27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用阳光下的影子或标杆测量高度
1.如图,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为30 cm,光源到屏幕的距离为90 cm,且幻灯片中的图形的高度为7 cm,则屏幕上图形的高度为 ( )
A.21 cm B.14 cm
C.6 cm D.24 cm
2.如图,火焰的光线穿过小孔O,在竖直的屏幕上形成倒立的实像,像的长度BD=
2 cm,OA=60 cm,OB=15 cm,则火焰AC的长度为 .
3.如图,福建省会福州拥有“三山两塔一条江”,其中报恩定光多宝塔(别名白塔),位于于山风景区.利用标杆可以估算白塔的高度.标杆BE高1.5 m,测得AB=0.9 m,
BC=39.1 m,白塔的高CD为 m.
4.如图,某位同学通过调整自己的位置测量树高AB,设法使三角板的斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知两条边DE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边DF离地面距离AC=1.5 m,人与树的距离CD=8 m,求树高AB的值.
知识点2 利用镜子的反射测量高度
5.如图,小明为了测量树的高度CD,他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜,然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D,已知A,B,C三点在同一直线上,且AB=2 m,BC=8 m.他的眼睛(点E)离地面的高度1.6 m,则树的高度CD为
m.
综合能力练巩固提升 迁移运用
6.阳光通过窗口照到室内在地上留下ED=2.7 m宽的亮区(如图),已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高BC等于 ( )
A.1 m B.2 m C.4 m D.6 m
7.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定,如图,一根电杆钢索系在离地面4米处,另一根电杆钢索系在离地面6米处,两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部,则中间两根钢索相交处点P离地面( )
A.2.4米
B.8米
C.3米
D.必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离
8.(传统文化题)“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”这段话摘自《九章算术》,意思是说:如图,长方形城池ABCD,南边城墙AD长7里,东边城墙AB长9里,东门点E,南门点F分别是AB,AD的中点,GE⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG过点A,则FH= 里.
9.(素养提升题)在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上,又测得C,D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行 请说明理由.
测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度,可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
△ABO∽△AEF→=→BO=27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用阳光下的影子或标杆测量高度
1.如图,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为30 cm,光源到屏幕的距离为90 cm,且幻灯片中的图形的高度为7 cm,则屏幕上图形的高度为 (A)
A.21 cm B.14 cm
C.6 cm D.24 cm
2.如图,火焰的光线穿过小孔O,在竖直的屏幕上形成倒立的实像,像的长度BD=
2 cm,OA=60 cm,OB=15 cm,则火焰AC的长度为 8 cm .
3.如图,福建省会福州拥有“三山两塔一条江”,其中报恩定光多宝塔(别名白塔),位于于山风景区.利用标杆可以估算白塔的高度.标杆BE高1.5 m,测得AB=0.9 m,
BC=39.1 m,白塔的高CD为 m.
4.如图,某位同学通过调整自己的位置测量树高AB,设法使三角板的斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知两条边DE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边DF离地面距离AC=1.5 m,人与树的距离CD=8 m,求树高AB的值.
【解析】∵∠DEF=∠DCB=90°,∠D=∠D,
∴△DEF∽△DCB.
∴=,
∵DE=0.4 m,EF=0.2 m,CD=8 m,
∴=,∴CB=4 m,
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5 m.
答:树高AB的值为5.5米.
知识点2 利用镜子的反射测量高度
5.如图,小明为了测量树的高度CD,他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜,然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D,已知A,B,C三点在同一直线上,且AB=2 m,BC=8 m.他的眼睛(点E)离地面的高度1.6 m,则树的高度CD为
6.4 m.
综合能力练巩固提升 迁移运用
6.阳光通过窗口照到室内在地上留下ED=2.7 m宽的亮区(如图),已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高BC等于 (C)
A.1 m B.2 m C.4 m D.6 m
7.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定,如图,一根电杆钢索系在离地面4米处,另一根电杆钢索系在离地面6米处,两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部,则中间两根钢索相交处点P离地面(A)
A.2.4米
B.8米
C.3米
D.必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离
8.(传统文化题)“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”这段话摘自《九章算术》,意思是说:如图,长方形城池ABCD,南边城墙AD长7里,东边城墙AB长9里,东门点E,南门点F分别是AB,AD的中点,GE⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG过点A,则FH= 1.05 里.
9.(素养提升题)在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上,又测得C,D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行 请说明理由.
【解析】见全解全析
测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度,可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
△ABO∽△AEF→=→BO=27.2.3 相似三角形应用举例
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 测量距离或宽度
1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为12 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE是 ( )
A.8 cm B.10 cm C.20 cm D.60 cm
2.如图,有一块直角三角形余料ABC,∠BAC=90°,G,D分别是AB,AC边上的一点,现从中切出一条矩形纸条DEFG,其中E,F在BC上,若BF=4.5 cm,CE=2 cm,则GF的长为( )
A.3 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3.5 cm
3.中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展,已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”,修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥,如图,某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M,N为山的两侧),工程人员为了计算M,N两点之间的直线距离,选择了在测量点A,B,C进行测量,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1 200米,AN=
2 000米,AB=30米,BC=45米,AC=18米,求直线隧道MN的长.
知识点2 视线遮挡问题
4.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,求学校旗杆的高度.
综合能力练巩固提升 迁移运用
5. (2024·铜仁期末)如图所示,点B是一根均匀的木棍OA的中点,如果以O点为支点,在A处需用5 N的力竖直向上拉才能保持木棍不动,根据杠杆原理可求木棍OA所受的重力G的大小是 ( )
A.5 N B.15 N C.10 N D.20 N
6.在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮,如图,已有的铁皮是Rt△ABC,
∠C=90°,要截得的正方形EFGD的边FG在AB上,顶点E,D分别在边CA,CB上,如果AF=4,GB=9,那么正方形铁皮的边长为 .
7.如图,数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度,他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度约为 米(结果保留根号).
8.如图是一个常见铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是轴,CD⊥OA于点D,已知DA=15 mm,DO=24 mm,DC=10 mm,我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,求出A,B两点间的距离.
9.(素养提升题)(2024·贵阳期中)视力表对我们来说并不陌生,它蕴含着一定的数学知识.下面我们以标准对数视力表为例,来探索视力表中的奥秘.
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次编号为①,②,放在水平桌面上.如图所示,将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从观测点O看去,对应顶点P1,P2,O在一条直线上为止.这时我们说,在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同.
(1)探究图中与之间的关系,请说明理由;
(2)若b1=3.2 cm,b2=2 cm,①号“E”的测量距离l1=80 cm,要使测得的视力相同,求②号“E”的测量距离l2.
1.测量宽度:
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度,常构造相似三角形求解.
2.(1)求树高常用的方法:①根据相似三角形对应线段成比例,列方程求解即可;②在同一时刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可求解.
(2)求树高常用的辅助线:①作垂直,构造相似三角形;②作平行,构造相似三角形;③延长两条直线相交,构造相似三角形.27.2.3 相似三角形应用举例
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 测量距离或宽度
1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为12 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE是 (A)
A.8 cm B.10 cm C.20 cm D.60 cm
2.如图,有一块直角三角形余料ABC,∠BAC=90°,G,D分别是AB,AC边上的一点,现从中切出一条矩形纸条DEFG,其中E,F在BC上,若BF=4.5 cm,CE=2 cm,则GF的长为(A)
A.3 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3.5 cm
3.中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展,已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”,修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥,如图,某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M,N为山的两侧),工程人员为了计算M,N两点之间的直线距离,选择了在测量点A,B,C进行测量,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1 200米,AN=
2 000米,AB=30米,BC=45米,AC=18米,求直线隧道MN的长.
【解析】见全解全析
知识点2 视线遮挡问题
4.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,求学校旗杆的高度.
【解析】作DE⊥AB于点E,
根据题意得:=,=,
解得AE=8(米).
则AB=AE+BE=8+2=10(米).
即旗杆的高度为10米.
综合能力练巩固提升 迁移运用
5. (2024·铜仁期末)如图所示,点B是一根均匀的木棍OA的中点,如果以O点为支点,在A处需用5 N的力竖直向上拉才能保持木棍不动,根据杠杆原理可求木棍OA所受的重力G的大小是 (C)
A.5 N B.15 N C.10 N D.20 N
6.在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮,如图,已有的铁皮是Rt△ABC,
∠C=90°,要截得的正方形EFGD的边FG在AB上,顶点E,D分别在边CA,CB上,如果AF=4,GB=9,那么正方形铁皮的边长为 6 .
7.如图,数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度,他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度约为米(结果保留根号).
8.如图是一个常见铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是轴,CD⊥OA于点D,已知DA=15 mm,DO=24 mm,DC=10 mm,我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,求出A,B两点间的距离.
【解析】作出示意图,
连接AB,同时连接OC并延长交AB于E,
因为夹子是轴对称图形,故OE是对称轴,
∴OE⊥AB,AE=BE,
∵∠COD=∠AOE,∠CDO=∠AEO=90°,
∴Rt△OCD∽Rt△OAE,∴=,
而OC===26,
即=,∴AE==15,
∴AB=2AE=30 mm.
答:A,B两点间的距离为30 mm.
9.(素养提升题)(2024·贵阳期中)视力表对我们来说并不陌生,它蕴含着一定的数学知识.下面我们以标准对数视力表为例,来探索视力表中的奥秘.
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次编号为①,②,放在水平桌面上.如图所示,将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从观测点O看去,对应顶点P1,P2,O在一条直线上为止.这时我们说,在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同.
(1)探究图中与之间的关系,请说明理由;
(2)若b1=3.2 cm,b2=2 cm,①号“E”的测量距离l1=80 cm,要使测得的视力相同,求②号“E”的测量距离l2.
【解析】(1)相等,理由:∵P1D1∥P2D2,
∴△P1D1O∽△P2D2O,
∴=,∴=,即=.
(2)∵=且b1=3.2 cm,b2=2 cm,l1=80 cm,∴=,∴l2=50 cm.
答:②号“E”的测量距离l2是50 cm.
1.测量宽度:
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度,常构造相似三角形求解.
2.(1)求树高常用的方法:①根据相似三角形对应线段成比例,列方程求解即可;②在同一时刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可求解.
(2)求树高常用的辅助线:①作垂直,构造相似三角形;②作平行,构造相似三角形;③延长两条直线相交,构造相似三角形.
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十五)”
