第二十七章 相似
主干快速填思维导图 扫描考点
答案:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;
(6) ; (7) ;(8) ;(9) ;(10) ;
(11) ; (12) ;(13) ;(14) ;
(15) ; (16) ;(17) ;
(18) ;(19) .
中考对点练真题链接 实战演练
成比例线段
1.(2023·临夏州中考)若=,则ab= ( )
A.6 B.
C.1 D.
2.(2022·东营中考)如图,点D为△ABC边AB上任一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F,则下列等式中不成立的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
3.(2022·丽水中考)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 ( )
A. B.1
C. D.2
4.(2023·北京中考)如图,直线AD,BC相交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
5.(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
6.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE.使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若=2,求的值.
相似三角形的判定和性质
7.(2023·重庆中考A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是 ( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
8.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 ( )
A. B.7 C. D.8
9.(2022·贵阳中考)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是 ( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
10.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为 ( )
A.1 B. C.2 D.3
11.(2022·宜宾中考)如图,△ABC中,点E,F分别在边AB,AC上,∠1=∠2.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF= .
12.(2023·临沂中考)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是
.
13.(2022·毕节中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为 .
14.(2022·菏泽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
15.(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
16.(2022·枣庄中考)如图,在半径为10 cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6 cm.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求AD的长.
17.(2023·苏州中考)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.
相似三角形的应用
18.(2023·南充中考)如图,在数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为 ( )
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
相似多边形和位似
19.(2022·重庆中考A卷)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为
2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是 ( )
A.4 B.6 C.9 D.16
20.(2022·梧州中考)如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知=,若四边形ABCD的面积是2,则四边形A'B'C'D'的面积是 ( )
A.4 B.6 C.16 D.18
21.已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为点A(2,1)、点B(2,0)、点O(0,0),若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为
.
22.(2022·河池中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,2).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并写出点B2的坐标.
教学总结与教学反思
1.本章节以直观发现、小组探究的形式为主,授课教师安排学生掌握相似图形的定义,通过对前面正多边形的性质和勾股定理的学习,学生已形成了一定思维和认知能力.
2.在教学过程中,建议教师根据相似三角形的定义,让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线”来得出性质定理,即相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
3.教师启发学生写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,将综合运用相似三角形判定与性质的思维方法向学生讲清楚,证明过程由学生自己完成.
4.继相似三角形后,为了体现数学知识螺旋呈现的特点,最后一节设置了一种特殊的相似,即“位似”,教师进一步培养学生从生活中寻找数学模型,以及利用数学模型解决实际问题的意识,并让学生学会利用“位似”将一个图形放大或者缩小.在教学中教师带领学生观看“位似”的导入视频,并分配小组进行互动式交流,让学生真正理解生活中位似的实际应用.第二十七章 相似
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答案:(1) 形状 ;(2) 相等 ;(3) 相等 ;(4) 成比例 ;(5) 相等 ;
(6) 成比例 ; (7) 成比例 ;(8) 相等 ;(9) 成比例 ;(10) 成比例 ;
(11) 相等 ; (12) 相似比 ;(13) 相似比 ;(14) 相似比的平方 ;
(15) 宽度 ; (16) 相交于一点 ;(17) 位似中心 ;
(18) (kx,ky)或(-kx,-ky) ;(19) 坐标 .
中考对点练真题链接 实战演练
成比例线段
1.(2023·临夏州中考)若=,则ab= (A)
A.6 B.
C.1 D.
2.(2022·东营中考)如图,点D为△ABC边AB上任一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F,则下列等式中不成立的是 (C)
A.= B.=
C.= D.=
3.(2022·丽水中考)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 (C)
A. B.1
C. D.2
4.(2023·北京中考)如图,直线AD,BC相交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
5.(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 (80-160) cm.(结果保留根号)
6.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE.使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若=2,求的值.
【解析】(1)如图所示,∠ADE为所求.
(2)见全解全析
相似三角形的判定和性质
7.(2023·重庆中考A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是 (B)
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
8.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 (C)
A. B.7 C. D.8
9.(2022·贵阳中考)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是 (B)
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
10.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为 (C)
A.1 B. C.2 D.3
11.(2022·宜宾中考)如图,△ABC中,点E,F分别在边AB,AC上,∠1=∠2.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF= .
12.(2023·临沂中考)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是
14 .
13.(2022·毕节中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为 .
14.(2022·菏泽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
【证明】∵BE=BC,∴∠C=∠CEB,
∵∠CEB=∠AED,∴∠C=∠AED,
∵AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°,
∴△ADE∽△ABC.
15.(2023·上海中考)如图,在梯形ABCD中AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
【证明】(1)∵AD∥BC,
∴∠ACF=∠DAC,
∵∠FAC=∠ADE,AC=AD,
∴△ACF≌△DAE(ASA),
∴AF=DE;
(2)∵△ACF≌△DAE,
∴∠AFC=∠DEA,
∴∠AFB=∠DEC,
∵∠ABC=∠CDE,
∴△ABF∽△CDE,
∴=,
∴AF·DE=BF·CE,
∵AF=DE,
∴AF2=BF·CE.
16.(2022·枣庄中考)如图,在半径为10 cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6 cm.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求AD的长.
【解析】(1)连接OC,如图:
∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO,
∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,
∵AD⊥DC,∴OC⊥DC,
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线;
(2)见全解全析
17.(2023·苏州中考)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.
【解析】(1)∵AB为直径,∴∠ACB=90°,
∵BE⊥CD,∴∠BED=90°,
∵所对的圆周角为∠BDE和∠BAC,
∴∠BDE=∠BAC,∴△DBE∽△ABC;
(2)见全解全析
相似三角形的应用
18.(2023·南充中考)如图,在数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为 (B)
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
相似多边形和位似
19.(2022·重庆中考A卷)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为
2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是 (B)
A.4 B.6 C.9 D.16
20.(2022·梧州中考)如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知=,若四边形ABCD的面积是2,则四边形A'B'C'D'的面积是 (D)
A.4 B.6 C.16 D.18
21.已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为点A(2,1)、点B(2,0)、点O(0,0),若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为
(4,2)或(-4,-2) .
22.(2022·河池中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,2).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并写出点B2的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作,点B2的坐标为(-4,-6).
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教学总结与教学反思
1.本章节以直观发现、小组探究的形式为主,授课教师安排学生掌握相似图形的定义,通过对前面正多边形的性质和勾股定理的学习,学生已形成了一定思维和认知能力.
2.在教学过程中,建议教师根据相似三角形的定义,让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线”来得出性质定理,即相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
3.教师启发学生写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,将综合运用相似三角形判定与性质的思维方法向学生讲清楚,证明过程由学生自己完成.
4.继相似三角形后,为了体现数学知识螺旋呈现的特点,最后一节设置了一种特殊的相似,即“位似”,教师进一步培养学生从生活中寻找数学模型,以及利用数学模型解决实际问题的意识,并让学生学会利用“位似”将一个图形放大或者缩小.在教学中教师带领学生观看“位似”的导入视频,并分配小组进行互动式交流,让学生真正理解生活中位似的实际应用.
