【人教九上第23章《旋转》中档题专题提优】专题十八 旋转与抛物线（含解析）

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专题十八 旋转与抛物线
01．将抛物线y＝2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．yx2+1 D．yx2﹣1
02．将抛物线y＝（x+1）2+4绕点（1，2）旋转180°，所得新抛物线的解析为 ．
03．如图，抛物线yx2x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
04．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，求C2的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C3．抛物线C3的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标？
专题十八 旋转与抛物线
01．将抛物线y＝2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．yx2+1 D．yx2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
02．将抛物线y＝（x+1）2+4绕点（1，2）旋转180°，所得新抛物线的解析为 ．
【分析】先求得顶点坐标（1，2）关于点（﹣1，﹣2）对称的点的坐标，然后写出旋转后抛物线的解析．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+4的顶点坐标是（﹣1，4），
∴（﹣1，4）关于点（1，2）对称的点的坐标是（3，0）．
∵抛物线y＝（x+1）2+4绕点（1，2）旋转180°，
∴新抛物线的开口向下，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2．
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，由于抛物线旋转180°后的形状不变，故a变为相反数，所以求旋转180°后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点旋转180°后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑旋转180°后的顶点坐标，即可求出解析式．
03．如图，抛物线yx2x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
【分析】（1）令y＝0，可求A点坐标，令x＝0，可求B点坐标；
（2）①设E（t，t2t+2），则F（t﹣2，t2t+2），D（t﹣2，t2t+3），再由D点在抛物线上，可求t＝3，则F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，证明△FMP≌△PNO（AAS），则PM+PN＝2，设P（m，2﹣m），OP2＝2m2﹣4m+4，再由OF2＝2OP2，可得5＝2（2m2﹣4m+4），即可求P（，）．
【解答】解：（1）令y＝0，0x2x+2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）；
（2）①如图2，设E（t，t2t+2），
∵OA＝1，OB＝2，
∴F（t﹣2，t2t+2），D（t﹣2，t2t+3），
∵D点在抛物线上，
∴t2t+3（t﹣2）2（t﹣2）+2，
∴t＝3，
∴F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，
∵∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPN＝90°，
∵∠FPM+∠MFP＝90°，FP＝OP，
∴△FMP≌△PNO（AAS），
∴FM＝PN，PM＝ON，
∵F（1，2），
∴PM+PN＝2，
设P（m，2﹣m），
∴OP2＝m2+（2﹣m）2＝2m2﹣4m+4，
∵PO＝FP，
∴OF2＝2OP2，
∴5＝2（2m2﹣4m+4），
∴m或m，
∴P（，）或P（，），
∵①结论可知F（1，2），PO＝FP，
∴P（，）舍去，
∴P（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，数形结合解题是关键．
04．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，求C2的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C3．抛物线C3的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标？
【分析】（1）由抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5得顶点P的为（﹣2，﹣5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a；
（2）抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，故可设抛物线C2的解析式为：y＝a（x﹣4）2+5，又抛物线过点B（1，0），代入即可求出答案；
（3）根据抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF＝AB＝2BH＝6，FG＝3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，﹣5），
根据勾股定理得：PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34．
分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，解得m，即Q点坐标为（ ，0）；
②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，解得m，
∴Q点坐标为（ ，0），
③PN＞NK＝10＞NF，所以∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
【解答】解：（1）由抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5得，
顶点P的为（﹣2，﹣5），（2分）
∵点B（1，0）在抛物线C1上，
∴0＝a（1+2）2﹣5，
解得，a；（4分）
（2）∵抛物线C2是由抛物线C1绕点B旋转180°得到的，P点坐标为（﹣2，﹣5）
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴设抛物线C2的解析式为：y＝a（x﹣4）2+5，
又抛物线C2过点B（1，0），代入B点解得：a，
故C2的解析式为：y（x﹣4）2+5．
（3）∵抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），（9分）
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF＝AB＝2BH＝6，
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5），
根据勾股定理得：
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，
NF2＝52+32＝34，（10分）
①∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，解得m，
∴Q点坐标为（ ，0）．
②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，解得m，
∴Q点坐标为（ ，0）．
③∵PN＞NK＝10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．（13分）
【点评】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用直角三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用勾股定理作为相等关系求解．