28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 已知两边解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于 ( )
A.15° B.20° C.30° D.60°
2.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=19,c=19,则b= ,∠A= .
3.如图,在Rt△ABC中,b=6,c=12,解这个直角三角形.
知识点2 已知一边和一锐角(或锐角的三角函数值)解直角三角形
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为 ( )
A.2 B.8 C.4 D.4
5.(2023·遵义播州区质检)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,
AC=10,cos C=,那么CD= .
6.(教材再开发·P73例2变式)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=55°,AC=4,解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)
知识点3 把一般三角形的计算转化为解直角三角形
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,若AC=6,∠C=45°,tan ∠ABC=3,则BD等于 ( )
A.2 B.3 C. D.2
8.(2023·贵阳开阳县质检)如图,在△ABC中,∠A=105°,∠B=30°,AC=2.求AB的长.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,BC=,AC=3,则sin∠ACD= ( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,BC=2,AC=2,∠A=30°,则AB的长为 ( )
A. B.2 C.或4 D.2或4
11.(2023·贵阳修文县质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6,tan B=,则CE= .
12.如图,在△ABC中,sin B=,tan C=2,AB=3,求AC的长.
13.(素养提升题)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,且AC=8,BC=6.
(1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交劣弧于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin ∠ACD的值.
模型 解直角三角形的常见类型
已知条件 解法
一 边 一 角 直角边a及锐角A ∠B=90°-∠A, b=,c=
斜边c及锐角A ∠B=90°-∠A,a=c·sin A, b=c·cos A
两 边 直角边a和斜边c b=,sin A=, ∠B=90°-∠A
两直角边a和b c=,tan A=, ∠B=90°-∠A28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 已知两边解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于 (C)
A.15° B.20° C.30° D.60°
2.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=19,c=19,则b= 19 ,∠A= 45° .
3.如图,在Rt△ABC中,b=6,c=12,解这个直角三角形.
【解析】在Rt△ACB中,∠C=90°,b=6,c=12,
∴a==6,∴c=2a,
∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.
知识点2 已知一边和一锐角(或锐角的三角函数值)解直角三角形
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为 (A)
A.2 B.8 C.4 D.4
5.(2023·遵义播州区质检)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,
AC=10,cos C=,那么CD= .
6.(教材再开发·P73例2变式)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=55°,AC=4,解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)
【解析】∠A=90°-∠B=90°-55°=35°.
∵tan B=,
∴BC==≈2.8.
∵sin B=,
∴AB==≈4.9.
知识点3 把一般三角形的计算转化为解直角三角形
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,若AC=6,∠C=45°,tan ∠ABC=3,则BD等于 (A)
A.2 B.3 C. D.2
8.(2023·贵阳开阳县质检)如图,在△ABC中,∠A=105°,∠B=30°,AC=2.求AB的长.
【解析】见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,BC=,AC=3,则sin∠ACD= (C)
A. B. C. D.
10.在△ABC中,BC=2,AC=2,∠A=30°,则AB的长为 (D)
A. B.2 C.或4 D.2或4
11.(2023·贵阳修文县质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6,tan B=,则CE= 3 .
12.如图,在△ABC中,sin B=,tan C=2,AB=3,求AC的长.
【解析】过A作AD⊥BC于D,
则∠ADC=∠ADB=90°,
∵tan C=2=,sin B==,
∴AD=2DC,AB=3AD,
∵AB=3,∴AD=1,DC=,
在Rt△ADC中,由勾股定理得
AC===.
13.(素养提升题)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,且AC=8,BC=6.
(1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交劣弧于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin ∠ACD的值.
【解析】(1)分别以A,C为圆心,大于AC为半径画弧,在AC的两侧分别相交于P,Q两点,画直线PQ交劣弧于点D,交AC于点E,即作线段AC的垂直平分线,由垂径定理可知,直线PQ一定过点O;
(2)见全解全析
模型 解直角三角形的常见类型
已知条件 解法
一 边 一 角 直角边a及锐角A ∠B=90°-∠A, b=,c=
斜边c及锐角A ∠B=90°-∠A,a=c·sin A, b=c·cos A
两 边 直角边a和斜边c b=,sin A=, ∠B=90°-∠A
两直角边a和b c=,tan A=, ∠B=90°-∠A
