21.2.3 因式分解法
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.(2024·六盘水盘州市期中)方程x2-2x=0的根是 (C)
A.x1=x2=0 B.x1=x2=2
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
2.关于一元二次方程x2-5x-6=0,下列分解正确的是 (C)
A.(x-2)(x+3)=0
B.(x-1)(x+6)=0
C.(x+1)(x-6)=0
D.(x+2)(x-3)=0
3.(2023·六盘水钟山区期末)关于x的方程(x-3)(x+1)=0的解是 x1=3,x2=-1 .
4.(2023·毕节赫章县模拟)方程2x(x-4)=5(x-4)的解是 x1=4,x2= .
5.(教材再开发·P14练习T1变式)(2024·贵阳期中)用因式分解法解下列方程:
(1)(x-5)2-36=0;
(2)x2-2x-8=0;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2).
【解析】(1)(x-5)2-36=0,
因式分解,得(x-5-6)(x-5+6)=0,
∴x-5-6=0或x-5+6=0,
所以x1=11,x2=-1;
(2)x2-2x-8=0,
因式分解,得(x-4)(x+2)=0,
∴x-4=0或x+2=0,
所以x1=4,x2=-2;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2),
移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,
因式分解,得(x+2)(x-3)=0,
∴x+2=0或x-3=0,
∴x1=-2,x2=3.
知识点2 选择适当的方法解一元二次方程
6.方程(x+2)2=3(2+x)最适合的解法是(B)
A.直接开平方法 B.因式分解法
C.公式法 D.配方法
7.(2024·六盘水期中)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下.
嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3,解得x=6.
淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0.
(1)嘉嘉的解法 ,淇淇的解法 .(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项.
【解析】(1)嘉嘉的解法不正确,淇淇的解法不正确.
答案:不正确 不正确
(2)正确的解法是:3(x-3)=(x-3)2,
移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,则x-3=0或3-x+3=0,解得x1=3,x2=6,
在利用因式分解法解一元二次方程时,注意把方程一边的多项式正确因式分解.
8.(教材再开发·P25习题T1强化)(2024·贵阳南明区质检)用恰当的方法解下列方程:
(1)x2-4x+1=0;
(2)2x2+5=7x;
(3)(x+3)2=2(x+3).
【解析】(1)移项得:x2-4x=-1,
配方得:x2-4x+4=3,即(x-2)2=3,
开方得:x-2=±,
解得:x1=2+,x2=2-;
(2)(3)见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2023·铜仁万山区模拟)若x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5,则多项式2x2-4px+6q可以分解为 (C)
A.(x+3)(x-5) B.(x-3)(x+5)
C.2(x+3)(x-5) D.2(x-3)(x+5)
10.一元二次方程x2+5x=0的较大的一个根设为m,x2-3x+2=0较小的根设为n,则m+n的值为 (A)
A.1 B.2 C.-4 D.4
11.(易错警示题)若 (a2+b2)(a2+b2-3)-4=0,则a2+b2的值为 (C)
A.-3 B.-1或4
C.4 D.无法计算
12.方程x2=2 023x的解是 x1=0,x2=2 023 .
13.用因式分解法解方程x2-mx-12=0,将左边分解后有一个因式为x-2,则m的值是
-4 .
14.(2024·六盘水钟山区期中)新概念运算:运算符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,则关于x的二阶行列式=0的根的情况是 没有实数根 .
15.(2023·贵阳修文县期中)阅读理解以下内容,解决问题:
例:解方程:x2+|x|-2=0.
解:①当x≥0时,
原方程化为:x2+x-2=0.
解得x=1或x=-2,
∵x≥0,∴x=-2舍去;
②当x<0时,
原方程化为:x2-x-2=0,
解得x=2或x=-1,
∵x<0,∴x=2舍去,
综上所述,原方程的解是x1=1,x2=-1.
依照上述解法,解方程:x2-2|x-2|-4=0.
【解析】x2-2|x-2|-4=0,
①当x-2≥0,即x≥2时,
原方程化为:x2-2(x-2)-4=0,
即x2-2x=0,解得x=0或x=2,
∵x≥2,∴x=0舍去;
②当x-2<0,即x<2时,
原方程化为:x2-2(2-x)-4=0,
即x2+2x-8=0,解得x=2或x=-4,
∵x<2,∴x=2舍去,
综上所述,原方程的解是x1=2,x2=-4.
16.(素养提升题)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【解析】(1)△ABC是等腰三角形,理由:
当x=-1时,(a+b)-2c+(b-a)=0,
∴b=c,∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形,
理由:∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(2c)2-4(a+b)(b-a)=0,
∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形.
(3)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,
∴原方程可化为:2ax2+2ax=0,即:x2+x=0,∴x(x+1)=0,∴x1=0,x2=-1,即:这个一元二次方程的根为x1=0,x2=-1.21.2.3 因式分解法
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.(2024·六盘水盘州市期中)方程x2-2x=0的根是 ( )
A.x1=x2=0 B.x1=x2=2
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
2.关于一元二次方程x2-5x-6=0,下列分解正确的是 ( )
A.(x-2)(x+3)=0
B.(x-1)(x+6)=0
C.(x+1)(x-6)=0
D.(x+2)(x-3)=0
3.(2023·六盘水钟山区期末)关于x的方程(x-3)(x+1)=0的解是 .
4.(2023·毕节赫章县模拟)方程2x(x-4)=5(x-4)的解是 .
5.(教材再开发·P14练习T1变式)(2024·贵阳期中)用因式分解法解下列方程:
(1)(x-5)2-36=0;
(2)x2-2x-8=0;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2).
知识点2 选择适当的方法解一元二次方程
6.方程(x+2)2=3(2+x)最适合的解法是( )
A.直接开平方法 B.因式分解法
C.公式法 D.配方法
7.(2024·六盘水期中)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下.
嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3,解得x=6.
淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0.
(1)嘉嘉的解法 ,淇淇的解法 .(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项.
8.(教材再开发·P25习题T1强化)(2024·贵阳南明区质检)用恰当的方法解下列方程:
(1)x2-4x+1=0;
(2)2x2+5=7x;
(3)(x+3)2=2(x+3).
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2023·铜仁万山区模拟)若x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5,则多项式2x2-4px+6q可以分解为 ( )
A.(x+3)(x-5) B.(x-3)(x+5)
C.2(x+3)(x-5) D.2(x-3)(x+5)
10.一元二次方程x2+5x=0的较大的一个根设为m,x2-3x+2=0较小的根设为n,则m+n的值为 ( )
A.1 B.2 C.-4 D.4
11.(易错警示题)若 (a2+b2)(a2+b2-3)-4=0,则a2+b2的值为 ( )
A.-3 B.-1或4
C.4 D.无法计算
12.方程x2=2 023x的解是 .
13.用因式分解法解方程x2-mx-12=0,将左边分解后有一个因式为x-2,则m的值是
.
14.(2024·六盘水钟山区期中)新概念运算:运算符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,则关于x的二阶行列式=0的根的情况是 .
15.(2023·贵阳修文县期中)阅读理解以下内容,解决问题:
例:解方程:x2+|x|-2=0.
解:①当x≥0时,
原方程化为:x2+x-2=0.
解得x=1或x=-2,
∵x≥0,∴x=-2舍去;
②当x<0时,
原方程化为:x2-x-2=0,
解得x=2或x=-1,
∵x<0,∴x=2舍去,
综上所述,原方程的解是x1=1,x2=-1.
依照上述解法,解方程:x2-2|x-2|-4=0.
16.(素养提升题)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
