湖南省岳阳市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

岳阳市一中2015年下期高二期中考试数学试卷
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集,集合,则为（　　）
A． B． C． D．
2．命题“若=,则tan=1”的逆否命题是（　　）
A.若≠,则tan≠1 B.若=,则tan≠1
C.若tan≠1,则≠ D.若tan≠1,则=
3.若的平均数为，则,,…,的平均数为(　 )
A. 　　 　B． C． D.
4.已知变量满足约束条件，则的最大值是（ ）
A. 3 B.2 C. 0 D.-4
5.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角
形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A.1 B. C. D.
6.下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.“φ＝”是“函数y=sin(x＋φ)为偶函数的”( )
A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
9.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )
A．2 B．4 C．5 D．10
10（限文科生做）设表示不超过的最大整数（如［2］=2, ［］=1），对于给定的nN*,定义，,则当时，函数的值域是( )
A. B. C. D.
（限理科生做）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间．
例如，当时，．现有如下结论：
①设函数的定义域为D，若对于任何实数b，存在，使得，则；
②若函数，则有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，则；
④若函数＝有最大值，则．
其中正确的是（ ）
A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．
11.设抛物线的顶点在原点，准线方程为＝－2，则抛物线的方程是_________ .
12.若∈(0，l)时,不等式恒成立，则实数m的最大值为 ．
13.下列命题： ①命题“若，则”的逆否命题是“若，则”;②若命题：，则：; ③若为真命题，则，均为真命题; ④“”是“”的充分不必要条件.其中正确命题的序号有_________ .
14.已知：，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为 .
15.如右图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数
的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为,
每个数是它下一行左右相邻两数的和,如
,…，
则(1)第6行第2个数（从左往右数）为_________；
(2)第n行第3个数（从左往右数）为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16、（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的值；
（2）设求的值．
17、（本小题满分12分）
已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18、（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面，,,
,,是的中点．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)（限理科生做,文科生不做）求二面角的余弦值．
19、（本小题满分13分）
如下图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，现欲将其扩建成一个更
大的三角形花园，要求点在射线上，点在射线上，且直线过点，
其中米，米. 记三角形花园的面积为.
(1）问：取何值时，取得最小值，并求出最小值；
(2）若不超过1764平方米，求长的取值范围.
20、（本小题满分13分）
设椭圆的左、右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹的方程；
（3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．
21、（本小题满分13分）
正项数列｛｝的前n项和为Sn，q为非零常数.已知对任意正整数n, m，当时总成立.
(1）求证：数列｛｝是等比数列；
(2）若互不相等的正整数n, m, k成等差数列，比较 的大小；
(3）（限理科生做,文科生不做）若正整数n, m, k成等差数列，求证：＋≥.
2015年高二期中考试数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
C C A B D C A D D D(B)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．
11. 12. 4 13. ①②④ 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，共75分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）解：（1） ……（6分）
（2）
……（12分）
17．(12分)解: 是的充分不必要条件
说明对应的集合是对应集合的子集
而 对应集合是集合；……（4分）
而
因式分解得到： 即有：
也就是命题对应的集合为： …… （7分）
要满足要求，则须： …… （12分）
18.（12分）
（1）证明：底面，.又面，
面，. ……（4分）
（2）证明：,是等边三角形，
，又是 的中点，，
又由（1）可知，
面……（8分）
（3）解：由题可知 两两垂直,如图建立空间直角坐标系,
设，则.
设面的一个法向量为，
即 取则，即
设面的一个法向量为，
即 取则即
，
由图可知二面角的余弦值为．……（12分）
19．（13分）（1）设米（），则.
因为,所以，即.
所以 ……（4分）
，当且仅当时取等号.
所以，的最小值等于1440平方米.……（7分）
(2）由得.
解得.
所以，长的取值范围是. ……（13分）
20.（13分）解：（1）由题意可得，，∴，
∴，
所以椭圆的方程为．……（4分）
（2）设，，由题意得，即，
又，代入得，即．
即动点的轨迹的方程为．……（8分）
（3）设，点的坐标为，
∵三点共线，∴，
而，，则，∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的斜率为，
而，∴， ∴，
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切． ……（13分）
21．（13分）解（1）因为对任意正整数n, m，当n ＞ m时，总成立
所以当≥2时：，即，且也适合，又＞0，
故当≥2时：（非零常数），即｛｝是等比数列．……（4分）
(2）若，则
所以
若，则，，
所以
①若 ②若 ……（8分）
(3）若，则所以
≥
若，则，，
所以≥
又因为
≤
所以≥≥
综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 ＋≥总成立
(当且仅当时取“＝”) ……（13分）
16.(8分)解: 是的充分不必要条件
说明对应的集合是对应集合的子集
而 对应集合是集合；（2分）
而
因式分解得到： 即有：
也就是命题对应的集合为： （4分）
要满足要求，则须： （8分）
18.（9分）（1）证明：底面，.又面，
面，. （3分）
（2）证明：,是等边三角形，，又是 的中点，，又由（1）可知，
面（6分）
又底面，，
又面
平面.
（3）解：由题可知 两两垂直,
如图建立空间直角坐标系,
设，则.
设面的一个法向量为，
即 取则，即
设面的一个法向量为，
即 取则即
，
由图可知二面角的余弦值为．（9分）
20.（10分）解：（1）由题意可得，，∴，
∴，
所以椭圆的方程为．（3分）
（2）设，，由题意得，即，
又，代入得，即．
即动点的轨迹的方程为．（6分）
（3）设，点的坐标为，
∵三点共线，∴，
而，，则，∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的斜率为，
而，∴，
∴，
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切． （10分）
20．为了改善人居环境，市政府计划在如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示的一块空地上修建公园，设计将上面的半圆形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区C到点A，B的直线道路；经测量得AC=6，CB=10，∠CAB=90°．
（1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距离相等，请确定湖心亭的具体位置；
（2）拟在半圆形区域内设计一条界线，并在界 ( http: / / www.21cnjy.com )线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．
20．（本小题满分1 3分）
为了改善人居环境，市政府计划在如图所示的一 ( http: / / www.21cnjy.com )块空地上修建公园，设计将上面的半网形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区C到点A，B的直线道路；经测量得AC=6，CB=10，∠CAB=90°．
（1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距离相等，请确定湖心亭的具体位置；
（2）拟在半网形区域内设计 ( http: / / www.21cnjy.com )一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
9、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且.
(1）求动点的轨迹M的方程；（2）是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）两圆的圆心坐标分别为和 （2分）
∵
∴根据椭圆的定义可知，动点的轨迹为以原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆， （4分）
∴椭圆的方程为，即动点的轨迹M的方程为 (6分)
（2）(i)当直线l的斜率不存在时，易知点在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在。（7分）
（ii）设直线l斜率存在，设为，则直线l的方程为 （8分）
由方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )得① （9分）
依题意解得 （10分）
当时，设交点，CD的中点为，
方程①的解为 ，则
∴ （11分）
要使，必须，即 （12分）
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即②
∵或，∴无解 （13分）
所以不存在直线，使得
综上所述，不存在直线l，使得 （14分）
主视图
俯视图
左视图
A
B
C
D
P
E
A
B
C
D
P
E
x
y
z
A
B
C
D
P
E
x
y
z