25.2 用列举法求概率
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用画树状图法求概率
1.(2023·临沂中考)在项目化学习中,“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量,需要从四名同学(两名男生,两名女生)中随机抽取两人,组成调查小组进行社会调查,恰好抽到一名男生和一名女生的概率是 (D)
A. B. C. D.
2.(2024·贵阳期中)“十一”期间,小胡和小刘两家准备从黄果树大瀑布、织金洞、龙宫中选择一景点游玩,他们通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是 (A)
A. B. C. D.
3.(2024·黔东南州从江县质检)小颖有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 (C)
A. B. C. D.
4.小明去某体育馆锻炼,该体育馆有A,B两个进馆通道和C,D,E三个出馆通道,从进馆通道进馆的可能性相同,从出馆通道出馆的可能性也相同.用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果,并求他恰好经过通道A与通道D的概率.
【解析】树状图如图所示,
由图可得,一共有6种等可能的结果,其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种,
∴恰好经过通道A与通道D的概率为.
知识点2 应用概率解决游戏公平性问题
5.在如图所示的圆形图案中,黑白两色的直角三角形、弓形都全等.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:按一定距离向盘中投镖一次(扎不中游戏盘重新投镖),扎在黑色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,则这个游戏 (A)
A.对双方公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.无法确定公平性
6.哥哥与弟弟玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,将标有数字的一面朝下,哥哥从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后弟弟从中任意抽取一张,计算抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则弟弟胜;和为偶数,则哥哥胜,该游戏对双方 不公平 (填“公平”或“不公平”).
综合能力练巩固提升 迁移运用
7. (2024·六盘水期中)“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1,2,3,5,6),是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具,音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音,且小球进入每个小洞中的可能性相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞,先发出“商”音,再发出“羽”音的概率是(A)
A. B. C. D.
8.(2023·邵阳中考)有数字4,5,6的三张卡片,将这三张卡片任意摆成一个三位数,摆出的三位数是5的倍数的概率是 (C)
A. B. C. D.
9.随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 (B)
A. B. C. D.
10.小李和小王在拼图游戏中,从如图三张纸片中任取两张,如果拼成房子,则小李赢;否则,小王赢.你认为这个游戏公平吗 不公平 (填“公平”或“不公平”)
11.某校举行“青年大学习,强国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩(单位:分,均为整数),按成绩划分为A,B,C,D四个等级,并制作了如下统计图表(部分信息未给出):
等级 成绩x/分 人数
A 90≤x≤100 15
B 80≤x<90 a
C 70≤x<80 18
D x<70 7
(1)表中a=______,C等级对应的圆心角度数为 ______;
(2)若全校共有600名学生参加了此次竞赛,成绩为A等级的为优秀,则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人;
(3)若A等级15名学生中有3人满分,设这3名学生分别为T1,T2,T3,从中随机抽取2人参加市级决赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到T1,T2的概率.
【解析】(1)抽取的学生人数为15÷=60(人),∴a=60-15-18-7=20,C等级对应的圆心角度数为360°×=108°.
答案:20 108°
(2)600×=150(人),
答:估计该校成绩为A等级的学生共有150人;
(3)画树状图如图:
共有6种等可能的结果,其中恰好抽到T1,T2的结果有2种,
∴恰好抽到T1,T2的概率为=.25.2 用列举法求概率
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用直接列举法求概率
1.(概念应用题)从长度分别为1 cm,3 cm,5 cm,6 cm四条线段中随机取出三条,则能够组成三角形的概率为 (A)
A. B. C. D.
2.(2023·株洲中考)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号,则抽到的学号为男生的概率是 (B)
A. B.
C. D.
3.(2023·新疆建设兵团中考)在平面直角坐标系中有五个点,分别是A(1,2),B(-3,4),C(-2,-3),D(4,3),E(2,-3),从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 .
4.从-2,1,这三个数中任取两个不同的数相乘,积是无理数的概率是 .
5.(易错警示题)有四张背面图案相同的卡片A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形(如图).小聪将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张,放回洗匀再摸出一张.
(1)表示两次摸出卡片所有可能的结果;(卡片可用A,B,C,D表示)
(2)求摸出的两张卡片图案都是中心对称图形的概率.
【解析】(1)所有可能的结果为AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD.
(2)都是中心对称图形的有4种,所以摸出的两张卡片图案都是中心对称图形的概率是.
知识点2 用列表法求概率
6.(2023·永州中考)今年2月,某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练,参加永州市即将举办的“唱响新时代,筑梦新征程”合唱选拔赛,那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是 (B)
A. B.
C. D.1
7.从1,2,3,4中任取两个不同的数,分别记为a和b,则a2+b2>19的概率是 (D)
A. B.
C. D.
8.(教材再开发·P138练习第2题改编)一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片,分别标有数字1,2,3.随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·贵阳乌当区质检)不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是 (C)
A. B. C. D.
10.(2023·威海中考)一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球,每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个球(不放回)后,晓静同学再从袋中任意摸出1个球.两人都摸到红球的概率是 (A)
A. B. C. D.
11.(2023·潍坊中考)投掷两枚骰子,朝上一面的点数之和为7的概率是 .
12.如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 .
13.(素养提升题)某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动,需招收新成员.小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动,其中小贤、小艺来自七年级,小志、小晴来自八年级.现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.
(1)若随机抽取一名同学,恰好抽到小艺同学的概率为______;
(2)若随机抽取两名同学,请用列表法或画树状图法求两名同学均来自八年级的概率.
【解析】(1)共有4种可能出现的结果,抽到小艺的只有1种,因此恰好抽到小艺的概率为.
答案:
(2)用列表法表示所有可能出现的结果如表所示:
第1人 第2人 小贤 小晴 小志 小艺
小贤 小晴小贤 小志小贤 小艺小贤
小晴 小贤小晴 小志小晴 小艺小晴
小志 小贤小志 小晴小志 小艺小志
小艺 小贤小艺 小晴小艺 小志小艺
共有12种等可能的结果,其中都是八年级,即抽到小志、小晴的有2种,
∴P==.
易错点 情形列举不全而出错
【典例】现有下列长度的五根木棒:3,5,8,10,13,从中任取三根,可以组成三角形的概率为 . 25.2 用列举法求概率
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用画树状图法求概率
1.(2023·临沂中考)在项目化学习中,“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量,需要从四名同学(两名男生,两名女生)中随机抽取两人,组成调查小组进行社会调查,恰好抽到一名男生和一名女生的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·贵阳期中)“十一”期间,小胡和小刘两家准备从黄果树大瀑布、织金洞、龙宫中选择一景点游玩,他们通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.(2024·黔东南州从江县质检)小颖有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.小明去某体育馆锻炼,该体育馆有A,B两个进馆通道和C,D,E三个出馆通道,从进馆通道进馆的可能性相同,从出馆通道出馆的可能性也相同.用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果,并求他恰好经过通道A与通道D的概率.
知识点2 应用概率解决游戏公平性问题
5.在如图所示的圆形图案中,黑白两色的直角三角形、弓形都全等.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:按一定距离向盘中投镖一次(扎不中游戏盘重新投镖),扎在黑色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,则这个游戏 ( )
A.对双方公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.无法确定公平性
6.哥哥与弟弟玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,将标有数字的一面朝下,哥哥从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后弟弟从中任意抽取一张,计算抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则弟弟胜;和为偶数,则哥哥胜,该游戏对双方 (填“公平”或“不公平”).
综合能力练巩固提升 迁移运用
7. (2024·六盘水期中)“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1,2,3,5,6),是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具,音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音,且小球进入每个小洞中的可能性相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞,先发出“商”音,再发出“羽”音的概率是( )
A. B. C. D.
8.(2023·邵阳中考)有数字4,5,6的三张卡片,将这三张卡片任意摆成一个三位数,摆出的三位数是5的倍数的概率是 ( )
A. B. C. D.
9.随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ( )
A. B. C. D.
10.小李和小王在拼图游戏中,从如图三张纸片中任取两张,如果拼成房子,则小李赢;否则,小王赢.你认为这个游戏公平吗 (填“公平”或“不公平”)
11.某校举行“青年大学习,强国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩(单位:分,均为整数),按成绩划分为A,B,C,D四个等级,并制作了如下统计图表(部分信息未给出):
等级 成绩x/分 人数
A 90≤x≤100 15
B 80≤x<90 a
C 70≤x<80 18
D x<70 7
(1)表中a=______,C等级对应的圆心角度数为 ______;
(2)若全校共有600名学生参加了此次竞赛,成绩为A等级的为优秀,则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人;
(3)若A等级15名学生中有3人满分,设这3名学生分别为T1,T2,T3,从中随机抽取2人参加市级决赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到T1,T2的概率.25.2 用列举法求概率
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用直接列举法求概率
1.(概念应用题)从长度分别为1 cm,3 cm,5 cm,6 cm四条线段中随机取出三条,则能够组成三角形的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.(2023·株洲中考)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号,则抽到的学号为男生的概率是 ( )
A. B.
C. D.
3.(2023·新疆建设兵团中考)在平面直角坐标系中有五个点,分别是A(1,2),B(-3,4),C(-2,-3),D(4,3),E(2,-3),从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 .
4.从-2,1,这三个数中任取两个不同的数相乘,积是无理数的概率是 .
5.(易错警示题)有四张背面图案相同的卡片A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形(如图).小聪将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张,放回洗匀再摸出一张.
(1)表示两次摸出卡片所有可能的结果;(卡片可用A,B,C,D表示)
(2)求摸出的两张卡片图案都是中心对称图形的概率.
知识点2 用列表法求概率
6.(2023·永州中考)今年2月,某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练,参加永州市即将举办的“唱响新时代,筑梦新征程”合唱选拔赛,那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是 ( )
A. B.
C. D.1
7.从1,2,3,4中任取两个不同的数,分别记为a和b,则a2+b2>19的概率是 ( )
A. B.
C. D.
8.(教材再开发·P138练习第2题改编)一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片,分别标有数字1,2,3.随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·贵阳乌当区质检)不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.(2023·威海中考)一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球,每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个球(不放回)后,晓静同学再从袋中任意摸出1个球.两人都摸到红球的概率是 ( )
A. B. C. D.
11.(2023·潍坊中考)投掷两枚骰子,朝上一面的点数之和为7的概率是 .
12.如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 .
13.(素养提升题)某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动,需招收新成员.小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动,其中小贤、小艺来自七年级,小志、小晴来自八年级.现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.
(1)若随机抽取一名同学,恰好抽到小艺同学的概率为______;
(2)若随机抽取两名同学,请用列表法或画树状图法求两名同学均来自八年级的概率.
易错点 情形列举不全而出错
【典例】现有下列长度的五根木棒:3,5,8,10,13,从中任取三根,可以组成三角形的概率为 .
