28.2.2 应用举例
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用解直角三角形解决简单问题
1.如图,某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ( )
A.m B.4 m
C.4 m D.8 m
2.如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是 ( )
A.12sin α米 B.12cos α米
C.米 D.米
3.(2023·贵阳花溪区模拟)为加快城乡发展,建设美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建.如图,A,B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿AB行驶.已知BC=100千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)求C地到公路AB的距离;
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地可以少走多少千米 (结果精确到1米)(参考数据:≈1.4,≈1.7)
知识点2 利用视角解直角三角形
4.(2023·铜仁碧江区期末)如图,在水平地面上,由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°,点A到旗杆的距离AB=12米,则旗杆的高度为 ( )
A.6米 B.6米 C.12米 D.12米
5.如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点的距离是 ( )
A.200米 B.200米
C.220米 D.100(+1)米
6.如图,小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B,C两点间的距离,在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB=37°,∠FAC=60°,已知河宽30米,则B,C两点间的距离为( )
(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
A.(18+25)米 B.(40+10)米
C.(24+10)米 D.(40+30)米
7.(2023·铜仁玉屏县二模)如图,为了测量茶花泉大门的高度,小明在点C处测得茶花泉大门顶点A的仰角为30°,他向茶花泉大门前行5米到达点D处,又测得茶花泉大门顶点A的仰角为60°,那么茶花泉大门的高度AB为 米.(结果保留根号)
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米,此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°,则铁塔AB的高为 ( )
A.3米 B.6米 C.3米 D.2米
9.如图所示,从一热气球的探测器A点,看一栋高楼顶部的仰角为60°,看这栋高楼底部的俯角为30°,若热气球与高楼的水平距离为30 m,则这栋高楼高度是 ( )
A.60 m B.40 m
C.30 m D.60 m
10.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知乙楼的高CD是50 m,则甲楼的高AB是 m(结果保留根号).
11.如图,某课外活动实践小组在楼顶的A处进行测量,测得大楼对面山坡上E处的俯角为30°,对面山脚C处的俯角60°,已知AB⊥BD,AC⊥CE,BC=10米,则C,E两点间的距离为 米.
12.如图是某新建房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面C点测得屋顶A的仰角为35°,此时地面C点,屋檐E点,屋顶A点恰好共线,继续向房屋方向走6 m到达点D处,又测得屋檐E点的仰角为60°,房屋的横梁EF=16 m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG;
(2)求房屋的高AB(结果精确到0.1 m).
模型 俯角、仰角的理解与应用28.2.2 应用举例
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 与坡度有关的应用问题
1.(2023·贵阳观山湖区模拟)如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan ∠CAB=1∶,堤高BC=5 m,则坡面AB的长是 (B)
A.5 m B.10 m C.5 m D.8 m
2.如图,某商场为了便于残疾人的轮椅行走,准备拆除台阶换成斜坡,又考虑安全,斜坡的坡角不得超过10°,此商场门前的台阶高出地面1.53米,则斜坡的水平宽度AB至少需 (A)
(精确到0.1米.参考值:sin 10°≈0.17,cos 10°≈0.98,tan 10°≈0.18)
A.8.5米 B.8.8米 C.8.3米 D.9米
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼,二楼地面的水平线,∠ABC=150°,如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5 m,则电梯BC的长是 (C)
A.5 m B.5 m C.10 m D. m
4.如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sin α=,堤坝高BC=30 m,则迎水坡面AB的长度为 50 m.
5.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,坡顶有一旗杆BC,顶端B点与A点有一条彩带相连,已知CD=3米,AB=10米,则旗杆BC的高度为 5 米.
6.(2024·六盘水盘州市期中)某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物,其纵断面ACFE如图所示,AE为台面,AC垂直于地面,AB表示平台前方的斜坡.斜坡的坡角∠ABC为43°,坡长AB为2 m.为保障安全,又便于装卸货物,决定减小斜坡AB的坡角,AD是改造后的斜坡(D在直线BC上),坡角∠ADC为31°.求斜坡AD底端D到平台AC的距离CD.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93;sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【解析】在Rt△ABC中,sin ∠ABC=,
∴AC=AB·sin 43°≈2×0.68=1.36(m),
在Rt△ADC中,tan ∠ADC=,
∴CD=≈≈2.3(m),
∴斜坡AD底端D到平台AC的距离CD约为2.3 m.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图,传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2,物体从地面沿着该斜坡前进了10米,那么物体离地面的高度为 (C)
A.5 米 B.5米 C.2米 D.4米
8.如图,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3,背水坡BC的坡比为1∶2,大坝高DE=20 m,坝顶宽CD=10 m,则下底AB的长为(C)
A.55 m B.60 m C.65 m D.70 m
9.如图,将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上,其截面可看作一个宽BC=6厘米的矩形.当水面触到杯口边缘时,水面宽度BE=12厘米,此时杯子的倾斜角α等于 30 度.
10.(2023·遵义模拟)如图,某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度,从旗杆正前方2米处的点B出发,沿斜面坡度i=1∶的斜坡BC前进4米到达点C,在点C处安置测角仪,测得旗杆顶部E的仰角为37°,量得仪器的高CD为1.5米,已知A,B,C,D,E在同一平面内,AE⊥AB,AE∥CD,则旗杆AE的高度是 8.7 米.(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,≈1.73,计算结果精确到0.1米)
11.(2023·贵阳模拟)如图,小亮为了测量一栋楼房AB的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为36°,沿坡面DC向下走12 m到达坡脚C处,然后向楼房AB走10 m到达E处,测得楼房顶部A的仰角为45°,已知斜坡CD的坡度i=∶1.
(1)求点D到地面的竖直高度;(结果保留根号)
(2)求楼房AB的高度.(结果精确到1m)
(参考数据:≈1.7,sin 36°≈0.6,cos 36°≈0.8,tan 36°≈0.7)
【解析】见全解全析
解决与斜坡有关的问题时,若图中没有直角三角形,一般过坡面拐角处的顶点向水平面作垂线构造直角三角形.像大坝、水渠这类截面为梯形的模型,一般作两条垂线构造出直角三角形和矩形.
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十八)”28.2.2 应用举例
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 与坡度有关的应用问题
1.(2023·贵阳观山湖区模拟)如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan ∠CAB=1∶,堤高BC=5 m,则坡面AB的长是 ( )
A.5 m B.10 m C.5 m D.8 m
2.如图,某商场为了便于残疾人的轮椅行走,准备拆除台阶换成斜坡,又考虑安全,斜坡的坡角不得超过10°,此商场门前的台阶高出地面1.53米,则斜坡的水平宽度AB至少需 ( )
(精确到0.1米.参考值:sin 10°≈0.17,cos 10°≈0.98,tan 10°≈0.18)
A.8.5米 B.8.8米 C.8.3米 D.9米
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼,二楼地面的水平线,∠ABC=150°,如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5 m,则电梯BC的长是 ( )
A.5 m B.5 m C.10 m D. m
4.如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sin α=,堤坝高BC=30 m,则迎水坡面AB的长度为 m.
5.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,坡顶有一旗杆BC,顶端B点与A点有一条彩带相连,已知CD=3米,AB=10米,则旗杆BC的高度为 米.
6.(2024·六盘水盘州市期中)某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物,其纵断面ACFE如图所示,AE为台面,AC垂直于地面,AB表示平台前方的斜坡.斜坡的坡角∠ABC为43°,坡长AB为2 m.为保障安全,又便于装卸货物,决定减小斜坡AB的坡角,AD是改造后的斜坡(D在直线BC上),坡角∠ADC为31°.求斜坡AD底端D到平台AC的距离CD.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93;sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图,传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2,物体从地面沿着该斜坡前进了10米,那么物体离地面的高度为 ( )
A.5 米 B.5米 C.2米 D.4米
8.如图,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3,背水坡BC的坡比为1∶2,大坝高DE=20 m,坝顶宽CD=10 m,则下底AB的长为( )
A.55 m B.60 m C.65 m D.70 m
9.如图,将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上,其截面可看作一个宽BC=6厘米的矩形.当水面触到杯口边缘时,水面宽度BE=12厘米,此时杯子的倾斜角α等于 度.
10.(2023·遵义模拟)如图,某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度,从旗杆正前方2米处的点B出发,沿斜面坡度i=1∶的斜坡BC前进4米到达点C,在点C处安置测角仪,测得旗杆顶部E的仰角为37°,量得仪器的高CD为1.5米,已知A,B,C,D,E在同一平面内,AE⊥AB,AE∥CD,则旗杆AE的高度是 米.(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,≈1.73,计算结果精确到0.1米)
11.(2023·贵阳模拟)如图,小亮为了测量一栋楼房AB的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为36°,沿坡面DC向下走12 m到达坡脚C处,然后向楼房AB走10 m到达E处,测得楼房顶部A的仰角为45°,已知斜坡CD的坡度i=∶1.
(1)求点D到地面的竖直高度;(结果保留根号)
(2)求楼房AB的高度.(结果精确到1m)
(参考数据:≈1.7,sin 36°≈0.6,cos 36°≈0.8,tan 36°≈0.7)
解决与斜坡有关的问题时,若图中没有直角三角形,一般过坡面拐角处的顶点向水平面作垂线构造直角三角形.像大坝、水渠这类截面为梯形的模型,一般作两条垂线构造出直角三角形和矩形.28.2.2 应用举例
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用解直角三角形解决简单问题
1.如图,某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 (C)
A.m B.4 m
C.4 m D.8 m
2.如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是 (A)
A.12sin α米 B.12cos α米
C.米 D.米
3.(2023·贵阳花溪区模拟)为加快城乡发展,建设美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建.如图,A,B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿AB行驶.已知BC=100千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)求C地到公路AB的距离;
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地可以少走多少千米 (结果精确到1米)(参考数据:≈1.4,≈1.7)
【解析】见全解全析
知识点2 利用视角解直角三角形
4.(2023·铜仁碧江区期末)如图,在水平地面上,由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°,点A到旗杆的距离AB=12米,则旗杆的高度为 (C)
A.6米 B.6米 C.12米 D.12米
5.如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点的距离是 (D)
A.200米 B.200米
C.220米 D.100(+1)米
6.如图,小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B,C两点间的距离,在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB=37°,∠FAC=60°,已知河宽30米,则B,C两点间的距离为(B)
(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
A.(18+25)米 B.(40+10)米
C.(24+10)米 D.(40+30)米
7.(2023·铜仁玉屏县二模)如图,为了测量茶花泉大门的高度,小明在点C处测得茶花泉大门顶点A的仰角为30°,他向茶花泉大门前行5米到达点D处,又测得茶花泉大门顶点A的仰角为60°,那么茶花泉大门的高度AB为 米.(结果保留根号)
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米,此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°,则铁塔AB的高为 (B)
A.3米 B.6米 C.3米 D.2米
9.如图所示,从一热气球的探测器A点,看一栋高楼顶部的仰角为60°,看这栋高楼底部的俯角为30°,若热气球与高楼的水平距离为30 m,则这栋高楼高度是 (B)
A.60 m B.40 m
C.30 m D.60 m
10.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知乙楼的高CD是50 m,则甲楼的高AB是m(结果保留根号).
11.如图,某课外活动实践小组在楼顶的A处进行测量,测得大楼对面山坡上E处的俯角为30°,对面山脚C处的俯角60°,已知AB⊥BD,AC⊥CE,BC=10米,则C,E两点间的距离为米.
12.如图是某新建房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面C点测得屋顶A的仰角为35°,此时地面C点,屋檐E点,屋顶A点恰好共线,继续向房屋方向走6 m到达点D处,又测得屋檐E点的仰角为60°,房屋的横梁EF=16 m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG;
(2)求房屋的高AB(结果精确到0.1 m).
【解析】(1)由题意得,AG⊥EF,EG=EF=8m,EF∥BC,
∴∠AEG=∠ACB=35°,
在Rt△AGE中,∠AEG=35°,
∴AG=EG·tan 35°≈8×0.7=5.6(m),
答:屋顶到横梁的距离AG约为5.6 m;
(2)见全解全析
模型 俯角、仰角的理解与应用28.2.2 应用举例
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 与方位角有关的应用问题
1.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距 (B)
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
2.已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向,海监船C在灯塔B的正东方向5海里处,此时海监船C发现货轮A在它的正北方向,那么海监船C与货轮A的距离是 (B)
A.10海里 B.5海里
C.5海里 D.海里
3.如图,一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处,再从B处向正西方向行驶20千米到C处,这时这艘船与A的距离 (C)
A.15千米 B.10千米
C.10千米 D.5千米
4.如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60°方向上,一艘轮船从小岛A出发,由西向东航行24 n mile到达B处,这时测得灯塔P在北偏东30°方向上,如果轮船不改变航向继续向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是
20.8 n mile.(结果保留一位小数,≈1.73)
5.如图,海中有个小岛A,一艘轮船由西向东航行,在点B处测得小岛A位于它的东北方向,此时轮船与小岛相距20海里,继续航行至点D处,测得小岛A在它的北偏西60°方向,此时轮船与小岛的距离AD为海里.
6.某地修建了一座以“讲好隆平故事,厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园.如图,纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上.C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.有关部门计划在B,C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园 试通过计算加以说明.(参考数据:≈1.73,≈1.41)
【解析】过A点作AD⊥BC于D点,
由题意知,∠ABC=90°-60°=30°,∠ACD=45°,
∴BD=AD,CD=AD,
∵BC=2.4 km=2 400 m,
∴AD+AD=2 400,
解得:AD=1 200(-1)≈876>800,
故该公路没有穿过纪念园.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其东北方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P的距离是 (B)
A.(15+15)海里 B.(30+30)海里
C.(45+15)海里 D.60海里
8.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 (B)
A.(30+30)km B.(30+10)km
C.(10+30)km D.30 km
9.如图,l是一条笔直的公路,道路管理部门在点A设置了一个速度监测点,已知BC为公路的一段,B在点A的北偏西30°方向,C在点A的东北方向,若AB=50米.则BC的长为米.(结果保留根号)
10.(2023·铜仁石阡县期中)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,则N处与灯塔P的距离为 80 海里.
11.如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.
参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
【解析】见全解全析
解决与方向角有关的问题时,可利用同方向的方位线是平行线得到相关角的度数,再进一步求解.28.2.2 应用举例
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 与方位角有关的应用问题
1.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距 ( )
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
2.已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向,海监船C在灯塔B的正东方向5海里处,此时海监船C发现货轮A在它的正北方向,那么海监船C与货轮A的距离是 ( )
A.10海里 B.5海里
C.5海里 D.海里
3.如图,一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处,再从B处向正西方向行驶20千米到C处,这时这艘船与A的距离 ( )
A.15千米 B.10千米
C.10千米 D.5千米
4.如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60°方向上,一艘轮船从小岛A出发,由西向东航行24 n mile到达B处,这时测得灯塔P在北偏东30°方向上,如果轮船不改变航向继续向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是
n mile.(结果保留一位小数,≈1.73)
5.如图,海中有个小岛A,一艘轮船由西向东航行,在点B处测得小岛A位于它的东北方向,此时轮船与小岛相距20海里,继续航行至点D处,测得小岛A在它的北偏西60°方向,此时轮船与小岛的距离AD为 海里.
6.某地修建了一座以“讲好隆平故事,厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园.如图,纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上.C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.有关部门计划在B,C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园 试通过计算加以说明.(参考数据:≈1.73,≈1.41)
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其东北方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P的距离是 ( )
A.(15+15)海里 B.(30+30)海里
C.(45+15)海里 D.60海里
8.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 ( )
A.(30+30)km B.(30+10)km
C.(10+30)km D.30 km
9.如图,l是一条笔直的公路,道路管理部门在点A设置了一个速度监测点,已知BC为公路的一段,B在点A的北偏西30°方向,C在点A的东北方向,若AB=50米.则BC的长为 米.(结果保留根号)
10.(2023·铜仁石阡县期中)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,则N处与灯塔P的距离为 海里.
11.如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.
参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
解决与方向角有关的问题时,可利用同方向的方位线是平行线得到相关角的度数,再进一步求解.
