27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 (C)
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
2.如图,在正方形网格中,△ABC,△EDF的顶点都在正方形网格的格点上,则∠ABC+∠ACB的度数为 (B)
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD.
【证明】∵点D,E,F分别是
AB,BC,CA的中点,
∴DF,EF,DE是△ABC的中位线,
∴DF=BC,EF=AB,DE=AC,
∴===,
∴△ABC∽△EFD.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.(2024·贵阳观山湖区期中)如图,D是△ABC的边AB上的一点,那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是 (C)
A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB
C.= D.AC2=AD·AB
5.(教材再开发·P43T8变式)如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3 cm,则零件的厚度x为 (B)
A.0.3 cm B.0.5 cm
C.0.7 cm D.1 cm
6.如图,已知AD·AC=AB·AE,∠DAE=∠BAC.求证:△DAB∽△EAC.
【证明】∵AD·AC=AB·AE,
∴=,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC,∴△DAB∽△EAC.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(2024·贵阳花溪区期中)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B点以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C点以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,经过t s时△PBQ与△ABC相似,那么t的值为 (C)
A.1.2 B.2 C.1.2或3 D.2或
8.如图,在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,DC=AC.在AB上取一点E得△ADE.若图中两个三角形相似,则DE的长是 6或8 .
9.(2024·杭州期中)如图,△ABC与△DEF在6×6的正方形网格中,它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置,试判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
【解析】△ABC与△DEF相似,理由如下:
根据题意得,AB=2,DE=1,
AC==,DF==,
BC==,EF==,
∵=2,====2,====2,
∴===2,
∴△ABC∽△DEF.
10.(素养提升题)如图1,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上的一点,=.
(1)当==时,求证△ABC∽△A'B'C'.
证明途径可用框图2表示,请填写其中的空格.
(2)当==时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
【解析】(1)∵=,
∴=,
∵==,
∴==,
∴△ADC∽△A'D'C',
∴∠A=∠A',
∵=,
∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)见全解全析27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形的有关概念
1.下列说法中正确的是 ( )
A.两个直角三角形一定相似
B.两个等腰三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个矩形一定相似
2.△ABC和△A'B'C'是相似图形,点A,B,C分别与A',B',C'对应,已知BC=3,AC=2.4,B'C'=2,那么A'C'的长是 .
知识点2 平行线分线段成比例定理及推论
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,DB=2,AE=3,则EC的长为 ( )
A. B.1 C.2 D.
4.如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,若=,则的值为 ( )
A. B.
C. D.
5.(2024·六盘水期中)如图,直线a,b,c被直线l1,l2所截,交点分别为点A,C,E和点B,D,F,已知a∥b∥c,且=,DF=10,则BF的长是 ( )
A.8 B.10 C.16 D.18
6.(2024·贵阳期末)如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O.若=,AD=15,则AO的长为 .
知识点3 相似三角形判定的预备定理
7.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,DE∥BC,若=,那么= ( )
A. B.
C. D.
8.如图,在 ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中相似三角形共有 对.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于点A,B,C,D,E,F.若AB∶BC=5∶3,DE=15,则EF的长为 ( )
A.6 B.9 C.10 D.25
10.(2024·贵阳期中)如图是一张横格数学作业纸,纸中的横线都平行,且相邻两条横线间的距离都相等.线段AC在横格纸上,与作业纸的横格交于点B,若AB=6,则AC的长是 ( )
A.9 B.12 C.14 D.15
11.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中不正确的是 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
12.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE∶EA=
3∶4,EF=3,则CD的长为 .
13.如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点.若AC=6,则DH= .
14.(2024·六盘水期中)如图,已知在△ABC中,EF∥CD,AF=3,AD=5,AE=4.
(1)求AC的长;
(2)当AB=时,求证:DE∥BC.
15.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1.如图,在△ABC中,∠B=70°,AB=4,BC=6,将△ABC沿图示中的虚线DE剪开,剪下的三角形与原三角形不相似的是 ( )
2.如图,已知∠1=∠2,那么添加一个条件后,仍不能判定△ABC与△ADE相似的是 ( )
A.∠C=∠AED B.∠B=∠D
C.= D.=
3.如图1,图2,根据图中所标注的数据,能够推得三角形①与②相似的是 ( )
A.都相似 B.都不相似
C.只有图1相似 D.只有图2相似
4.(教材再开发·P36练习T2变式)如图,△ABC中,点D在BC边上,如果要判定△ACD∽△BCA,那么需要增加的一个条件可以是 .
5.(2024·六盘水水城区期中)如图,在矩形ABCD中,点E为AD边上一点,过点E作CE的垂线交AB于点F.
(1)求证:△CDE∽△EAF;
(2)若AF=1.5,BF=0.5,AE=3,求DE的长.
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是 ( )
A.∠B=∠B1 B.=
C.= D.=
7.一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm和 cm,这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形.
8.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,AB=15,A'C'=8,则当A'B'= 时,△ABC∽△A'B'C'.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·凯里从江县质检)如图,在△ABC中,AB
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
10.(2023·赤峰中考)如图,把一个边长为5的菱形ABCD沿着DE折叠,使点C与AB延长线上的点Q重合,DE交BC于点F,交AB延长线于点E,DQ交BC于点P,DM⊥AB于点M,AM=4,则下列结论:①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=,④BD∥FQ.正确的是 ( )
A.①②③ B.②④
C.①③④ D.①②③④
11.如图,☉O是△ABC的外接圆,D是弧AC的中点,连接AD,BD,BD与AC交于点E,请写出图中所有与△ADE相似的三角形 .
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD13.(素养提升题)(2024·黔东南州从江县质检)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.
一线三等角
(1)点P在线段AB上(同侧型)
(2)点P在线段AB的延长线上(异侧型)
(3)以等腰三角形或等边三角形为背景,三个等角的顶点在同一直线,其中∠1=
∠2=∠3,则图中两阴影部分三角形相似.27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1.如图,在△ABC中,∠B=70°,AB=4,BC=6,将△ABC沿图示中的虚线DE剪开,剪下的三角形与原三角形不相似的是 (C)
2.如图,已知∠1=∠2,那么添加一个条件后,仍不能判定△ABC与△ADE相似的是 (C)
A.∠C=∠AED B.∠B=∠D
C.= D.=
3.如图1,图2,根据图中所标注的数据,能够推得三角形①与②相似的是 (D)
A.都相似 B.都不相似
C.只有图1相似 D.只有图2相似
4.(教材再开发·P36练习T2变式)如图,△ABC中,点D在BC边上,如果要判定△ACD∽△BCA,那么需要增加的一个条件可以是 ∠DAC=∠ABC或∠ADC=
∠BAC .
5.(2024·六盘水水城区期中)如图,在矩形ABCD中,点E为AD边上一点,过点E作CE的垂线交AB于点F.
(1)求证:△CDE∽△EAF;
(2)若AF=1.5,BF=0.5,AE=3,求DE的长.
【解析】(1)∵CE⊥EF,
∴∠DEC+∠AEF=90°,
又∵∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DEC.
∵∠A=∠D=90°,∴△CDE∽△EAF.
(2)∵AF=1.5,BF=0.5,
∴CD=AB=AF+BF=2.
∵△CDE∽△EAF,
∴=,即=,∴DE=1.
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是 (D)
A.∠B=∠B1 B.=
C.= D.=
7.一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm和 cm,这两个直角三角形 是 (填“是”或“不是”)相似三角形.
8.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,AB=15,A'C'=8,则当A'B'= 10 时,△ABC∽△A'B'C'.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·凯里从江县质检)如图,在△ABC中,ABA.①② B.②③ C.①③ D.①②③
10.(2023·赤峰中考)如图,把一个边长为5的菱形ABCD沿着DE折叠,使点C与AB延长线上的点Q重合,DE交BC于点F,交AB延长线于点E,DQ交BC于点P,DM⊥AB于点M,AM=4,则下列结论:①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=,④BD∥FQ.正确的是 (A)
A.①②③ B.②④
C.①③④ D.①②③④
11.如图,☉O是△ABC的外接圆,D是弧AC的中点,连接AD,BD,BD与AC交于点E,请写出图中所有与△ADE相似的三角形 △CBE,△BDA .
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD13.(素养提升题)(2024·黔东南州从江县质检)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.
【证明】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵CF=BE,∴CE=BF,
在△ACE和△ABF中,,
∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠CAE=∠BAF;
(2)见全解全析
一线三等角
(1)点P在线段AB上(同侧型)
(2)点P在线段AB的延长线上(异侧型)
(3)以等腰三角形或等边三角形为背景,三个等角的顶点在同一直线,其中∠1=
∠2=∠3,则图中两阴影部分三角形相似.
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十四)”27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形的有关概念
1.下列说法中正确的是 (C)
A.两个直角三角形一定相似
B.两个等腰三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个矩形一定相似
2.△ABC和△A'B'C'是相似图形,点A,B,C分别与A',B',C'对应,已知BC=3,AC=2.4,B'C'=2,那么A'C'的长是 1.6 .
知识点2 平行线分线段成比例定理及推论
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,DB=2,AE=3,则EC的长为 (D)
A. B.1 C.2 D.
4.如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,若=,则的值为 (C)
A. B.
C. D.
5.(2024·六盘水期中)如图,直线a,b,c被直线l1,l2所截,交点分别为点A,C,E和点B,D,F,已知a∥b∥c,且=,DF=10,则BF的长是 (D)
A.8 B.10 C.16 D.18
6.(2024·贵阳期末)如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O.若=,AD=15,则AO的长为 6 .
知识点3 相似三角形判定的预备定理
7.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,DE∥BC,若=,那么= (D)
A. B.
C. D.
8.如图,在 ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中相似三角形共有 3 对.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于点A,B,C,D,E,F.若AB∶BC=5∶3,DE=15,则EF的长为 (B)
A.6 B.9 C.10 D.25
10.(2024·贵阳期中)如图是一张横格数学作业纸,纸中的横线都平行,且相邻两条横线间的距离都相等.线段AC在横格纸上,与作业纸的横格交于点B,若AB=6,则AC的长是 (D)
A.9 B.12 C.14 D.15
11.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中不正确的是 (D)
A.=
B.=
C.=
D.=
12.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE∶EA=
3∶4,EF=3,则CD的长为 7 .
13.如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点.若AC=6,则DH= 1 .
14.(2024·六盘水期中)如图,已知在△ABC中,EF∥CD,AF=3,AD=5,AE=4.
(1)求AC的长;
(2)当AB=时,求证:DE∥BC.
【解析】(1)∵EF∥CD,
∴=,
∵AF=3,AD=5,AE=4,
∴=,
解得AC=;
(2)∵AF=3,AD=5,AE=4,AB=,
∴==,
∴DE∥BC.
15.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.
【解析】∵AB∥GH∥CD,
∴△CGH∽△CAB,△BGH∽△BDC,
∴=,=,
∴+=+=1,
∵AB=2,CD=3,
∴+=1,
∴GH=.27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 ( )
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
2.如图,在正方形网格中,△ABC,△EDF的顶点都在正方形网格的格点上,则∠ABC+∠ACB的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.(2024·贵阳观山湖区期中)如图,D是△ABC的边AB上的一点,那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是 ( )
A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB
C.= D.AC2=AD·AB
5.(教材再开发·P43T8变式)如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3 cm,则零件的厚度x为 ( )
A.0.3 cm B.0.5 cm
C.0.7 cm D.1 cm
6.如图,已知AD·AC=AB·AE,∠DAE=∠BAC.求证:△DAB∽△EAC.
【证明】∵AD·AC=AB·AE,
∴=,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC,∴△DAB∽△EAC.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(2024·贵阳花溪区期中)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B点以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C点以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,经过t s时△PBQ与△ABC相似,那么t的值为 ( )
A.1.2 B.2 C.1.2或3 D.2或
8.如图,在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,DC=AC.在AB上取一点E得△ADE.若图中两个三角形相似,则DE的长是 .
9.(2024·杭州期中)如图,△ABC与△DEF在6×6的正方形网格中,它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置,试判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
10.(素养提升题)如图1,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上的一点,=.
(1)当==时,求证△ABC∽△A'B'C'.
证明途径可用框图2表示,请填写其中的空格.
(2)当==时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.