21.2.1 配方法
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 配方法的一般步骤
1.用配方法解方程x2-6x=16时,应在方程两边同时加上 ( )
A.3 B.9 C.6 D.36
2.用配方法解一元二次方程x2+8x-9=0时,第一步是 ( )
A.方程两边同时乘
B.方程两边同时乘
C.方程两边同时加16
D.方程两边同时加9
3.下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
4.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图1是小思做的,图2是小博做的,对于两人的做法,说法正确的是 ( )
A.两人都正确
B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确
D.两人都不正确
知识点2 配方法解一元二次方程
5.(2024·六盘水期中)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程变形为 ( )
A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6
C.(x+2)2=9 D.(x-1)2=9
6.用配方法解一元二次方程2x2-5x-3=0,可以写成(x+h)2=k的形式为 .
7.(教材再开发·P9练习T2变式)用配方法解下列方程:
(1)x2+6x=-7.
(2)(2024·黔东南州从江县质检)x2+2x-5=0;
(3)2x2+x-1=0.
(4)3x2-5x-2=0.
(
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2024·贵阳期末)一元二次方程x2+4x+1=0配方后可变形为(x+2)2=k,则k的值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
9.用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ( )
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为=
D.3x2-4x-2=0化为=
10.(新定义运算题)设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是 ( )
A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1
C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-2
11.若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则c的值为
.
12.方程x(x-8)=-7的根是 .
13.当x= 时,代数式3x2-6x的值等于12.
14.已知三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个根.请用配方法解此方程,并计算出三角形的面积.
15.(素养提升题)(2024·济南期末)阅读材料:
利用完全平方公式可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法称为多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法.
例如:求代数式x2+4x+6的最小值.
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2
∵(x+2)2≥0,
∴当x=-2时,x2+4x+6有最小值是2.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)求代数式x2-6x+12的最小值.
(2)若y=-x2+2x-3,当x= 时,y有最 值(填“大”或“小”),这个值是 .
(3)试说明:无论x,y取任何实数,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数.
易错点 配方时右边漏加而致错
【典例】用配方法解方程4x2-7=12x.21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 直接开平方法解一元二次方程的条件
1.(概念理解题)已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是 (C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个实数根
2.下列方程可用直接开平方法求解的是 (A)
A.x2=4
B.4x2-4x-3=0
C.x2-3x=0
D.x2-2x-1=9
3.(2024·黔东南州质检)若方程(x-m)2=b有解,那么b的取值范围是 b≥0 .
知识点2 用直接开平方法解一元二次方程
4.(2024·毕节威宁县期末)方程x2=16的解为 (C)
A.x=4 B.x=-4
C.x=4或-4 D.x=0或4
5.一元二次方程x2+2x+1=0的解是 (C)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1
D.x1=-1,x2=2
6.(2024·贵阳期末)一元二次方程x2-49=0的根是 ±7 .
7.若x2+mx+4是完全平方式,则m的值为 ±4 .
8.若2x2+3与2x2-4互为相反数,则x为.
9.(2023·贵阳白云区质检)小华在解方程(x+6)2-9=0,解答过程如下:
移项,得(x+6)2=9……第一步
两边开平方,得x+6=3……第二步
所以x=-3……第三步
小华的解答从第 步开始出错,请写出正确的解答过程.
【解析】小华的解答从第二步开始出错.
正确的解答过程为:
移项,得(x+6)2=9,
两边开平方,得x+6=±3,
所以x1=-3,x2=-9.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m-1和2m+4,则的值为 (A)
A.4 B.3 C.2 D.1
11.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值是 (B)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0.5
12.对于一元二次方程(ax+b)2=c,下列叙述正确的是 (C)
A.不论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是x=
C.c≥0时,方程可化为:ax+b=或ax+b=-
D.c=0时,x=
13.若|x2-4x+4|与互为相反数,则x+y的值为 (A)
A.3 B.4 C.6 D.9
14.(2024·遵义红花岗区质检)方程(x+2)2=8,则方程的根为.
15.(新定义运算题)在实数范围内定义一种运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则,方程(x-2)※1=0的解为 x1=1,x2=3 .
16.(2024·六盘水期中)若方程ax2+c=0的解是x=1,则方程a(x-1)2+c=0的解是
x1=2,x2=0 .
17.用直接开平方法解下列方程:
(1)(2024·六盘水水城区期中)(2x-1)2=4;
(2)(2x-5)2-2=0;
(3)4x2-4x+1=0;
(4)(2024·遵义绥阳县质检)x2-6x+9=(5-2x)2.
【解析】(1)(2x-1)2=4,
2x-1=±2,
∴x1=,x2=-.
(2)由原方程,得(2x-5)2=4,2x-5=±2,
x=,解得x1=,x2=.
(3)4x2-4x+1=0,
(2x-1)2=0,
∴x1=x2=.
(4)∵(x-3)2=(5-2x)2,
∴x-3=5-2x或x-3=2x-5,
解得:x1=2,x2=.
18.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1,且a,b满足等式b=++3,求方程y2+c=0的根.
【解析】由题意,得a-2≥0,2-a≥0,
∴a=2.
将a=2代入b=++3中,
得b=3.
根据方程根的定义可知x=1满足ax2+bx+c=0,
将x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0.
将a=2,b=3代入a+b+c=0,得c=-5.
将c=-5代入y2+c=0,得y2-5=0,
∴y2=5,∴y2=20,∴y=±2.
易错点 忽略平方的意义而致错
【典例】已知(a2+b2+2)(a2+b2-2)=5,那么a2+b2= 3 . 21.2.1 配方法
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 配方法的一般步骤
1.用配方法解方程x2-6x=16时,应在方程两边同时加上 (B)
A.3 B.9 C.6 D.36
2.用配方法解一元二次方程x2+8x-9=0时,第一步是 (B)
A.方程两边同时乘
B.方程两边同时乘
C.方程两边同时加16
D.方程两边同时加9
3.下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是 (D)
A.① B.② C.③ D.④
4.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图1是小思做的,图2是小博做的,对于两人的做法,说法正确的是 (A)
A.两人都正确
B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确
D.两人都不正确
知识点2 配方法解一元二次方程
5.(2024·六盘水期中)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程变形为 (B)
A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6
C.(x+2)2=9 D.(x-1)2=9
6.用配方法解一元二次方程2x2-5x-3=0,可以写成(x+h)2=k的形式为.
7.(教材再开发·P9练习T2变式)用配方法解下列方程:
(1)x2+6x=-7.
(2)(2024·黔东南州从江县质检)x2+2x-5=0;
(3)2x2+x-1=0.
(4)3x2-5x-2=0.
【解析】(1)∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2,则x+3=±,∴x=-3±,即x1=-3+,x2=-3-.
(2)x2+2x-5=0,
x2+2x=5配方得x2+2x+12=5+12,
(x+1)2=6,
∴x+1=±,
解得x1=-1+,x2=-1-.
(3)∵2x2+x-1=0,∴x2+x-=0.
∴x2+x+=,∴=,
∴x+=±,∴x1=-1,x2=.
(4)3x2-5x-2=0,3x2-5x=2,x2-x=,
x2-x+=+,=,
x-=±,所以x1=-,x2=2.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2024·贵阳期末)一元二次方程x2+4x+1=0配方后可变形为(x+2)2=k,则k的值是 (A)
A.3 B.2 C.1 D.0
9.用配方法解下列方程时,配方有错误的是 (B)
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为=
D.3x2-4x-2=0化为=
10.(新定义运算题)设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是 (C)
A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1
C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-2
11.若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则c的值为
3 .
12.方程x(x-8)=-7的根是 x1=7,x2=1 .
13.当x= 1± 时,代数式3x2-6x的值等于12.
14.已知三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个根.请用配方法解此方程,并计算出三角形的面积.
【解析】首先解方程x2-16x+60=0得,
移项得x2-16x=-60,配方得x2-16x+82=-60+82,即(x-8)2=4,开方得x-8=±2,解得x1=6或x2=10;
如图(1)根据勾股定理的逆定理,△ABC为直角三角形,S△ABC=×6×8=24;
如图(2)AD==2,S△ABC=×8×2=8.
15.(素养提升题)(2024·济南期末)阅读材料:
利用完全平方公式可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法称为多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法.
例如:求代数式x2+4x+6的最小值.
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2
∵(x+2)2≥0,
∴当x=-2时,x2+4x+6有最小值是2.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)求代数式x2-6x+12的最小值.
(2)若y=-x2+2x-3,当x= 时,y有最 值(填“大”或“小”),这个值是 .
(3)试说明:无论x,y取任何实数,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数.
【解析】(1)x2-6x+12=x2-6x+9-9+12=(x-3)2+3,
∵(x-3)2≥0,∴当x=3时,x2-6x+12有最小值是3;
(2)y=-x2+2x-3=-(x2-2x+1)+1-3=-(x-1)2-2,
当x=1时,y有最大值,这个值是-2.
答案:1 大 -2
(3)x2+y2-4x+2y+6=x2-4x+4+y2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,
∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y取任何实数,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数.
易错点 配方时右边漏加而致错
【典例】用配方法解方程4x2-7=12x.
【解析】见全解全析21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 直接开平方法解一元二次方程的条件
1.(概念理解题)已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个实数根
2.下列方程可用直接开平方法求解的是 ( )
A.x2=4
B.4x2-4x-3=0
C.x2-3x=0
D.x2-2x-1=9
3.(2024·黔东南州质检)若方程(x-m)2=b有解,那么b的取值范围是 .
知识点2 用直接开平方法解一元二次方程
4.(2024·毕节威宁县期末)方程x2=16的解为 ( )
A.x=4 B.x=-4
C.x=4或-4 D.x=0或4
5.一元二次方程x2+2x+1=0的解是 ( )
A.x1=1,x2=-1
B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1
D.x1=-1,x2=2
6.(2024·贵阳期末)一元二次方程x2-49=0的根是 .
7.若x2+mx+4是完全平方式,则m的值为 .
8.若2x2+3与2x2-4互为相反数,则x为 .
9.(2023·贵阳白云区质检)小华在解方程(x+6)2-9=0,解答过程如下:
移项,得(x+6)2=9……第一步
两边开平方,得x+6=3……第二步
所以x=-3……第三步
小华的解答从第 步开始出错,请写出正确的解答过程.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m-1和2m+4,则的值为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值是 ( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0.5
12.对于一元二次方程(ax+b)2=c,下列叙述正确的是 ( )
A.不论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是x=
C.c≥0时,方程可化为:ax+b=或ax+b=-
D.c=0时,x=
13.若|x2-4x+4|与互为相反数,则x+y的值为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.9
14.(2024·遵义红花岗区质检)方程(x+2)2=8,则方程的根为 .
15.(新定义运算题)在实数范围内定义一种运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则,方程(x-2)※1=0的解为 .
16.(2024·六盘水期中)若方程ax2+c=0的解是x=1,则方程a(x-1)2+c=0的解是
.
17.用直接开平方法解下列方程:
(1)(2024·六盘水水城区期中)(2x-1)2=4;
(2)(2x-5)2-2=0;
(3)4x2-4x+1=0;
(4)(2024·遵义绥阳县质检)x2-6x+9=(5-2x)2.
18.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1,且a,b满足等式b=++3,求方程y2+c=0的根.
易错点 忽略平方的意义而致错
【典例】已知(a2+b2+2)(a2+b2-2)=5,那么a2+b2= .
