第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 已知直角三角形的边长,求锐角的正弦值
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,则sin A= ( )
A. B. C. D.
2.如图,在Rt△ABC中,BC=4,AC=3,∠C=90°,则sin B的值为 ( )
A. B. C. D.
3.(2024·铜仁期末)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3BC,则sin A为 ( )
A. B.
C. D.
4.如图,P是∠α的边OA上一点,且点P的坐标为(3,4),则sin α= .
5.根据图示填空:
sin B==
6.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠OAB的正弦值是 .
知识点2 已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长
7.(2024·聊城期末)在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是 ( )
A. B. C.60 D.80
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,那么BC= .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=2,sin A=,求b和c.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则sin B的值为 ( )
A. B. C. D.
11.如图,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于O,则图中线段的比不能表示sin A的式子为 ( )
A. B. C. D.
12.(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
13.如图,在正方形网格图中,每个小正方形的边长均为1,则∠1的正弦值是 .
14.(2023·铜仁德江县质检)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长相同,那么∠BAC的正弦值为 .
15.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果AD=9,DC=5,E为AC的中点,求sin∠EDC的值.
16.(素养提升题)知识再现
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,
∴c=,c=;
∴=.
拓展探究
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.28.1 锐角三角函数
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 余弦
1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos B的值是 (D)
A. B. C. D.
2.(2024·六盘水质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,AB=3,则cos A的值是 (A)
A. B. C.3 D.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若cos A=,则BC的长为 8 .
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则BC∶AC∶AB= ∶2∶3 .
知识点2 正切
5.(2024·广州期末)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是 (D)
A.2 B. C. D.
6.如图,在Rt△ABD中,∠A=90°,点C在AD上,∠ACB=45°,tan∠D=,则= .
知识点3 锐角三角函数
7.如图,在平面直角坐标系中,点P(3,m)是第一象限内的点,且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为,则sin α的值为 (A)
A. B. C. D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.
【解析】在Rt△BCD中,∵CD=3,BD=5,
∴BC==4,
又AC=AD+CD=8,∴AB==4,则sin A===,
cos A===,
tan A===.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2023·攀枝花中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则cos A的值为 (C)
A. B. C. D.
10.(2024·六盘水盘州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cos A的值是 (D)
A. B. C. D.
11.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°====2-.类比这种方法,计算tan 22.5°的值为 (B)
A.+1 B.-1
C. D.
12.如图,边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,半径为2的☉A与BC交于点F,则tan∠DEF= .
13.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列四个选项中:(1)sin α=cos α ;(2)tan C=2;(3)sin β=cos β;(4)tan α=1正确的是
(1)(2)(4) .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E,连接AD.若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值.
【解析】在Rt△ACD中,AD=10,sin∠ADC=,∴AC=AD·sin ∠ADC=10×=8,
∴CD===6,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴DA=DB=10,∴BC=CD+DB=16,
在Rt△ABC中,tan B===,
∴AC的长为8,tan B的值为.
15.(素养提升题)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若BE=5,OF=2,求tan ∠OBE的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠OEB=∠OFD=90°,
在△OEB和△OFD中,,
∴△OEB≌△OFD(AAS),∴OE=OF;
(2)见全解全析第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 已知直角三角形的边长,求锐角的正弦值
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,则sin A= (B)
A. B. C. D.
2.如图,在Rt△ABC中,BC=4,AC=3,∠C=90°,则sin B的值为 (C)
A. B. C. D.
3.(2024·铜仁期末)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3BC,则sin A为 (C)
A. B.
C. D.
4.如图,P是∠α的边OA上一点,且点P的坐标为(3,4),则sin α=.
5.根据图示填空:
sin B==
6.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠OAB的正弦值是 .
知识点2 已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长
7.(2024·聊城期末)在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是 (D)
A. B. C.60 D.80
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,那么BC= 12 .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=2,sin A=,求b和c.
【解析】如图,
∵a=2,sin A=,∴c==2×3=6,
则b==4.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则sin B的值为 (A)
A. B. C. D.
11.如图,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于O,则图中线段的比不能表示sin A的式子为 (C)
A. B. C. D.
12.(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
13.如图,在正方形网格图中,每个小正方形的边长均为1,则∠1的正弦值是 .
14.(2023·铜仁德江县质检)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长相同,那么∠BAC的正弦值为 .
15.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果AD=9,DC=5,E为AC的中点,求sin∠EDC的值.
【解析】见全解全析
16.(素养提升题)知识再现
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,
∴c=,c=;
∴=.
拓展探究
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.28.1 锐角三角函数
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 特殊角的锐角三角函数值
1.tan 30°的值等于 (A)
A. B. C.1 D.2
2.在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,则sin C的值是 (A)
A. B. C.1 D.
3.在等腰△ABC中,∠C=90°,则tan A= 1 .
4.(2023·铜仁碧江区期末)计算:cos 245°+tan 30°·sin 60°= 1 .
5.计算:(1)sin 30°+cos 45°-tan 30°·sin 60°.
(2)2tan 60°·cos 30°-sin245°.
【解析】(1)原式=+-×=+-=.
(2)原式=2×-2=3-=.
知识点2 由锐角三角函数值求特殊角
6.(2023·黔东南州黄平县质检)在△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=1,则∠A的度数为 (B)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
7.已知∠A是锐角,且满足3tan A-=0,则∠A的大小为 (A)
A.30° B.45°
C.60° D.无法确定
8.已知∠A是锐角,且tan A=,则sin = .
知识点3 由计算器计算锐角三角函数值
9.用计算器求sin 24°37'的值,以下按键顺序正确的是 (A)
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是 (D)
综合能力练巩固提升 迁移运用
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,=,则∠B的度数是 (A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
12.(2023·六盘水钟山区期末)在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是 (D)
A.-,- B.,
C., D.-,-
13.由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan ∠ABC= (C)
A. B.
C. D.
14.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,tan A=1,sin B=,你认为对△ABC的形状最确切的判断是 (B)
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
15.按如图所示的运算程序,能使输出y值为的是 (C)
A.α=60°,β=45° B.α=30°,β=45°
C.α=30°,β=30° D.α=45°,β=30°
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,则∠B的度数为 60° .
17.定义一种运算:
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin (45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
18.(素养提升题)已知:如图,一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为A(3,n).
(1)求m与n的值;
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B,连接OA,求∠BAO的度数.
【解析】(1)∵y=的图象过点A(3,n),
∴n=,∵一次函数y=x+m的图象过点A(3,n),∴m=-2;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,
由(1)可知,直线AB:y=x-2,
∴B(2,0),即OB=2,
又AC=,OC=3,∴BC=OC-OB=1,
∴AB==2=OB,
∴∠1=∠2,
在Rt△OAC中,tan∠2==,
∴∠2=30°,∴∠BAO=∠2=30°.
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十七)”28.1 锐角三角函数
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 特殊角的锐角三角函数值
1.tan 30°的值等于 ( )
A. B. C.1 D.2
2.在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,则sin C的值是 ( )
A. B. C.1 D.
3.在等腰△ABC中,∠C=90°,则tan A= .
4.(2023·铜仁碧江区期末)计算:cos 245°+tan 30°·sin 60°= .
5.计算:(1)sin 30°+cos 45°-tan 30°·sin 60°.
(2)2tan 60°·cos 30°-sin245°.
知识点2 由锐角三角函数值求特殊角
6.(2023·黔东南州黄平县质检)在△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=1,则∠A的度数为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
7.已知∠A是锐角,且满足3tan A-=0,则∠A的大小为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.无法确定
8.已知∠A是锐角,且tan A=,则sin = .
知识点3 由计算器计算锐角三角函数值
9.用计算器求sin 24°37'的值,以下按键顺序正确的是 ( )
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是 ( )
综合能力练巩固提升 迁移运用
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,=,则∠B的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
12.(2023·六盘水钟山区期末)在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是 ( )
A.-,- B.,
C., D.-,-
13.由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan ∠ABC= ( )
A. B.
C. D.
14.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,tan A=1,sin B=,你认为对△ABC的形状最确切的判断是 ( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
15.按如图所示的运算程序,能使输出y值为的是 ( )
A.α=60°,β=45° B.α=30°,β=45°
C.α=30°,β=30° D.α=45°,β=30°
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,则∠B的度数为 .
17.定义一种运算:
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin (45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
18.(素养提升题)已知:如图,一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为A(3,n).
(1)求m与n的值;
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B,连接OA,求∠BAO的度数.28.1 锐角三角函数
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 余弦
1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos B的值是 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·六盘水质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,AB=3,则cos A的值是 ( )
A. B. C.3 D.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若cos A=,则BC的长为 .
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则BC∶AC∶AB= .
知识点2 正切
5.(2024·广州期末)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是 ( )
A.2 B. C. D.
6.如图,在Rt△ABD中,∠A=90°,点C在AD上,∠ACB=45°,tan∠D=,则= .
知识点3 锐角三角函数
7.如图,在平面直角坐标系中,点P(3,m)是第一象限内的点,且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为,则sin α的值为 ( )
A. B. C. D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2023·攀枝花中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则cos A的值为 ( )
A. B. C. D.
10.(2024·六盘水盘州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cos A的值是 ( )
A. B. C. D.
11.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°====2-.类比这种方法,计算tan 22.5°的值为 ( )
A.+1 B.-1
C. D.
12.如图,边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,半径为2的☉A与BC交于点F,则tan∠DEF= .
13.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列四个选项中:(1)sin α=cos α ;(2)tan C=2;(3)sin β=cos β;(4)tan α=1正确的是
.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E,连接AD.若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值.
15.(素养提升题)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若BE=5,OF=2,求tan ∠OBE的值.
