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《3.1 分数除以整数》教学设计
课题 分数除以整数 单元 第三单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 本节课是在学生学习了分数乘法的基础上进行教学的。教材改变了传统教材“为计算而计算”的编排体系,把计算教学和解决实际问题融合在一起,便于学生理解算理和掌握算法,实现解决问题的能力与基础知识和基本技能的掌握同步发展。本节课引导学生根据需要解决实际问题,即利用图画呈现升果汁,让学生在图上把它平均分成2份,并算出结果。在探究新知的过程中,让学生理解:把一个分数平均分成几份,求每份是多少用除法计算的算理,并经历探究分数除以整数的计算过程,掌握分数除以整数的计算方法。
学习目标 1.学习目标描述:体会分数除以整数的意义,理解并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算分数除以整数。2.学习内容分析:分数除法是在学生学习了分数乘法与倒数的基础上学习的内容,也是为后面的分数的混合运算,分数除法的应用及初中的代数打下基础。本节课的主要内容是学生能够掌握分数除以整数的两种不同形式的计算。3.学科核心素养分析:经历探索分数除以整数计算方法的过程,感受数学知识之间的内在联系,积累数学学习的经验;进一步培养分析、推理、归纳等思维能力,体会转化的数学思想。使学生主动参与数学活动,养成自主探索、合作交流的习惯;增强学习数学的积极性,体会学习成功的乐趣。
重点 理解并掌握分数除以整数的计算方法。
难点 理解分数除以整数的计算方法。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知(1)找出下面各数的倒数。 10 2 (2)算一算。×= ×= ×=2.导入新课师:周末,明明家里来了些小客人,妈妈特意准备了些果汁,我们去看看怎么分的? 学生独自完成,然后集体订正。 通过复习旧知,检查学生掌握知识的情况,同时为后面学习新的知识打基础。由学生感兴趣的话题引入新课,使学生初步感受到数学来源于生活,数学与生活密不可分的道理。
讲授新课 任务一:探究分数除法的意义课件出示:量杯里有800毫升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少毫升? 师:如果量杯里有1升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少升呢?师:为什么用除法计算?师:那么这杯果汁有升呢?课件出示:量杯里有升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少升?师:你会列式吗?师:为什么还是用除法算式?师:你知道÷2表示什么吗?与同伴交流。引导学生说出:÷2表示已知两个因数的积是和其中的一个因数2,求另一个因数。师:看来,分数除法的意义跟整数除法的意义相同,都是“已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算”。这就是我们今天要研究的新知识——分数除以整数。板书课题:分数除以整数 学生独自思考,然后集体反馈:800÷2=400(毫升),每人可以喝400毫升。学生:1÷2=(升),每人可以喝升。学生:把一个数平均分成几份,求每份是多少,用除法计算。学生独自思考,然后回答:÷2。学生:把平均分成2份,求每份是多少,用除法计算。 借助解决整数除法的问题,让学生回忆整数除法表示的意义,为后面的分数除法打基础。通过说一说,让学生感知分数除法与整数除法的意义相同,符合学生的认知规律,学生比较容易理解。
任务二:探究分数除以整数的计算方法师:÷2等于多少呢?我们不妨用画图的方法找找答案,为了看得清楚些,我们用一个长方形表示1升,先在图上画出升,再用虚线表示出每人可以喝多少升,请在图上画一画、分一分、标一标吧。课件出示:师:你是怎么做的?谁来说说?展示:÷2=师:还可以怎么思考?师:你能用算式表示这一过程吗?反馈:÷2==(升)师:从这个算式可以看出,分数除以整数可以怎样计算 师:观察每人喝的果汁,它与升有什么关系?师:一半用哪一个分数表示?师:现在你发现了什么?师:升平均分成2份,求每份是多少?也就是求升的是多少,那么你能用算式表示这一过程吗?师:看来把一个数平均分为几份,就是求这个数的几分之一是多少。 学生独自画图。学生:我把涂色平均分成2份,每份是,所以÷2=。学生:里面有4个,把4个平均分成2份,每份是2个,是。学生尝试写一写,然后展示反馈。学生独自观察,然后回答:分数除以整数,可以用分数的分子除以整数作分子,分母不变。学生独自观察,然后回答:每人喝的果汁占升的一半。学生:一半用表示。学生:每人喝了升的。学生独自思考,然后回答:÷2=×=。 结合分数的意义和直观图尝试计算分数除以整数,沟通了分数除法与旧知之间的联系,进而激发了学生学习数学知识的兴趣。通过进一步的观察、交流,不仅沟通了分数除法和分数乘法的联系,还帮助学生直观地体会分数除以整数的实际意义。
试一试 任务三:运用分数除以整数的计算方法解决问题,并小结算法课件出示:如果把升果汁平均分给3个小朋友喝,每人喝多少升?师:要求每人喝多少升,应该怎样列式?师:÷3等于多少呢?用分子除以除数计算可以吗?师:看来“分母不变,用分子除以整数作分子”这样的计算方法不具备普遍性。你准备怎样计算÷3呢?请在图上画一画、分一分、标一标吧。课件出示: 反馈:升平均分成3份,求每份是多少?也就是求升的是多少。÷3=×=(升)答:每人喝升。师:当被除数的分子不是整数的倍数时,用分数不能直接平均分,所以我们就把眼光聚焦到分数除以整数的通用方法上来。观察上面的计算过程,你发现了什么?课件出示——思考提示:1.原来的除法算式转化成了什么算式? 2.什么变了?什么没变?师:现在你能说说分数除以整数,可以怎样计算?师:关于整数,大家还有什么要补充的吗?师:正如大家说的,除以一个不为0的整数,等于乘这个整数的倒数,这就是分数除法的计算方法。注意:结果能约分的要约分。 学生独自思考,然后回答:÷3。学生:不行,分子不能被除数整除。学生独自画图,然后展示反馈。学生1:除法算式转化成了乘法算式。学生2:被除数不变,除数2变成了2的倒数,除数3也变成了3的倒数。学生1:分数除以整数,可以转化成乘法计算。学生2:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。学生:要除以一个不为零的整数,因为0不能作除数。 借助学生已有的知识经验尝试解决问题,体验“分母不变,用分子除以整数作分子”的局限性,进而引入分数除以整数的通用方法上来,让学生经历由特殊到一般的探索过程,进而理解把一个数平均分成几份,求其中的1份,就是求这个数的几分之一是多少,渗透转化的数学思想。通过总结,帮助学生建立完整的知识体系,同时培养学生严谨的数学逻辑思维。
课堂练习 基础题:1.画图表示下面算式的过程和结果。2.计算下面各题。 学生独自完成,然后再集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固,语言,有效应用。
提高题:3.一辆汽车行8千米消耗汽油升,平均每千米耗油多少升
拓展题 4.把一根长为米的木棍锯成相等的若干段,共锯 3次,每段长多少米?
课堂小结 通过本节课的学习,你们有什么收获? 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书 分数除以整数分数除法的意义跟整数除法的意义相同。 除以一个不为0的整数,等于乘这个整数的倒数。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题:1.填一填,算一算。÷5=×= ÷8=×= ÷8=×= 2.一个正方形的周长是米,它的边长是多少米?选做题:1.填一填。÷2=×( ) ÷9=×( )÷( )=× ÷( )=×2.小马虎计算一道题时,不小心把除以7 看作乘7计算后结果是,正确的答案是多少
【综合实践类作业】结合生活情境说说“÷2”和“÷3“还能解决什么问题?
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第一课时
分数除以整数
(苏教版)六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
体会分数除以整数的意义,理解并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算分数除以整数。
01
02
感受数学知识之间的内在联系,积累数学学习的经验;进一步培养分析、推理、归纳等思维能力,体会转化的数学思想。
03
使学生主动参与数学活动,养成自主探索、合作交流的习惯;增强学习数学的积极性,体会学习成功的乐趣。
新知导入
1.找出下面各数的倒数。
1
8
7
9
14
23
10 2
1
4
8
9
7
23
14
1
10
1
2
4
找一个数(0除外)的倒数,直接可以把它的分子、分母调换位置。
新知导入
2.算一算。
1
5
×
3
4
=
3
20
1
5
×
1
6
=
1
30
1
2
×
4
5
=
2
5
学习任务一
探究分数除法的意义
探究新知
量杯里有800毫升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少毫升?
800÷2=400(毫升)
每人可以喝400毫升。
探究新知
如果量杯里有1升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少升呢?
1÷2= (升)
1
2
每人可以喝 升。
1
2
小
提
示
把一个数平均分成几份,求每份是多少,用除法计算。
探究新知
如果量杯里有 升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少升?
4
5
量杯里有 升果汁,平均分给2个小朋友喝。
4
5
把 平均分成2份
4
5
每人可以喝多少升
求每份是多少?
探究新知
如果量杯里有 升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少升?
4
5
÷2=______(升)
4
5
÷2表示已知两个因数的积是 和其中的一个因数2,求另一个因数。
4
5
4
5
求每份是多少,用除法计算。
探究新知
分数除法的意义跟整数除法的意义相同,都是“已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算”。
学习任务二
探究分数除以整数的计算方法
探究新知
÷2等于多少呢?我们不妨用画图的方法找找答案。
4
5
4
5
升
请在图上画一画、分一分、标一标吧。
2
5
升
2
5
升
÷2
4
5
= (升)
2
5
探究新知
4
5
升
÷2
4
5
= (升)
2
5
=
4÷2
5
分数除以整数,可以用分数的分子除以整数作分子,分母不变。
里面有4个 ,把4个 平均分成2份,每份是2个 。
4
5
1
5
1
5
1
5
探究新知
4
5
升
每人喝的果汁占 升的一半。
4
5
1
2
每人喝了 升的
4
5
1
2
升平均分成2份,求每份是多少?也就是求 升的 是多少
4
5
4
5
1
2
探究新知
4
5
升
1
2
如果量杯里有 升果汁,平均分给2个小朋友喝,每人可以喝多少升?
4
5
÷2
4
5
1
2
= ×
4
5
1
2
= (升)
2
5
答:每人可以喝 升。
2
5
把一个数平均分为几份,就是求这个数的几分之一是多少。
学习任务三
运用分数除以整数的计算方法解决问题,并小结算法
探究新知
如果把 升果汁平均分给3个小朋友喝,每人喝多少升?
4
5
÷3=______(升)
4
5
用分子除以除数计算可以吗?
不行,分子不能被除数整除。
探究新知
小
提
示
“分母不变,用分子除以整数作分子”这样的计算方法不具备普遍性。
你准备怎样计算 ÷3呢?
4
5
请在图上画一画、分一分、标一标吧。
探究新知
如果把 升果汁平均分给3个小朋友喝,每人喝多少升?
4
5
升平均分成3份,求每份是多少?也就是求 升的 是多少
4
5
4
5
1
3
÷3
4
5
1
3
= ×
4
5
= (升)
4
15
答:每人喝 升。
4
15
探究新知
观察上面的计算过程,你发现了什么?
1
2
×
=
4
5
÷2
4
5
1
3
×
=
4
5
÷3
4
5
思考提示:
1.原来的除法算式转化成了什么算式?
2.什么变了?什么没变?
探究新知
1
2
×
=
4
5
÷2
4
5
除数2变成了2的倒数
÷变×
不变
1
3
×
=
4
5
÷3
4
5
除数3变成了3的倒数
÷变×
不变
探究新知
分数除以整数,可以怎样计算?
分数除以整数,可以转化成乘法计算。
分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。
要除以一个不为零的整数。
探究新知
除以一个不为0的整数,等于乘这个整数的倒数,这就是分数除法的计算方法。注意:结果能约分的要约分。
课堂练习
基础题:
1.画图表示下面算式的过程和结果。
4
7
÷2=( )
2
7
9
11
÷3=( )
3
11
课堂练习
基础题:
2.计算下面各题。
( )
( )
÷
3
4
2
=
( )
( )
=( )
4
3
2
1
×
( )
( )
÷
6
7
12
=
( )
( )
=( )
7
6
12
1
×
3
8
1
2
1
14
课堂练习
提高题:
3.一辆汽车行8千米消耗汽油 升,平均每千米耗油多少升
4
5
÷8
4
5
1
8
= ×
4
5
= (升)
1
10
1
2
答:平均每千米耗油 升。
1
10
课堂练习
拓展题:
4.把一根长为 米的木棍锯成相等的若干段,共锯 3次,每段长多少米?
9
10
3+1=4(段)
÷4
9
10
1
4
= ×
9
10
= (米)
9
40
答:每段长 米。
9
40
课堂总结
通过今天的学习,你有哪些收获?
我会计算分数除以整数了。
我还知道分数除法的意义跟整数除法的意义相同。
板书设计
分数除以整数
分数除法的意义跟整数除法的意义相同。
除以一个不为0的整数,等于乘这个整数的倒数。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题:
1.填一填,算一算。
÷5=
3
7
3
7
×
( )
( )
=
( )
( )
5
1
35
3
÷8=
2
9
( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
=
9
2
8
1
36
1
÷8=
8
7
( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
=
7
8
8
1
7
1
分层作业
【知识技能类作业】
必做题:
2.一个正方形的周长是 米,它的边长是多少米?
16
17
÷4
16
17
1
4
= ×
16
17
1
4
= (米)
4
17
答:它的边长是 米。
4
17
分层作业
【知识技能类作业】
选做题:
1.填一填。
÷2= × ( )
1
9
1
9
÷9= × ( )
7
3
7
3
÷( )= ×
1
10
1
10
1
8
÷( )= ×
5
6
5
6
1
4
1
2
1
9
8
4
【知识技能类作业】
选做题:
2.小马虎计算一道题时,不小心把除以7 看作乘7计算后结果是 ,正确的答案是多少
分层作业
7
9
÷7
7
9
1
7
= ×
7
9
=
1
9
÷7
1
9
1
7
= ×
1
9
=
1
63
答:正确的答案是 。
1
63
作业布置
【综合实践类作业】
结合生活情境说说“ ÷2”和“ ÷3“还能解决什么问题?
4
5
4
5
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让备课更有效
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《分数除法》单元整体设计
一、单元主题解读
(一)课程标准要求分析
《分数除法》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出:“能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算,感悟运算的一致性,发展运算能力和推理意识。能运用常见的数量关系解决实际问题,能合理解释结果的实际意义,逐步形成模型意识和几何直观,提高解决问题的能力。结合具体情境理解整数除法与分数的关系。在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义,能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题,能合理解释结果的实际意义,逐步形成模型意识和几何直观,提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出:“能在实际情境中运用小数和分数解决问题,进一步发展符号意识和数感。能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算(不超过三步),并说明运算过程。能在较复杂的真实情境中,选择恰当的运算方法解决问题,形成运算能力和推理意识。能解决较复杂的真实问题,形成几何直观和初步的应用意识,提高解决问题的能力。能在实际情境中运用小数和分数解决问题,进一步发展符号意识和数感。能在较复杂的真实情境中,选择恰当的运算方法解决问题,形成运算能力和推理意识。能在具体情境中判断两个量的比,会计算比值,理解比值相同的量,能解决按比例分配的简单问题。能解决较复杂的真实问题,形成几何直观和初步的应用意识,提高解决问题的能力。”
(二)单元教材内容分析
在学习本单元之前,学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法的计算方法以及用分数乘法解决问题等知识。本单元的内容主要包含分数除法的计算法则;“己知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题;比的意义、化简比和按比例分配问题。在分数除法里教学比的知识,是本单元教材的一个亮点。比与除法有关,除法又与分数有关,所以比与分数有关,因此安排比的知识,相当于和分数、除法建立了一座桥梁,有机的将比、分数、除法融合在了一起。
(三)学生认知情况
在学习本单元知识之前,学生已经具备了一定的知识基础,这为学习分数除法和比方面的知识奠定了基础。六年级的学生已经具备了一定的动手操作能力和解决问题的能力,还积累了一定的学习经验和方法,所以学生对计算有一定的经验,能够很好的将原有的计算方法和经验进行迁移。
二、单元目标拟定
1.理解分数除法的含义,掌握分数除法的计算方法,并能熟练计算;掌握分数连除和乘除混合运算的运算顺序。
2.学会用方程或算术法解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题。
3.理解比的意义,会求比值,理解比与分数、除法的关系;理解并掌握比的基本性质,会化简比;能应用比的知识解决“按比例分配”问题。
三、关键内容确定
(一)教学重点
1.理解并掌握分数除法的意义和计算方法,能正确计算分数除法、分数连除和乘除混合运算。
2.会解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题。
3.理解比的意义和比的基本性质,会求比值和化简比。
4.能运用比的意义,解决按照一定的比进行分配的实际问题。
(二)教学难点
1.理解分数除法的意义以及算理。
2.理解比与分数、除法的关系,知道化简比与比值的区别。
3.能解决分数除法问题和按比例分配的问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位:
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》提出:“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中,认识数学的价值。”
本单元教材的具体编排结构如下:
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面:*com
1.在学习分数除法时,教材编排遵循了由易到难、循序渐进的原则,先教学分数除以整数,再教学整数除以分数,最后再教学分数除以分数。
2.借助直观手段帮助学生理解算理、探索算法。
3.在理解比的意义和基本性质时,教材在编排上不仅关注了学生已有的知识和经验,还注重了知识的层次感,让学生逐步理解、感悟。
4.在学习解决问题时,教材鼓励学生自主探究,采用适当的方法解决。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 分数除法 分数除以整数 1
整数除以分数 1
分数除以分数 1
分数除法应用题 1
分数连除、乘除混合 1
比的认识 1
比的基本性质 1
按比例分配的实际问题 1
树叶中的比 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《分数除以整数》 目标: 体会分数除以整数的意义,理解并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算分数除以整数。 任务一:探究分数除法的意义 → 任务二:探究分数除以整数的计算方法 → 任务三:运用分数除以整数的计算方法解决问题,并小结算法 → 1.能顺利列出关于分数除以整数的算式,并通过交流知道分数除法与整数除法的意义是相同的。 2.掌握分数除以整数的两种不同形式的计算。 3.掌握分数除以整数的一般计算方法,并能总结出计算法则。
3.2《整数除以分数》 目标: 经历探索整数除以分数计算方法的过程,理解并掌握整数除以分数的计算方法,能正确计算整数除以分数的式题。 任务一:探究“整数除以几分之一”的计算方法 → 任务二:探究“整数除以几分之几”的计算方法 → 1.能根据数量关系正确列出算式,并借助圆片分一分,探索出一个整数除以几分之一等于这个数乘几分之一的倒数。 2.通过作图和尝试计算,能发现整数除以几分之几等于整数乘几分之几的倒数,进而总结出计算方法。
3.3《分数除以分数》 目标: 理解并掌握分数除以分数的计算方法,能正确计算分数除以分数的式题。 任务一:探究分数除以分数的计算方法 → 任务二:统一计算方法 → 1.能利用类推的方法尝试计算,再借助直观图来验证计算方法和结果是否正确,进而能总结出分数除以分数的计算方法。 2.能把分数除法法则统一成一个法则。
3.4《分数除法应用题》 目标: 掌握用方程解答“己知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题。 任务一:教学例5 → 任务二:巩固应用 → 1.能根据数量关系列出方程或分数除法解答问题。 2.能尝试用学过的方法解决关于分数除法问题。
3.5《分数连除、乘除混合》 目标: 掌握分数乘除和分数连除的运算方法,能够正确运用乘除混合运算法则解决实际问题。 任务一:探究分数乘除混合运算的计算方法 → 任务二:探究分数连除的计算方法 → 1.自主分析题中的数字信息和数量关系,尝试用不同的方法解答,并通过计算明确分数混合运算的顺序。 2.掌握分数连除的计算,明确计算方法。
3.6《比的认识》 目标: 理解比和比值的含义,知道比的各部分与除法和分数各部分的关系;能写出两个数的比,会求比值。 任务一:同类量的比 → 任务二:不同类量的比 → 任务三:认识比 → 1.能根据写出同类量的比,认识比各部分的名称,知道比表示的具体意义。 2.能写出不同类量的比,知道比表示的具体意义。 3.概括出比的意义,并根据比的意义学会求比值,知道比、分数与除法之间的联系与区别。
3.7《比的基本性质》 目标: 使学生理解和掌握比的基本性质,并会应用这个性质把比化成最简单的整数比。 任务一:探索比的基本性质 → 任务二:运用比的基本性质化简比 → 1.能求出每个比的比值,把比值相等的比填入等式,并通过类比推理自主发现并归纳比的基本性质,进而观察前项和后项只有公因数1,能认识最简单的整数比。 2.学会化简三种类型的比,并能归纳出化简比的方法。
3.8《按比例分配的实际问题》 目标: 理解按比例分配的意义,掌握按比例分配实际问题的结构特点以及解题方法,能正确解答按比例分配问题。 任务一:探究“按比例分配的实际问题”的方法 → 任务二:巩固应用,归纳方法 → 任务三:探究“题目隐含的比的实际问题”的解法 → 1.通过交流理解题意,能用把比看作份数和把比转化成分数两种不同的方法解决问题。 2.能运用所学的知识解决按三个数量的比进行分配的问题,并总结出解决此类问题的方法。 3.能找出题目隐含的比,并用不同的方法解决问题。
3.9《树叶中的比》 目标: 让学生收集不同树叶,探索发现一些常见树叶的长与宽的比,能根据树叶长与宽的比判断这个树叶是哪一种树的叶子。 任务一:提出问题 → 任务二:探索实践 → 任务三:回顾反思 → 1.在比较树叶的过程中,能发现通过测量、比较树叶的长和宽来探究同种和不同种树叶形状的方法。 2.通过动手实践,自主探索、合作交流等方式,能探索树叶长宽比值存在的规律。 3.能说一说本节课的收获和体会。
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