第二十一章 一元二次方程
主干快速填思维导图 扫描考点
答案:①__ __;②__ __;③__ __;④__ __;⑤__ __;
⑥ ; ⑦__ __;⑧ ;⑨ ;__ __;
__ __;__ __.
中考对点练真题链接 实战演练
一元二次方程的有关概念
1.(2021·黔东南州中考)若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是2,则a的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023·枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为
__ __.
一元二次方程的解法
3.(2023·赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
4.(2023·无锡中考)解方程:2x2+x-2=0.
5.(2022·贵阳中考)(1)a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示.用“<”或“>”填空:
a________b,ab________0;
(2)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法;它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
①x2+2x-1=0; ②x2-3x=0;
③x2-4x=4; ④x2-4=0.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6.(2021·遵义中考)在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根分别是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根分别是5,-4,则原来的方程是 ( )
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0
7.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 ( )
A.-9 B.- C. D.9
8.(2022·黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a--的值为 ( )
A.7 B.-7 C.6 D.-6
9.(2022·安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是 ( )
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
10.(2022·铜仁中考)若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为__ __.
11.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为__ __.
12.(2023·通辽中考)阅读材料:
材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-,x1x2=.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根,
∴m+n=1,mn=-1.
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)应用:一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=________,x1x2=________.
(2)类比:已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,求m2+n2的值;
(3)提升:已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s≠t,求-的值.
一元二次方程的实际应用
13.(2023·福建中考)根据福建省统计局数据,福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元,2022年的地区生产总值为53 109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程 ( )
A.43 903.89(1+x)=53 109.85
B.43 903.89(1+x)2=53 109.85
C.43 903.89x2=53 109.85
D.43 903.89(1+x2)=53 109.85
14.(2022·毕节中考)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)
价格 类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价(元/件) 30 25
销售价(元/件) 45 37
(1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少
(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
教学总结与教学反思
1.本章教学主要针对一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用.授课教师应充分调动学生积极性,发挥学生的主体作用,以现实生活情境问题入手,激发学生思维的火花.
2.通过口答,学生提前复习列方程解应用题的一般步骤及解一元一次方程的方法,为学习本章知识打好基础.
3.问题探究.教师通过提出问题,让学生解决问题,问题由浅入深,由易到难,也让学生解决问题的能力逐步得到提升,这样学生会感受到成功的概率增大,从而萌发一种积极的学习态度,同时学生在学习中相互交流、相互学习、共同提高.
4.课堂中教师始终贯彻数学源于生活又应用于生活的理念,同时用方程来解决问题,使学生树立一种数学建模的思想.
5.本章授课教师,在课堂上要多给学生展示的机会,让学生走上讲台,向同学们展示自己的聪明才智.这样有利于发现学生分析问题与解决问题的独到见解及思维误区,以便指导今后教学.总之,教师要通过各种启发、激励的教学手段,帮助学生形成积极主动的求知态度,达到教学目的.第二十一章 一元二次方程
主干快速填思维导图 扫描考点
答案:①__一__;②__2__;③__整__;④__配方__;⑤__一般形式__;
⑥ x= ; ⑦__a=0或b=0__;⑧ - ;⑨ ;__两个不相等__;
__两个相等__;__没有__.
中考对点练真题链接 实战演练
一元二次方程的有关概念
1.(2021·黔东南州中考)若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是2,则a的值为 (D)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023·枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为
__2 019__.
一元二次方程的解法
3.(2023·赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 (C)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
4.(2023·无锡中考)解方程:2x2+x-2=0.
【解析】2x2+x-2=0,
∵a=2,b=1,c=-2,
∴b2-4ac=12-4×2×(-2)=17,
∴x==,
∴x1=,x2=.
5.(2022·贵阳中考)(1)a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示.用“<”或“>”填空:
a________b,ab________0;
(2)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法;它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
①x2+2x-1=0; ②x2-3x=0;
③x2-4x=4; ④x2-4=0.
【解析】(1)由数轴上点的坐标知:a<0∴a答案:< <
(2)①利用公式法:x2+2x-1=0,
Δ=22-4×1×(-1)=4+4=8,
∴x====-1±.∴x1=-1+,x2=-1-;
②利用因式分解法:x2-3x=0,
∴x(x-3)=0.∴x1=0,x2=3;
③利用配方法:x2-4x=4,
两边都加上4,得x2-4x+4=8,
∴(x-2)2=8.∴x-2=±2.
∴x1=2+2,x2=2-2;
④利用因式分解法:x2-4=0,
∴(x+2)(x-2)=0.∴x1=-2,x2=2.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6.(2021·遵义中考)在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根分别是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根分别是5,-4,则原来的方程是 (B)
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0
7.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 (C)
A.-9 B.- C. D.9
8.(2022·黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a--的值为 (B)
A.7 B.-7 C.6 D.-6
9.(2022·安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是 (B)
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
10.(2022·铜仁中考)若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为__1__.
11.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为__1__.
12.(2023·通辽中考)阅读材料:
材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-,x1x2=.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根,
∴m+n=1,mn=-1.
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)应用:一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=________,x1x2=________.
(2)类比:已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,求m2+n2的值;
(3)提升:已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s≠t,求-的值.
【解析】(1)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根为x1,x2,∴x1+x2=-,x1x2=-.
答案:- -
(2)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m,n,∴m+n=-,mn=-,
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=+1=;
(3)∵实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,且s≠t,∴s,t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根,∴s+t=-,st=-,
∵(t-s)2=(t+s)2-4st=-2-4×-=,∴t-s=±,
∴-===±.
一元二次方程的实际应用
13.(2023·福建中考)根据福建省统计局数据,福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元,2022年的地区生产总值为53 109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程 (B)
A.43 903.89(1+x)=53 109.85
B.43 903.89(1+x)2=53 109.85
C.43 903.89x2=53 109.85
D.43 903.89(1+x2)=53 109.85
14.(2022·毕节中考)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)
价格 类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价(元/件) 30 25
销售价(元/件) 45 37
(1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少
(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【解析】(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣y件,
依题意得,解得.
答:购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件.
(2)(3)见全解全析
阶段测评 请做“单元测评挑战卷(一)”
教学总结与教学反思
1.本章教学主要针对一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用.授课教师应充分调动学生积极性,发挥学生的主体作用,以现实生活情境问题入手,激发学生思维的火花.
2.通过口答,学生提前复习列方程解应用题的一般步骤及解一元一次方程的方法,为学习本章知识打好基础.
3.问题探究.教师通过提出问题,让学生解决问题,问题由浅入深,由易到难,也让学生解决问题的能力逐步得到提升,这样学生会感受到成功的概率增大,从而萌发一种积极的学习态度,同时学生在学习中相互交流、相互学习、共同提高.
4.课堂中教师始终贯彻数学源于生活又应用于生活的理念,同时用方程来解决问题,使学生树立一种数学建模的思想.
5.本章授课教师,在课堂上要多给学生展示的机会,让学生走上讲台,向同学们展示自己的聪明才智.这样有利于发现学生分析问题与解决问题的独到见解及思维误区,以便指导今后教学.总之,教师要通过各种启发、激励的教学手段,帮助学生形成积极主动的求知态度,达到教学目的.
