【人教九上第23章《旋转》中档题专题提优】专题六 旋转作图问题基本方法（4）——作图与计算（含解析）

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专题六 旋转作图问题基本方法（4）——作图与计算
1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点．
（1）以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由．
2．如图，E为正方形ABCD外一点，连接BE
（1）画出将线段BE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段；
（2）连接EA，ED，若EA＝5，ED＝4，∠AED＝45°，请直接写出线段BE的长．
3．操作与思考：
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D是异于A，B的一点，且∠ADB＝90°．若将线段AD绕点A逆时针旋转α，画出对应线段AE，连接DE交BC于点F，猜想BF与CF的数量关系，并证明你的猜想：
迁移与运用如图（2），在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC，CD，ED的延长线交AB于点F，且∠BDC＝90°，直接写出EF的长．
专题六 旋转作图问题基本方法（4）——作图与计算
01．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点．
（1）以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由．
【思路点拔】（1）利用旋转的性质得出△ABE′的位置；
（2）根据全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△AE′F（SAS），以及EF＝E′F＝BF+DE，进而得出EF+EC+FC＝BC+CD．
【解答】解：（1）如图所示：△ABE′即为所求；
（2）作∠EAE′的平分线交BC于点F，则△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，
在△AEF和△AE′F中
∵，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F＝BF+DE，
∴EF+EC+FC＝BC+CD．
【点评】此题主要考查了图形的转变换以及全等三角形的判定与性质，得出△AEF≌△AE′F是解题关键．
02．如图，E为正方形ABCD外一点，连接BE
（1）画出将线段BE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段；
（2）连接EA，ED，若EA＝5，ED＝4，∠AED＝45°，请直接写出线段BE的长．
【思路点拔】（1）利用旋转的性质作出B点和E的对应点B′和E′即可；
（2）先利用旋转的性质得AE＝AE′＝5，∠EAE′＝90°，则可判断△AEE′为等腰直角三角形，所以EE′AE＝5，∠AEE′＝∠AE′E＝45°，则∠E′EB′＝90°，然后利用勾股定理计算出B′E′，从而得到BE的长．
【解答】解：（1）如图，B′E′为所作；
（2）∵AE绕点A逆时针旋转90°得到AE′，
∴AE＝AE′＝5，∠EAE′＝90°，
∴△AEE′为等腰直角三角形，
∴EE′AE＝5，∠AEE′＝∠AE′E＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠E′EB′＝45°+45°＝90°，
在Rt△BEE′中，B′E′，
∴BE．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质．
03．操作与思考：
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D是异于A，B的一点，且∠ADB＝90°．若将线段AD绕点A逆时针旋转α，画出对应线段AE，连接DE交BC于点F，猜想BF与CF的数量关系，并证明你的猜想：
迁移与运用如图（2），在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC，CD，ED的延长线交AB于点F，且∠BDC＝90°，直接写出EF的长．
【思路点拔】操作与思考：由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ADE，可证点A，点B，点D，点F四点共圆，即可求解；
迁移与运用：通过证明点B，点C，点D，点F四点共圆，可得∠BCF＝∠BDF＝45°，由等腰直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求FH的长，即可求解．
【解答】解：操作与思考：BF＝CF，理由如下：
如图（1），连接AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝90°，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，
∴AD＝AE，∠DAE＝α，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴点A，点B，点D，点F四点共圆，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BF＝CF；
迁移与运用：如图（2），连接CF，过点C作CH⊥DE于H，
∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC，CD，
∴AB＝2，DE＝2，∠ABC＝45°，
∵CD＝CE，CH⊥DE，
∴DH＝HE＝1，∠CDE＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF＝45°，
∴∠CDF＝135°，
∵∠ABC+∠CDF＝180°，
∴点B，点C，点D，点F四点共圆，
∴∠BCF＝∠BDF＝45°，
∴△CFB是等腰直角三角形，
∴CF＝BF，
∴FH2，
∴EF＝FH+EH＝3．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．