*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1.(2024·黔东南州天柱县质检)设一元二次方程x2-6x-15=0的两根为x1,x2,则x1·x2的值为 ( )
A.-6 B.6 C.-15 D.15
2.已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是 ( )
A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1
C.a=-,b=-1 D.a=-,b=1
3.设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则+的值为 .
4.(2024·黔东南州期中)已知m,n是一元二次方程x2-2x-1=0的两根,则+的值为
.
5.已知x1,x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:
(1)x1+x2.
(2)(x1-x2)2.
知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
6.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是 ( )
A.0,-2 B.0,0
C.-2,-2 D.-2,0
7.若关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两个实根的平方和等于11,则k的值为 ( )
A.-3 B.1
C.3 D.-3或1
8.(2024·黔东南州期末)设a,b是一元二次方程3x2-2x-7=0的两根,则3a2-a+b=
7 .
9.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(2024·铜仁石阡县质检)已知一元二次方程x2-2x+c=0的两个根为x1=m,x2=n.下列结论:①c<1;②若m=-1,则n=3;③若c>0,则m>0,n>0;④方程x2+2x+c=0的两个根为x1=m-2,x2=n-2.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.以5-2和5+2为根的一元二次方程是 ( )
A.x2-10x-1=0 B.x2+10x-1=0
C.x2+10x+1=0 D.x2-10x+1=0
12.(2023·黔西南州兴仁市质检)已知m,n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根,则2m2-4mn-6m的值为 .
13.设x1,x2是方程2x2+3x-4=0的两个实数根,则x1x2-x1-x2的值为 .
14.(2024·遵义绥阳县质检)设a,b是方程x2+x-2 024=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 .
15.(易错警示题)(2024·黔南州期末)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值.
16.(素养提升题)(2023·安顺平坝区质检)已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数).
(1)若方程的两根为菱形相邻两边长,求k的值;
(2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长 若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
易错点 忽视a≠0这一隐含条件而致错
【典例】已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1.(2024·黔东南州天柱县质检)设一元二次方程x2-6x-15=0的两根为x1,x2,则x1·x2的值为 (C)
A.-6 B.6 C.-15 D.15
2.已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是 (D)
A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1
C.a=-,b=-1 D.a=-,b=1
3.设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则+的值为 10 .
4.(2024·黔东南州期中)已知m,n是一元二次方程x2-2x-1=0的两根,则+的值为
-2 .
5.已知x1,x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:
(1)x1+x2.
(2)(x1-x2)2.
【解析】由题得,x1+x2=,x1x2=,
(1)原式=x1x2(x1+x2)=×=.
(2)原式=(x1+x2)2-4x1x2=-4×=.
知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
6.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是 (B)
A.0,-2 B.0,0
C.-2,-2 D.-2,0
7.若关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两个实根的平方和等于11,则k的值为 (B)
A.-3 B.1
C.3 D.-3或1
8.(2024·黔东南州期末)设a,b是一元二次方程3x2-2x-7=0的两根,则3a2-a+b=
7 .
9.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,
∴Δ=32-4×1×(k-2)≥0,
解得k≤,即k的取值范围是k≤.
(2)∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=-3,x1x2=k-2,
∵(x1+1)(x2+1)=-1,
∴x1x2+(x1+x2)+1=-1,
∴k-2+(-3)+1=-1,
解得k=3,即k的值是3.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(2024·铜仁石阡县质检)已知一元二次方程x2-2x+c=0的两个根为x1=m,x2=n.下列结论:①c<1;②若m=-1,则n=3;③若c>0,则m>0,n>0;④方程x2+2x+c=0的两个根为x1=m-2,x2=n-2.其中正确的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.以5-2和5+2为根的一元二次方程是 (D)
A.x2-10x-1=0 B.x2+10x-1=0
C.x2+10x+1=0 D.x2-10x+1=0
12.(2023·黔西南州兴仁市质检)已知m,n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根,则2m2-4mn-6m的值为 -12 .
13.设x1,x2是方程2x2+3x-4=0的两个实数根,则x1x2-x1-x2的值为.
14.(2024·遵义绥阳县质检)设a,b是方程x2+x-2 024=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 2 023 .
15.(易错警示题)(2024·黔南州期末)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值.
【解析】(1)∵方程有两个实数根,
∴Δ=8m-16≥0,∴m≥2;
(2)由根与系数的关系,得:x1+x2=2(m+1),x1·x2=m2+5,
∵(x1-1)(x2-1)=28,∴x1x2-(x1+x2)-27=0,∴m2+5-2(m+1)-27=0,
∴m1=6,m2=-4,
∵m≥2,∴m=6.
16.(素养提升题)(2023·安顺平坝区质检)已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数).
(1)若方程的两根为菱形相邻两边长,求k的值;
(2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长 若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵方程的两根为菱形相邻两边长,
∴此方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,
∴[-2(k+1)]2-4(k2+k+3)=0,
4(k2+2k+1)-4k2-4k-12=0,
4k2+8k+4-4k2-4k-12=0,
4k-8=0,k=2.
(2)见全解全析
易错点 忽视a≠0这一隐含条件而致错
【典例】已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.
【解析】(1)当k=0时,原方程为-3x+1=0,
解得x=,∴k=0符合题意;
当k≠0时,原方程为一元二次方程,
∵该一元二次方程有实数根,
∴Δ=(-3)2-4×k×1≥0,
解得k≤,又k≠0,∴k≤且k≠0.
综上所述,k的取值范围为k≤.
(2)∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0的两个根,∴x1+x2=,x1x2=.∵x1+x2+x1x2=4,
∴+=4,解得k=1,
经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意.
∴k的值为1.
