第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程的相关概念及一般形式
1.(概念应用题)(2024·贵阳期末)下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的是 ( )
A.3x+2=0
B.x2-3x=0
C.x+3xy-1=0
D.-4=0
2.(2024·遵义红花岗区质检)若方程(a+4)-3x+8=0是关于x的一元二次方程,则a的值为 .
3.(教材再开发·P4练习T1改编)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)x(x-2)=x+3.
(2)2x2=2x-3.
(3)(x+3)(x-3)=5x.
知识点2 一元二次方程解的概念
4.(2024·黔东南州期末)关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值是 ( )
A.-3 B.3
C.-2 D.2
5.(2024·贵阳花溪区期中)若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1,则m+n= .
6.(教材再开发·P4习题T3改编)判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根.
(1)x2-3x+2=0(x1=1,x2=2,x3=3).
(2)(3x-1)2-8=0(x1=-1,x2=1,x3=).
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
7.(生活情境题)根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36,求正方体的棱长x.
(2)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有x支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,求比赛支数x.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2024·铜仁碧江区质检)下列方程中:
①2x2-1=0;②3(x+2)=-5;③=1;
④x2-=5,是一元二次方程的有 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
9.(易错警示题)方程(m+1)x|m-1|-mx+2=0是关于x的一元二次方程,则 ( )
A.m=-1或3 B.m=3
C.m=-1 D.m≠-1
10.(2024·六盘水钟山区期中)近期,六盘水市的红心猕猴桃一经上市,就大受欢迎.据调查:该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元,到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元.设每周的平均减少率均为x,则可列出方程为 ( )
A.9(1-2x)2=16 B.16(1-x)2=9
C.9(1+2x)2=16 D.16(1-x2)=9
11.关于x的一元二次方程m2-2m+m(x2+1)=x的二次项系数、一次项系数及常数项分别为 .
12.(2024·贵阳乌当区质检)若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常数项为0,则m的值等于 .
13.已知a是一元二次方程x2-2 023x+1=0的一个解,试求a2-2 022a-的值.
14.某学校课外生物小组的试验园地是一块长35 m,宽26 m的矩形.为了便于管理,现要在中间修建同样宽的两条互相垂直的道路(如图),要使种植面积为850 m2,道路的宽应为多少 (列出方程,化成一般形式)
15.(素养提升题)已知关于x的方程(a2-1)x2+(a-1)x-1=0.
(1)当a为何值时,此方程为一元一次方程 并求出此方程的根.
(2)当a为何值时,此方程为一元二次方程 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
易错点 忽视一元二次方程一般形式中a≠0这一隐含条件
【典例】若关于x的方程(a-1)-3x+2=0是一元二次方程,则 ( )
A.a≠±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程的相关概念及一般形式
1.(概念应用题)(2024·贵阳期末)下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的是 (B)
A.3x+2=0
B.x2-3x=0
C.x+3xy-1=0
D.-4=0
2.(2024·遵义红花岗区质检)若方程(a+4)-3x+8=0是关于x的一元二次方程,则a的值为 4 .
3.(教材再开发·P4练习T1改编)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)x(x-2)=x+3.
(2)2x2=2x-3.
(3)(x+3)(x-3)=5x.
【解析】(1)方程x(x-2)=x+3
化成一般形式是x2-3x-3=0,
它的二次项系数是1,一次项系数是-3,常数项是-3.
(2)∵2x2=2x-3,∴2x2-2x+3=0,
∴二次项系数是2,一次项系数是-2,常数项是3.
(3)化为一般式,得x2-5x-9=0,∴二次项系数是1,一次项系数是-5,常数项是-9.
知识点2 一元二次方程解的概念
4.(2024·黔东南州期末)关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值是 (D)
A.-3 B.3
C.-2 D.2
5.(2024·贵阳花溪区期中)若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1,则m+n= -1 .
6.(教材再开发·P4习题T3改编)判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根.
(1)x2-3x+2=0(x1=1,x2=2,x3=3).
(2)(3x-1)2-8=0(x1=-1,x2=1,x3=).
【解析】(1)当x=1时,x2-3x+2=0;当x=2时,x2-3x+2=0;当x=3时,x2-3x+2=2≠0,所以x=1或x=2是方程x2-3x+2=0的解;
(2)当x=-1时,(3x-1)2-8=0;当x=1时,(3x-1)2-8=-6≠0;
当x=时,(3x-1)2-8=0.
所以x=-1或x=是方程(3x-1)2-8=0的解.
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
7.(生活情境题)根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36,求正方体的棱长x.
(2)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有x支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,求比赛支数x.
【解析】见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2024·铜仁碧江区质检)下列方程中:
①2x2-1=0;②3(x+2)=-5;③=1;
④x2-=5,是一元二次方程的有 (C)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
9.(易错警示题)方程(m+1)x|m-1|-mx+2=0是关于x的一元二次方程,则 (B)
A.m=-1或3 B.m=3
C.m=-1 D.m≠-1
10.(2024·六盘水钟山区期中)近期,六盘水市的红心猕猴桃一经上市,就大受欢迎.据调查:该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元,到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元.设每周的平均减少率均为x,则可列出方程为 (B)
A.9(1-2x)2=16 B.16(1-x)2=9
C.9(1+2x)2=16 D.16(1-x2)=9
11.关于x的一元二次方程m2-2m+m(x2+1)=x的二次项系数、一次项系数及常数项分别为 m,-1,m2-m .
12.(2024·贵阳乌当区质检)若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常数项为0,则m的值等于 -2 .
13.已知a是一元二次方程x2-2 023x+1=0的一个解,试求a2-2 022a-的值.
【解析】由方程的解的意义得a2-2 023a+1=0,故a2+1=2 023a, a2-2 023a=-1.
∴a2-2 022a-=a2-2 022a-= a2-2 023a=-1.
14.某学校课外生物小组的试验园地是一块长35 m,宽26 m的矩形.为了便于管理,现要在中间修建同样宽的两条互相垂直的道路(如图),要使种植面积为850 m2,道路的宽应为多少 (列出方程,化成一般形式)
【解析】设道路的宽应为x米,
由题意有(35-x)(26-x)=850,化成一般形式得x2-61x+60=0.
15.(素养提升题)已知关于x的方程(a2-1)x2+(a-1)x-1=0.
(1)当a为何值时,此方程为一元一次方程 并求出此方程的根.
(2)当a为何值时,此方程为一元二次方程 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解析】(1)由题意,得,
解得,所以a=-1.
因此当a=-1时,此方程为一元一次方程.即(-1-1)x-1=0,解得x=-.
(2)由题意,得a2-1≠0,解得a≠±1,
即当a≠±1时,此方程为一元二次方程,这个方程的二次项系数为a2-1,一次项系数为a-1,常数项为-1.
易错点 忽视一元二次方程一般形式中a≠0这一隐含条件
【典例】若关于x的方程(a-1)-3x+2=0是一元二次方程,则 (C)
A.a≠±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=
