC=∠BAC,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OCA,∴AE∥OC,∴∠ADC=∠OCF,
∵CD⊥AE,∴∠ADC=90°,
∴∠OCF=90°,即OC⊥DF,
又∵OC为☉O的半径,∴CD是☉O的切线;
(2)见全解全析
圆的有关计算
10.(2023·东营中考)如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是 (A)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.(2022·青岛中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点M在上,则∠CME的度数为 (D)
A.30° B.36° C.45° D.60°
12.(2023·扬州中考)用半径为24 cm,面积为120π cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为 5 cm.
13.(2022·黔西南州中考)如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°.则图中阴影部分的面积是 2π-4 .
14.(2022·潍坊中考)在数学实验课上,小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件Geogebra画出如下示意图.
小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等.”
你认同小亮的说法吗 请说明理由.
【解析】小亮的说法不正确.
设直角三角尺三边长分别为BC=a,AC=a,AB=2a,∴甲圆锥的侧面积:S甲=π·BC·AB=π×a×2a=2πa2
乙圆锥的侧面积:S乙=π·AC·AB=π×a×2a=2πa2,∴S甲≠S乙,
∴小亮的说法不正确.
15.(2022·益阳中考)如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.
(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
【解析】(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CP是半圆O的切线,∴∠OCP=90°,
∴∠ACB=∠OCP,∴∠ACO=∠BCP;
(2)由(1)知∠ACO=∠BCP,
∵∠ABC=2∠BCP,∴∠ABC=2∠ACO,
∵OA=OC,∴∠ACO=∠A,
∴∠ABC=2∠A,
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,
∴∠ACO=∠BCP=30°,
∴∠P=∠ABC-∠BCP=60°-30°=30°,
答:∠P的度数是30°;
(3)由(2)知∠A=30°,
∵∠ACB=90°,
∴BC=AB=2,AC==2,
∴S△ABC=BC·AC=×2×2=2,
∴S阴影=S半圆-S△ABC=π×2-2=2π-2,
答:阴影部分的面积是2π-2.
阶段测评 请做“单元测评挑战卷(四)”
教学总结与教学反思
1.本章授课教师在教学设计中,要让学生的数学学习贴近生活,要让学生体会到他们的学习是有意义的数学,这些知识是与生活息息相关的,从而激发学生学习数学的兴趣.教学时,利用多媒体课件展示生活中的圆形,学生在享受数学美的同时也深切地感受到生活离不开圆,体会到学习圆的重要性.
2.教学时,让学生通过观察,例如,把圆与车轮类比,结合圆规画圆等得出圆的本质特点——“圆周上各点到圆心的距离相等”.点和圆的关系,在生活中也能找到原型:已射击的飞镖和靶的位置关系,这样的教学方式让学生既熟悉又感兴趣.
3.教学中,首先让学生预习教材,对于教材上正五边形的证明结合图形,明确其证明思路,并让学生明确这个结论对于任意的正多边形都成立.学案设计一些简单适合大部分学生做的题,让他们从做题中得到成就感,培养其对数学的兴趣.
4.授课教师提出问题,引导学生分析弧长和圆周长之间的关系,推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式,引导学生层层深入,逐步分析,尽量提问让学生回答,相互补充、得出结论,使学生明确探索一个新的知识要从学过的知识入手,找寻它们的联系,探究规律,得出结论.
