2024-2025学年北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理（第2课时） 勾股定理的验证及应用课件（26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版八年级数学上册课件
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
图中是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形.
有不同的拼法吗？
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
大正方形的面积可以表示为________；
也可以表示为___________.
(a+b)2
c2 +4·ab/2
∵ (a+b)2 = c2 + 4·ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
验证方法：毕达哥拉斯证法
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。
b
a
c
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
对其进行适当割补：
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c2=a2+b2
图1－5
b
a
c
A
B
C
D
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
c2=a2+b2
图1－6
b
a
c
A
B
C
D
【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2.
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
达·芬奇对勾股定理的证明
课堂小结
探索勾股定理
勾股定理的验证
勾股定理的简单运用
例1 以图甲中的直角三角形为基础,可以构造出以 ， 为底,以 为高的直角梯形（如图乙）.请你利用图乙验证勾股定理.
【点拨】用拼图法证明勾股定理的基本思路是:通过割补、拼接得到不同（或同一个）图形,借助面积不变的原理,得出面积之间的关系,通过代数恒等变形即可验证勾股定理.
名师点拨
【解】因为 ,
所以 .
又因为 ,
所以 .所以 .
因为 ,
所以 .
整理得 .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方法之一.当两个全等的直角三角形（ 与 ）按如图所示方式摆放时，请你验证勾股定理.（其中 ）
解：如图，连接 ，过点 作 边上的高 ，则 .
因为 ，
，
所以 .
所以 .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分别是 和 ,作 , ,垂足分别为 ， ，且 .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ， 两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 建立方程,即可使问题得解.
【解】因为 ,
所以 .
设 ,
则 ,
解得 .
答：应把 站建在距点 远的地方.
易错示例 在 中， ， ， 边上的高 ，则 的周长为__________.
【错解】
或
【点拨】 边上的高 可能在 的内部，也可能在 的外部，错解只考虑了一种情况.
1. 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
D
2. 如图，这是用 个全等的直角三角形与 个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 .若用 ， 表示直角三角形的两直角边长，有下列结论：① ；② ；③ .其中正确的结论是( )
A. ①② B. ② C. ①②③ D. ①③
C
（第2题图）
3. 如图，一轮船以 海里 时的速度从港口 出发向东北方向航行，另一轮船以 海里 时的速度同时从港口 出发向东南方向航行，则 小时后，两船相距( )
A. 海里 B. 海里
C. 海里 D. 海里
D
（第3题图）
4. 有一只喜鹊在一棵 高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度为 ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 ， ， .
过点 作 于点 ，则 ， .
在 中，
.
所以 ， .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度.（旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计）
解：设旗杆 的高度为 ，则绳子 的长度为 .
在 中，根据勾股定理可得
.
解得 .
答：旗杆的高度为 .
6. 如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子 斜靠在左墙时，梯子底端 到左墙角 的距离为 ，顶端 距离地面 .如果保持梯子底端 的位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时顶端 距离地面 ，求教学楼走廊的宽度 .
解：在 中，
因为 ， ， ，
所以 .
在 中，因为 ， ， ，
所以 .
所以 .
解得 .
所以 .
答：教学楼走廊的宽度是 .
完成学生书对应课时练习
作业布置
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