27.2.2 相似三角形的性质
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是 ( )
A.2∶3 B.4∶9 C.16∶81 D.∶
2.已知△ABC∽△A'B'C',且AB=3 cm,A'B'=5 cm,则相似比为 .
3.如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长.
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
4.(2024·铜仁碧江区期中)在△ABC中,AB=48 cm,BC=40 cm,CA=36 cm,一个和它相似的三角形的最短边是18 cm,那么该三角形的周长是 ( )
A.54 cm B.62 cm
C.106 cm D.124 cm
5.两相似三角形的周长之比为1∶3,那么它们对应边上的高之比是 ( )
A.1∶3 B.1∶9 C.2∶1 D.9∶1
6.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为 ( )
A.3 B.2 C.4 D.5
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
7.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=2,BC=5,则S△ADE∶S△ABC的值是 ( )
A. B.
C. D.
8.(2023·泰州中考)两个相似图形的周长比为3∶2,则面积比为 .
9.如图,AB与CD相交于点O,△OBD∽△OAC,=,OB=6,S△AOC=50.
(1)求AO的长;
(2)求S△B O D.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为 ( )
A.5 B.6 C. D.
11.(2023·乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC,与DE交于点F.若=,则= .
12.(2023·贵阳云岩区质检)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在BC的延长线上,且CF=BE,连接AC,DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若∠ACD=90°,AE=4,CF=2,求.
13.(素养提升练)如图所示,△ABC中,BC=20 cm,高AD=12 cm,作矩形PQRS,使得P,S分别落在AB,AC边上,Q,R落在BC边上.
(1)求证:△APS∽△ABC;
(2)如果矩形PQRS是正方形,求它的边长;
(3)如果AP∶PB=1∶2.求矩形PQRS的面积.
易错点 对应关系不明确导致漏解
【典例】已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为 ( )
A.10+或5+2 B.15
C.10+ D.15+327.2.2 相似三角形的性质
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是 (A)
A.2∶3 B.4∶9 C.16∶81 D.∶
2.已知△ABC∽△A'B'C',且AB=3 cm,A'B'=5 cm,则相似比为.
3.如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长.
【解析】∵AD=4,CD=2AD,
∴CD=8,
∵△ABC∽△ACD,
∴==,即==,
解得,AB=9,BC=12,
∴BD=AB-AD=5.
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
4.(2024·铜仁碧江区期中)在△ABC中,AB=48 cm,BC=40 cm,CA=36 cm,一个和它相似的三角形的最短边是18 cm,那么该三角形的周长是 (B)
A.54 cm B.62 cm
C.106 cm D.124 cm
5.两相似三角形的周长之比为1∶3,那么它们对应边上的高之比是 (A)
A.1∶3 B.1∶9 C.2∶1 D.9∶1
6.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为 (A)
A.3 B.2 C.4 D.5
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
7.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=2,BC=5,则S△ADE∶S△ABC的值是 (B)
A. B.
C. D.
8.(2023·泰州中考)两个相似图形的周长比为3∶2,则面积比为 9∶4 .
9.如图,AB与CD相交于点O,△OBD∽△OAC,=,OB=6,S△AOC=50.
(1)求AO的长;
(2)求S△B O D.
【解析】(1)∵△OBD∽△OAC,
∴==,
∵BO=6,
∴AO=10;
(2)∵△OBD∽△OAC,=,
∴=,
∵S△AOC=50,
∴S△BOD=18.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为 (C)
A.5 B.6 C. D.
11.(2023·乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC,与DE交于点F.若=,则= .
12.(2023·贵阳云岩区质检)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在BC的延长线上,且CF=BE,连接AC,DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若∠ACD=90°,AE=4,CF=2,求.
【解析】(1)∵CF=BE,
∴CF+EC=BE+EC.即EF=BC.
在 ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
∴AD∥EF且AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.
∴四边形AEFD是矩形;
(2)见全解全析
13.(素养提升练)如图所示,△ABC中,BC=20 cm,高AD=12 cm,作矩形PQRS,使得P,S分别落在AB,AC边上,Q,R落在BC边上.
(1)求证:△APS∽△ABC;
(2)如果矩形PQRS是正方形,求它的边长;
(3)如果AP∶PB=1∶2.求矩形PQRS的面积.
【解析】(1)∵四边形PQRS是矩形,
∴PS∥QR,即PS∥BC,
∴△APS∽△ABC;
(2)∵四边形PQRS是正方形,
∴PS=PQ=SR,PS∥QR,
∵AD是△ABC的高,
即AD⊥BC,∴AM⊥PS,
即AM是△APS的高,
∵△APS∽△ABC,
∴=,
设PS=x,
∵BC=20,AD=12,
∴AM=12-x,
∴=,
解得:x=,
∴它的边长为 cm;
(3)见全解全析
易错点 对应关系不明确导致漏解
【典例】已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为 (A)
A.10+或5+2 B.15
C.10+ D.15+3
