/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
平行四边形中的动点问题
1．（23-24九年级·四川自贡·期末）如图．在四边形中， ，，，．．点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点当到达点时，、两点停止运动．在此运动过程中，出现 和的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，相交于点O，且，点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列选项不正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．当点E是的中点时，
C．当时，线段长度的最大值为4
D．当点E在边上，且时，是等边三角形
3．（23-24九年级·广西柳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.
(1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
方法指导
一折:看怎么折,折痕在哪儿,
二等:位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称,即折叠前后的两部分全等,对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等,且折叠后,对应点(不重合时)的连线被折痕垂直平分.
三解;根据勾股定理、全等三角形的性质等列方程或直接解题.
1．（2024·河北唐山·二模）如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ）
甲：点，的运动速度相同；
乙：
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
2．（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是边延长线上一点，，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线方向运动，同时点N从点D出发，沿射线方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
4．（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ）
A． B．6 C． D．4
5．（23-24九年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形中，，E，F分别是边、上的点，且．
(1)若点E是的中点，则与之间的数量关系为______；
(2)若点E不是的中点，判断与之间的数量关系并说明理由；
(3)若，直接写出周长的最小值；
(4)当点在边上运动时，小亮发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
6．（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
7．（23-24九年级·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．
8．（2024·山东临沂·一模）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是_________；证明此猜想时，可取的中点P，连接，根据此图形易证，则判断的依据是_______．
(2)点E在边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
9．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足，，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)设，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？
10．（23-24九年级·江苏徐州·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值．
1．（23-24九年级·北京·期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为．
(1)证明：；
(2)若在线段上运动，求证：；
(3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论
2．（23-24九年级·广东广州·期中）已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
(1)如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
(2)如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
(3)如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
3．（23-24九年级·河南周口·期末）正方形的边长为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．交于点，于点，的平分线分别交，于点，，连接，．设点的运动时间为．
（1）在点的运动过程中，与有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当把正方形的面积分成两部分时，请直接写出的值．
4．（23-24九年级·山西太原·期中）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点.
操作发现
（1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出.
5．（23-24九年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点．
【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________；
【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）
6．（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
(3)如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
1．（23-24九年级·广东潮州·期中）如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
2．（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当点P运动停止时，______，线段的长为______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
3．（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象．
(1)__________；
(2)求的值．
4．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．
(1)AB = cm，a = ；
(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；
(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
5．（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为．
(1)当时，______；
(2)当点在边上运动时，______；
(3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
6．（23-24九年级·上海虹口·期末）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是梯形；
(2)如果，当为等腰三角形时，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
1.7平行四边形中的动点问题
1．（23-24九年级·四川自贡·期末）如图．在四边形中， ，，，．．点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点当到达点时，、两点停止运动．在此运动过程中，出现 和的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，动点问题，勾股定理，根据题意分别求得 和的情形，分类讨论，即可求解．
【详解】解：设点的运动时间为，
∵，点从点出发，以的速度向点运动，，当点当到达点时，、两点停止运动．
∴秒，，则
∵，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，
∴，
当时，则四边形是平行四边形，
∴
当时，点从到运动，
∴，解得：
当时，点从到运动，
∴，解得：
当时，点从到运动，
∴，解得：
当，点从到运动，
∴，解得：（舍去）
∴能出现三次，
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵ ，，
∴四边形是矩形，
∴，，,
∴中，,
当时，
在中，
∴
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当，点从到运动，，
∴，解得：（舍去）或（舍去）
∴能出现6次，
故选：A．
2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，相交于点O，且，点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列选项不正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．当点E是的中点时，
C．当时，线段长度的最大值为4
D．当点E在边上，且时，是等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定等．根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定判断D选项即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是矩形，
故A正确，不符合题意．
∵点O，F分别是的中点，
∴是的中位线．
∴
又∵点E是的中点，
∴．
∴，即 ，
故B正确，不符合题意．
当点E与点D重合时，的值最大．
∵，
∴的最大值是8．
∴，即线段长度的最大值是4，
故C正确，不符合题意．
当时，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等边三角形，
故D错误，符合题意；
故选D．
3．（23-24九年级·广西柳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.
(1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
【答案】(1)或
(2)当Q点的速度为时，四边形为菱形
【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理．
（1）过点B作于H，证明四边形是矩形，得到，则，在中，由勾股定理得；只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可；
（3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
Q在上运动时间为，
，
运动时间最长为，
当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，在边上，
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
即
只需即可，
由题意得，，
，
解得：；
②四边形是平行四边形，如图所示：
同理
只需，四边形是平行四边形
∵，
解得：
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（2）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形
只需满足即可
由题意得，，，
，，
解得：，
当Q点的速度为时，四边形为菱形．
方法指导
一折:看怎么折,折痕在哪儿,
二等:位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称,即折叠前后的两部分全等,对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等,且折叠后,对应点(不重合时)的连线被折痕垂直平分.
三解;根据勾股定理、全等三角形的性质等列方程或直接解题.
1．（2024·河北唐山·二模）如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ）
甲：点，的运动速度相同；
乙：
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加甲，根据题意可知，从而推出，，然后根据平行四边形的判定定理进行判断即可；添加乙，根据可证，知道，从而推出，然后结合矩形对边平行，即可判断．
【详解】若添加甲条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，
又点，分别从点，同时出发且运动速度相同
即
四边形为平行四边形；
若添加乙条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，，，
在和中
即
四边形为平行四边形．
故选A．
2．（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质和翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，由折叠可得，得到，，进而可得，从而判断出点在上运动，又由全等三角形的性质可得，，设 ，则，，由勾股定理得，即得，解方程求出，得到的长度，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，
∴，，，
由折叠得，，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴点到的距离等于，即点在上运动，
∴点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 四边形为矩形，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为线段的长，等于，
故选：．
3．（2024·河南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是边延长线上一点，，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线方向运动，同时点N从点D出发，沿射线方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
【答案】D
【分析】本题考查了矩形、平行四边形的性质及判定的应用．由题得出共四种情况，当从向运动时，在上时；当点在射线上的点右侧时；当点从点向点运动且点在上时；当点从点向点方向运动且点在点右侧时，根据每种情况，分别求出和，令，再求出即可．
【详解】解：由题得，，
四边形是矩形，
∴，
若，则以、、，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
当从向运动时，，
当在上时，即时，
得，
；
当点在射线上的点右侧时，即时，，
，
；
当点从点向点运动且点在上时，即时，
，
，
（舍去）；
当点从点向点方向运动且点在点右侧时，即时，
，
，
；
综上的值为1或3或13．
故选：D．
4．（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含的直角三角形的性质，作，根据题意得，，进而可得，，，根据题意知，得，即可得．解题关键是勾股定理的正确应用．
【详解】解：作，由矩形中，，，
则，，
则，，，
由题意知，，则，
得．
故选：C．
5．（23-24九年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形中，，E，F分别是边、上的点，且．
(1)若点E是的中点，则与之间的数量关系为______；
(2)若点E不是的中点，判断与之间的数量关系并说明理由；
(3)若，直接写出周长的最小值；
(4)当点在边上运动时，小亮发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)
(4)见解析
【分析】（1）连接，得出为等边三角形，求出，证明，得出；
（2）连接，根据四边形为菱形，得出，，，，证明，得出；
（3）证明为等边三角形，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，求出最小值即可；
（4）根据，得出，根据
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴当最小时，的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
根据解析（2）可知，为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴周长的最小值为；
（4）解：根据解析（2）可知，，
∴，
∴
．
【总结】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
6．（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程得到答案；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可；
（3）用时间t表示出梯形ABQP的面积，列方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：AP=t cm，CQ=3t cm，
则PD=（24-t）cm，
∵PD∥CQ，
∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
此时，24-t=3t，
解得：t=6，
∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形ABQP为矩形．
（3）∵由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
，
解得，
此时BQ=26-3t=-4，
∴不存在，使梯形的面积为．
【总结】本题考查的是梯形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
7．（23-24九年级·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．
【答案】(1)，
(2)存在，cm；理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作于，可得四边形是矩形，根据矩形的对边相等求出，，然后求出，判断出的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据代入数据进行计算即可得解；
（3）过点作于，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得，根据菱形的四条边都相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后表示出、，在和中，利用勾股定理列式表示出和，然后列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图，过点作于，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，；
（2）解：如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
解得（cm）；
（3）解：如图，过点作于，
在菱形中，，，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
．
【总结】本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．（2024·山东临沂·一模）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是_________；证明此猜想时，可取的中点P，连接，根据此图形易证，则判断的依据是_______．
(2)点E在边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)，ASA；
(2)成立，理由见解析．
【分析】（1）根据提示，利用ASA证明，从而得到；
（2）利用（1）的解题思路，在上取一点P，使，连接，则，同样利用ASA证明，从而得到．
【详解】（1）∵在正方形中，，点E是的中点，点P是的中点
，
，
∵在正方形中，
是等腰直角三角形
平分
在和中
（ASA）
故答案为：，ASA．
（2）①成立，理由如下：
如图，在上取一点P，使，连接，则，
由（1）得：
，
∴是等腰直角三角形
∴
在和中
∴
；
【总结】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定．正确作出辅助线是解题的关键．
9．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足，，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)设，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？
【答案】(1)补图见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）依题意补全图形，即可；
（2）连接CE，先证得．再根据直角三角形的性质可得．可得≌，即可求解；
（3）根据题意可得点E在AC的垂直平分线上，可得点E在BD上，从而得到在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，再证得四边形DFCN为梯形．然后根据梯形的面积，即可求解．
【详解】（1）解∶依题意补全图形，如图1所示．
（2）证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵在中，点E是AN中点，
∴．
∵，，，
∴≌，
∴．
∴．
（3）解∶ 连接DE，
∵由（2）得：AE=CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD为等腰直角三角形，
∴点E在BD上，
∴BF=DF=CF，
∴在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，
∴
∵，
∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，
∴，
∴四边形DFCN为梯形．
∵，
∴BC=CD=AB=2，
∴，
∴，
∴．
【总结】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识是解题的关键．
10．（23-24九年级·江苏徐州·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，，得到四边形是平行四边形，再根据即可得证结论；
（2）作N关于DC的对称点，过D作于H，由对称性可得，当P、M、共线时，，而的最小值为平行线间距离的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵E在的延长线上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）解：作N关于DC的对称点，过D作于H，
由菱形的对称性知，点N关于的对称点在上，
∴，
∴当P、M、共线时，，
∵，
∴的最小值为平行线间距离的长，
即的最小值为的长，
∵是边长为1的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的最小值为．
【总结】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理，平行线间的距离．综合运用相关知识，熟练运用化归思想是解题的关键．
1．（23-24九年级·北京·期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为．
(1)证明：；
(2)若在线段上运动，求证：；
(3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质；
（1）根据菱形的性质得到，进而根据三角形的外角的性质，即可得到结论；
（2）过点作交于点，连接先证明，再证明是等边三角形．从而得到，进而即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质可知，结合，以及直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作交于点，连接
∵为菱形，，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
（3），理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24九年级·广东广州·期中）已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
(1)如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
(2)如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
(3)如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可证，然后根据菱形的性质和勾股定理即可得出，从而得出答案；
（3）连接交于点G，连接，，利用证明，得出，，再根据角的和差求出，然后根据勾股定理即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，连接
四边形是菱形
是等边三角形
，
是等边三角形
，
；
（2）解：如图2，连接，交于点M
四边形是菱形
，，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形
，
，
又 ，
；
；
（3）证明：如图3，连接交于点G，连接，
四边形是菱形
是等边三角形
，
，
又，
，
是等边三角形
，
即．
【总结】本题考查了四边形的综合题，涉及到等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．（23-24九年级·河南周口·期末）正方形的边长为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．交于点，于点，的平分线分别交，于点，，连接，．设点的运动时间为．
（1）在点的运动过程中，与有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当把正方形的面积分成两部分时，请直接写出的值．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【分析】（1）先证明△FAD≌△FCD得到，由正方形的性质及角平分线的性质可以得到，即可得到答案；
（2）连接AC，根据把正方形的面积分成两部分，可以得到，再根据，，
即可得，从而得到，即可求解.
【详解】解：（1）．
证明如下：∵四边形是正方形，
∴BD是∠ADC的角平分线，
=45°，AD=CD，
又∵DF=DF，
∴△FAD≌△FCD（SAS），
∴
∵，
90°
∵平分，
45°
∵，
．
（2）连接AC，
∵把正方形的面积分成两部分，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵BC=4，
，
.
【总结】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．（23-24九年级·山西太原·期中）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点.
操作发现
（1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出.
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时，
【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，；
（2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出CE，进而得出AE.
（3）根据题意，分三种情况讨论即可：①当时，②当时，③当时.
【详解】（1）.
理由如下：如图，连接.
∵是正方形的对角线，
∴，，.
在和中，
∴.
∴，.
∵四边形是正方形，
∴.
在四边形中，.
∵，
∴.
∴.
∴.
（2）如图，过点作于点，作于点.
∴.
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，.
∴四边形是正方形.
在和中，
∴.
∴.
∴ .
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴.解得.
∵正方形的边长为6，
∴.
∴.
∴此时的长为.
（3）分三种情况：
①当时，；
②当时，且点与点重合；
③当时，.
【总结】此题主要考查三角形全等的判定、正方形的性质以及动点问题的综合运用。
5．（23-24九年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点．
【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________；
【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形的性质可知，再根据角平分线的定义，最后利用直角三角形的性质及全等三角形的判定可知即可解答；
（2）在上截取，连接，根据正方形的性质可知，，再根据角平分线的定义及直角三角形的性质可知，，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答；
（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，根据正方形的性质及角平分线的定义可知是等腰直角三角形，再根据线段垂直平分线的定义可知是的垂直平分线进而即可解答．
【详解】解：（1），理由如下：
取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）成立，理由如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是垂直平分线，
∴点与关于对称，
∴，当A、P、G共线时取等号，故最小值为的长，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的周长的最小值为．
【总结】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定、最短路径问题，掌握正方形的性质是解题的关键．
6．（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
(3)如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
【答案】(1)
(2)当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或
(3)
【分析】（1）过作于点，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与和直角三角形的性质，勾股定理解答即可；
（2）利用的代数式表示出相等，，，的长度，再利用分类讨论的思想方法分两种情况，依据平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，设 ，利用等腰直角三角形的性质和折叠的性质表示出线段，，的长度，再利用勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）解：过作于点，过点作于点，如图，
，，
．
，，，
四边形为矩形，
，，
．
．
（2）由题意得： ， ，
，．
①当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
②当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
综上，当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或．
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，如图，
，，
， ，
，，
，
同理可求．
由题意得： ，，
设 ，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
．
，
，
．
长度为．
故答案为：．
【总结】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理和折叠的性质，分类讨论是解题的关键．
1．（23-24九年级·广东潮州·期中）如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】解：当与全等时，有两种情况：
①当时，，
，，
，，
；
动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，
点和点的运动时间为：，
∴；
②当时，，
，，
，，
，
，
综上，v的值为2或．
故选：D．
2．（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当点P运动停止时，______，线段的长为______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；；；②
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用：
（1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可；
（2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可；
（3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点P运动9秒后停止，即，
∴，
故答案为：；；
（2）解：①由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：；；；
②∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，
∴此时有，
∴，
解得；
（3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且，
∴此时四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得．
3．（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象．
(1)__________；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据图象分析得出点E的位置于x的关系．
（1）根据全等三角形的性质推出四边形为菱形，则，进而得出当点E在上时，点E到的距离不变，由图2可知，当时，y的值不变，即可得出，当时，点E与点B重合，即可得出；
（2）过点D作于点H，根据，求出，根据勾股定理得出，则，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴当点E在上时，点E到的距离不变，
由图2可知，当时，y的值不变，
∵点E的速度为，
∴，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，点E与点B重合，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点D作于点H，
∵，，
∴，即，
解得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：．
由（1）可得，，，
，
在和中，
，
；
4．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．
(1)AB = cm，a = ；
(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；
(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2，
(2)
(3)存在，的值为或或．
【分析】（1）由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积==，进而求解；
（2）由四边形ADCP的面积，即，即可求解；
（3）①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x=BP=；②当∠BAP′为直角时，则PP′=，则x=BP+PP′= ；③当∠BAP″为直角时，则x=BD+DP″=，即可求解．
【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC、△ACD为全等的两个等边三角形，
设△ABC的边长为，则其面积为，
由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积=，
解得（负值已舍去），
即菱形的边长为2，则AB=2（cm），
由题意知，点P与点O重合时，对于图2的a所在的位置，
则AO=1，故．
故答案为2；．
（2）解：由（1）知点在段运动时，对于图2第一段直线，
而该直线过点、，，
设其对应的函数表达式为，则，解得，
故该段函数的表达式为，
当点在上运动时，四边形的面积为，则点只能在上，
则四边形的面积，即，
解得．
（3）解：存在，理由：
由（1）知，菱形的边长为2，则，，
过点作于点交于点，
、均为等边三角形，则，
①当点和点重合时，为直角，则；
②当为直角时，则同理可得：，则；
③当为直角时，则，
综上，的值为或或．
【总结】本题是四边形综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形和菱形的性质、三角形全等和相似、面积的计算等．
5．（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为．
(1)当时，______；
(2)当点在边上运动时，______；
(3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)128
(3)存在， 的值为10或38
【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
（1）由，可得，然后由，求得答案；
（2）直接由，求得答案；
（3）分两种情况，当点在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于的方程求解即可．
【详解】（1）解： ，，，
；
故答案为：32；
（2）解：点在边上运动，
；
故答案为：128；
（3）解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图4，当点在上时，，
，
，
．
如图5，当点在上时，，
，
．
综上所述，或38时，使得与全等．
6．（23-24九年级·上海虹口·期末）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是梯形；
(2)如果，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6或16
【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形；
（2）分，，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明： ，
，
为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，与相交，
与不平行，
四边形是梯形；
（2）解： 为等腰三角形，
如图，当时，
为的中点，
，
，，
；
如图，当时，过点F作，垂足为H，
由（1）知四边形是平行四边形，
，即，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
如图，当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
此时，点与点B重合，不符合题意，
综上，当为等腰三角形时，的长为6或16．
【总结】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
