第二十一章 一元二次方程
(120分钟 150分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是 ( )
A.x+=0 B.x+xy+1=0 C.3x+2=0 D.x2+2x=1
2.用公式法解一元二次方程x2-=2x,正确的应是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
3.(2024·贵阳云岩区质检)用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0,配方正确的是 ( )
A.(x+3)2=-5 B.(x-3)2=13
C.(x+3)2=5 D.(x-3)2=5
4.下列方程能用因式分解法求解的有 ( )
①x2=x;②x2-x+=0;③x-x2-3=0;④(3x+2)2=16.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2024·贵阳花溪区期中)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为 ( )
A.有两个不等的实数根 B.无实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法判定
6.已知关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为 ( )
A.6 B.-6 C.9 D.-9
7.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为 ( )
A.0 B.-10 C.3 D.10
8.(新定义运算题)若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的根为 ( )
A.x=-2
B.x1=-2,x2=3
C.x1=,x2=
D.x1=,x2=
9.若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根,则该菱形ABCD的周长为 ( )
A.16 B.24 C.16或24 D.48
10.(2023·襄阳中考)我国南宋数学家杨辉提出了一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是:长方形的面积是864平方步,宽比长少12步,问宽和长各是几步.设宽为x步,根据题意列方程正确的是 ( )
A.2x+2(x+12)=864 B.x2+2(x+12)=864
C.x(x-12)=864 D.x(x+12)=864
11.已知m,n是关于x的方程x2+(2b+3)x+b2=0的两个实数根,且满足+1=-,则b的值为 ( )
A.3 B.3或-1 C.2 D.0或2
12.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),给出下列说法:①若a+c=0,则方程必有两个实数根;②若a+b+c=0,则方程必有两个实数根;③若b=2a+3c,则方程有两个不相等的实数根;④若b2-5ac<0,则方程一定没有实数根.其中说法正确的序号是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·贵阳清镇市质检)一元二次方程3x2-4x+1=0的常数项是 .
14.(2024·六盘水钟山区期中)若x=1是方程x2+2x-a=0的解,则a的值为 .
15.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程 .
16.(2024·厦门期末)某商店经销一批小家电,每个小家电成本为40元,市场预测定价为50元时,可销售200个,当定价每增加1元时销售量将减少10个.若商店进货全部售完后赚了2 250元,则本次小家电的销售定价是 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)用适当的方法解下列方程:
(1)x(x-5)=3x-15;
(2)2y2-9y+5=0.
18.(10分)(2024·遵义绥阳县期末)阅读材料,并回答问题:
佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下:
解:x2+6x-4=0,
x2+6x=4……①,
x2+6x+9=4…②,
(x+3)2=4…③,
x+3=±2…④,
x+3=2,x+3=-2,
x1=-1,x2=-5.
问题:
(1)佳佳解方程的方法是 ;
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
(2)上述解答过程中,从 步开始出现了错误(填序号),发生错误的原因是 ;
(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程.
19.(10分)已知一元二次方程2x2-mx-m=0的一个根是-,求m的值和方程的另一个根.
20.(10分)已知方程x2-3x+k=0是关于x的一元二次方程.
(1)当k=2时,求该一元二次方程的根;
(2)若该一元二次方程无实数根,请写出满足条件的k的取值范围.
21.(10分)设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2;
(2)+.
22.(12分)(2024·铜仁碧江区质检)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两根x1,x2是斜边长为5的直角三角形两直角边长,求k的值.
23.(12分)为了满足社区居民强身健体的需要,政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区,经过考察了解,某公司有A,B两种型号的健身器材可供选择,已知该公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元,2020年每套B型健身器材的售价为2万元,2022年每套A型健身器材的售价为1.6万元,每套A型,B型健身器材的年平均下降率相同.
(1)求2020年到2022年每套A型健身器材的年平均下降率;
(2)2022年政府经过招标,决定年内采购并安装该公司A,B两种型号的健身器材共80套,政府采购专项经费总计不超过115.2万元,问B型健身器材最少可购买多少套
24.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以
1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2
25.(12分)自陆海新通道铁海联运班列开行以来,加快了汽车整车及零配件、粮食、生鲜冻货等300余个品类货物的流通,某厂家生产一种零件,该零件的成本由材料成本和生产运输成本组成.
(1)每个零件的成本价为40元,每个零件的生产运输成本不超过材料成本的,也不低于材料成本的,求每个零件的生产运输成本至少为多少元(每个零件的生产运输成本为整数元);
(2)厂家将单个零件的出厂价定为60元,今年年初该厂为鼓励进货商增加订购量,采取了优惠措施,1月份的措施:一次性订购达到200个及以上,每20个免费赠送一个;2月份的措施:一次性订购量多于200个时每超出一个,全部零件的出厂价就降低0.1元,但出厂单价不能低于成本价.某进货商在1月份和2月份各订购了一次,共600个,总货款27 400元,两次都享受了优惠,其中1月份的订购量是20的整数倍.求1月份订购量.第二十一章 一元二次方程
(120分钟 150分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是 (D)
A.x+=0 B.x+xy+1=0 C.3x+2=0 D.x2+2x=1
2.用公式法解一元二次方程x2-=2x,正确的应是 (B)
A.x= B.x=
C.x= D.x=
3.(2024·贵阳云岩区质检)用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0,配方正确的是 (D)
A.(x+3)2=-5 B.(x-3)2=13
C.(x+3)2=5 D.(x-3)2=5
4.下列方程能用因式分解法求解的有 (C)
①x2=x;②x2-x+=0;③x-x2-3=0;④(3x+2)2=16.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2024·贵阳花溪区期中)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为 (B)
A.有两个不等的实数根 B.无实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法判定
6.已知关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为 (C)
A.6 B.-6 C.9 D.-9
7.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为 (A)
A.0 B.-10 C.3 D.10
8.(新定义运算题)若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的根为 (D)
A.x=-2
B.x1=-2,x2=3
C.x1=,x2=
D.x1=,x2=
9.若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根,则该菱形ABCD的周长为 (B)
A.16 B.24 C.16或24 D.48
10.(2023·襄阳中考)我国南宋数学家杨辉提出了一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是:长方形的面积是864平方步,宽比长少12步,问宽和长各是几步.设宽为x步,根据题意列方程正确的是 (D)
A.2x+2(x+12)=864 B.x2+2(x+12)=864
C.x(x-12)=864 D.x(x+12)=864
11.已知m,n是关于x的方程x2+(2b+3)x+b2=0的两个实数根,且满足+1=-,则b的值为 (A)
A.3 B.3或-1 C.2 D.0或2
12.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),给出下列说法:①若a+c=0,则方程必有两个实数根;②若a+b+c=0,则方程必有两个实数根;③若b=2a+3c,则方程有两个不相等的实数根;④若b2-5ac<0,则方程一定没有实数根.其中说法正确的序号是 (A)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·贵阳清镇市质检)一元二次方程3x2-4x+1=0的常数项是 1 .
14.(2024·六盘水钟山区期中)若x=1是方程x2+2x-a=0的解,则a的值为 3 .
15.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程 x2-6x+6=0 .
16.(2024·厦门期末)某商店经销一批小家电,每个小家电成本为40元,市场预测定价为50元时,可销售200个,当定价每增加1元时销售量将减少10个.若商店进货全部售完后赚了2 250元,则本次小家电的销售定价是 55元 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)用适当的方法解下列方程:
(1)x(x-5)=3x-15;
(2)2y2-9y+5=0.
【解析】(1)x(x-5)=3x-15,则x(x-5)=3(x-5),
∴x(x-5)-3(x-5)=0,∴(x-5)(x-3)=0,
∴x-5=0或x-3=0,∴x1=5,x2=3;
(2)2y2-9y+5=0,a=2,b=-9,c=5,
Δ=b2-4ac=(-9)2-4×2×5=41,则y=,
∴y1=,y2=.
18.(10分)(2024·遵义绥阳县期末)阅读材料,并回答问题:
佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下:
解:x2+6x-4=0,
x2+6x=4……①,
x2+6x+9=4…②,
(x+3)2=4…③,
x+3=±2…④,
x+3=2,x+3=-2,
x1=-1,x2=-5.
问题:
(1)佳佳解方程的方法是 ;
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
(2)上述解答过程中,从 步开始出现了错误(填序号),发生错误的原因是 ;
(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程.
【解析】(1)由解答过程知,佳佳解方程的方法是配方法;
答案:B
(2)从②开始出现了错误,发生错误的原因是:等号右边没有加9;
答案:② 等号右边没有加9
(3)移项得:x2+6x=4,
配方得:x2+6x+9=4+9,即(x+3)2=13,
∴x+3=±,∴x+3=或x+3=-,
∴x1=-3+,x2=-3-.
19.(10分)已知一元二次方程2x2-mx-m=0的一个根是-,求m的值和方程的另一个根.
【解析】设方程的另一个根是a,
∵一元二次方程2x2-mx-m=0的一个根是-,
∴根据根与系数的关系得:a+=,-a=-,
解得:m=1,a=1,即m=1,方程的另一个根是1.
20.(10分)已知方程x2-3x+k=0是关于x的一元二次方程.
(1)当k=2时,求该一元二次方程的根;
(2)若该一元二次方程无实数根,请写出满足条件的k的取值范围.
【解析】(1)把k=2代入,得x2-3x+2=0,
分解因式,得(x-1)(x-2)=0,
所以x-1=0或x-2=0,解得x1=1,x2=2;
(2)∵该一元二次方程无实数根,
∴Δ<0,即(-3)2-4k<0,解得k>.
21.(10分)设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2;
(2)+.
【解析】根据题意得x1+x2=-2,x1x2=-.
(1)原式=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×(-)=10;
(2)原式===.
22.(12分)(2024·铜仁碧江区质检)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两根x1,x2是斜边长为5的直角三角形两直角边长,求k的值.
【解析】(1)Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
所以无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)x1+x2=2k+1,x1x2=k2+k,
∵+=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,
∴(2k+1)2-2(k2+k)=25,
整理得k2+k-12=0,解得k1=3,k2=-4,
∵x1+x2=2k+1>0,x1x2=k2+k>0,∴k的值为3.
23.(12分)为了满足社区居民强身健体的需要,政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区,经过考察了解,某公司有A,B两种型号的健身器材可供选择,已知该公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元,2020年每套B型健身器材的售价为2万元,2022年每套A型健身器材的售价为1.6万元,每套A型,B型健身器材的年平均下降率相同.
(1)求2020年到2022年每套A型健身器材的年平均下降率;
(2)2022年政府经过招标,决定年内采购并安装该公司A,B两种型号的健身器材共80套,政府采购专项经费总计不超过115.2万元,问B型健身器材最少可购买多少套
【解析】(1)设每套A型健身器材年平均下降率为x,
根据题意得2.5(1-x)2=1.6,
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去).
答:每套A型健身器材的年平均下降率为20%.
(2)2×(1-20%)2=1.28(万元).
设购买B型健身器材m套,则购买A型健身器材(80-m)套,
根据题意得1.6(80-m)+1.28m≤115.2,解得m≥40.
答:B型健身器材最少可购买40套.
24.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以
1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2
【解析】设x s后△DPQ的面积等于28 cm2,则△DAP,△PBQ,△QCD的面积分别为×12x,×2x(6-x),×6×(12-2x).根据题意,得6×12-×12x-×2x(6-x)-×6×(12-2x)=28,即x2-6x+8=0.解得x1=2,x2=4.
答:2 s或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.
25.(12分)自陆海新通道铁海联运班列开行以来,加快了汽车整车及零配件、粮食、生鲜冻货等300余个品类货物的流通,某厂家生产一种零件,该零件的成本由材料成本和生产运输成本组成.
(1)每个零件的成本价为40元,每个零件的生产运输成本不超过材料成本的,也不低于材料成本的,求每个零件的生产运输成本至少为多少元(每个零件的生产运输成本为整数元);
(2)厂家将单个零件的出厂价定为60元,今年年初该厂为鼓励进货商增加订购量,采取了优惠措施,1月份的措施:一次性订购达到200个及以上,每20个免费赠送一个;2月份的措施:一次性订购量多于200个时每超出一个,全部零件的出厂价就降低0.1元,但出厂单价不能低于成本价.某进货商在1月份和2月份各订购了一次,共600个,总货款27 400元,两次都享受了优惠,其中1月份的订购量是20的整数倍.求1月份订购量.
【解析】(1)设每个零件的生产运输成本为x元,
由题意得:(40-x)≤x≤(40-x),
解得:10≤x≤,
答:每个零件的生产运输成本至少为10元.
(2)设1月份订购量为x个,
由题意得:60-(600-x-200)×0.1≥40,
解得:x≥200,
由题意得:60+(600-x)[60-(600-x-200)×0.1]=27 400,
整理得:x2-970x+154 000=0,
解得:x=200,或x=770(舍去),∴x=200,
答:1月份订购量为200个.
