/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
1.8正方形常考模型
1.（罗湖区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：把△FCD绕点C逆时针旋转90°得△F′CB，此时E，B，F'三点共线，
则△CBF'≌△CDF，连接EF．
∴CF＝CF′，
∵∠FCF′＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠ECF＝∠ECF′＝45°，
∵CE＝CE，
∴△CEF≌△CEF'（SAS），
∴EF＝EF'．
在Rt△EBC中，，
∴AE＝AB﹣BE＝2．
设DF＝x，则AF＝4﹣x．
∵DF＝BF′，
∴EF＝EF'＝BE+BF'＝2+x，
在Rt△FCD中，EF2＝AE2+AF2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
解得：．
在Rt△CDF中，，
∴，
解得：．
故选：A．
2.（2022秋 盐津县期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G．
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）线段AF与DE有怎样的位置关系，请判断并说明理由．
【解答】解：（1）由图示得出与∠AED相等的角有∠AFB，∠DAF或∠EDC．
（2）AF⊥DE．理由如下：
由正方形ABCD的性质可得，AB＝AD，∠DAB＝∠B＝90°，
在Rt△AED和Rt△BFA中，
，
∴Rt△AED≌Rt△BFA（HL），
∴∠AED＝∠AFB．
∵∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠AED+∠FAB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
即AF⊥DE
3.（2021春 柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）略 （2）AE＝EF成立
【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【模型一：十字架-模型归纳】
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。
【模型二：对角互补-模型归纳】
在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，
【模型三：外角平分线模型】
【模型四：半角模型】
1．（2022秋 碑林区校级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠BCD＝∠B＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，
∴∠CDE＝∠BCF＝30°，
∴BC＝BF＝4，
∴BF＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣4，
故选：D．
2.（防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
【答案】
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝5，CB＝4，
∴BE＝3，
∴AE＝1，
设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝3+（4﹣x）＝7﹣x，
∴EF＝＝，
∴（7﹣x）2＝1+x2，
∴x＝，
即AF＝，
∴DF＝4﹣＝，
∴CF＝＝＝，
故答案为：．
3.（2022春 广阳区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．
（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△PAB和Rt△HBC中，
，
∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），
∴∠APB＝∠BHC，
∵∠APB+∠PBA＝90°，
∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，
∴BP⊥CH；
（2）解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB＝BC＝12，
∵AP＝5，
由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，
在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝，
∵△HBC的面积＝CH BE＝HB BC，
∴，
解得：BE＝，
即线段BE的长为．
4．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．）
(1)请你思考题中“提示”，并进行证明；
(2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)，证明过程见详解
(3)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中位线知识，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题中条件证明，从而证明；
（2）作辅助线，连接，证明，从而判断与的数量关系；
（3）作的外接圆，圆心为O，作交于R，作交于H，先根据圆周角定理得到，设圆O半径为r，得到，再根据正方形的性质求出，列出不等式，求出，最后根据作答即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
为正方形外角角平分线，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
（2）连接，如图所示：
由（1）得，
为等腰直角三角形，
，，
，
（3）如图，作的外接圆，圆心为O，作交于R，作交于H，
∵，，
∴，
∴，
设圆O半径为r，则，，
由图可知，，
∵正方形的边长为4，
∴，
∴，
解得：，
∴的最小值．
故答案为：
1．（秋 乐清市期末）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；
②DC平分∠BDA；
③∠E＝∠BAC；
④DC＝DB+DA．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：如图，
①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，
∴D、A、E三点共线；
故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，
∴DC平分∠BDA；
故②正确；
③∵∠BAC＝60°，
∠E＝60°，
∴∠E＝∠BAC．
故③正确；
④由旋转可知AE＝BD，
又∵∠DAE＝180°，
∴DE＝AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC＝DB+BA．故④正确；
故选：A．
2．（2022秋 汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故④错误；
故选：D．
3．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①；
将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②；
由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③；
旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④．
【详解】解：如图中，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中， ，
，
，
同理可证，
，
，
，
，故①正确；
如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，，
由旋转知：，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，又，
，
，
四边形是正方形，
．
由旋转知：，，
，
，
．
又，，
，
，
同理可证：
，
即为直角三角形，故②正确；
，
，
又，
由①可知：，
，
，
又 ，
，故③正确；
如图中，
旋转到，，
，，
同理②中可证：，
，设，
，，
四边形是正方形，
，
，
在中，根据勾股定理得，
或舍，
，
，
正方形的边长为；
由正方形的边长为，
，
由①可知，
，，
由②得，
设，
， ，
，
，
解得 ，
，故④正确
故选：A．
【总结】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，点M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形为正方形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论；
（3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形为正方形，
理由如下：，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理可得，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
四边形为正方形；
（3）解：延长交于，如图3，
由对称性可知，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
【总结】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
5．如图，四边形是正方形，点是线段的延长线上一点，点是线段上一点，连接，以点为直角顶点作交的角平分线于，过点作交于，连接，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）在边上截取线段，使连，证明即可求解；
（2）由（1），证明四边形为平行四边形即可求解；
（3）过作垂足为，由（2）知，；得到，，平分所以，可知三角形是等腰直角三角形，再用勾股定理即可求出和MN和DN．
【详解】（1）证明：在边上截取线段，使连．
∵四边形是正方形
;
∵BN平分
在中,,
在和中
∴
．
（2）如图，
设与CE的交点为H，
∵四边形是正方形
∴
∵
在和中，
∴．
又，
又．
四边形为平行四边形．
．
（3）解：如图所示，过作垂足为．
由（2）知，
，
又
∴即
平分所以，
∴三角形是等腰直角三角形，
在中，
设，则，即，
．
，，
在中，，
又在中，，，
．
【总结】此题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和判定以及勾股定理的应用，掌握它们的性质和判定是解题的关键．
6．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．
(1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________．
(2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明．
(3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求．
（2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论．
（3）把绕点逆时针旋转，使与重合，点B对应点为点F，连接和即可求解．
【详解】（1）解：，，理由如下：
四边形是正方形，
∴，，
由旋转的性质可知，，
， ，，，
，
，
，
，
．
（2），证明如下：
如下图，把绕点逆时针旋转，与重合，
，，
，，
，
；
；
在和中，
，
∴；
∴；
∵；
即．
（3）如图1.解：∵，，
∴，
把绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点；
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，
，
；
；
；
在和中，
，
∴，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
∴，
∵是等腰直角三角形；
∴，
，
同理把绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，；
；
，；
；
在直角中，；
∴
∴，
由旋转的性质可知，；
是等腰直角三角形；
∴，
∴．
【总结】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键．
7．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）3
【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；
（2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；
（3）在DN上取一点G，使得，连接AG，先证明，再证明，设，根据可求得，由此可得，最后再证明，由此即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在与中，
，
，
，，
，，
∴，
，
，
在与中，
，
，
，
又∵，，
；
（2），理由如下：
如图，在BM上取一点G，使得，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在与中，
，
，
，，
∴，
∴，
又，
，
在与中，
，
，
，
又∵，，
∴，
故答案为：；
（3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
在与中，
，
，
，，
∴，
∴，
又，
，
在与中，
，
，
，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
，
，
∴CP的长为3．
【总结】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的的关键．
1.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．2 B． C． D．﹣1
【答案】A
【解答】解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，
在△OCE和△OAM中，
，
∴△OCE≌△OAM（SAS）．
∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM（SAS），
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，
设AF＝x，
∵CE＝＝＝3，
∴EF＝3+x，EB＝3，FB＝6﹣x，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
∴x＝2，
∴点F的纵坐标为2，
故选：A．
2.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】B
【解答】解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，
∵OA＝OC，∠OCE＝∠AOM，
∴△OCE≌△OAM（SAS）．
∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM（SAS），
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，
∵CE＝＝＝2，
∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴点F的纵坐标为，
故选：B
3.（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则EF的长为（ ）
A．2 B．2+ C．+1 D．3
【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF＝60°，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
过点F作FG⊥OD，如图，
∴∠OGF＝∠DGF＝90°，
∵∠ODC＝45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF＝DG＝DF＝，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠DOF＝30°，
∴OF＝2GF＝，
∴EF＝OF＝2．
故选：A．
4.．（巴南区校级期末）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCQ＝90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B、C、Q、P四点共圆，
∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，
∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，
∴四边形AMPE是正方形，
∴AM＝PM＝PE＝AE，
∵AP＝，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（）2，
解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，
∴DF＝1，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
则BE＝PF＝a﹣1，
∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，
∴∠EBP＝∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中
，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确；
∴DQ＝1+1＝2，
∵Q为CD中点，
∴DC＝2DQ＝4，
∴正方形ABCD的面积是4×4＝16，∴④正确；
故选：A．
5..如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1） EF2＝AF2+BF2 （2）EF2＝BF2+AE2
【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中 ，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
6．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）
【分析】（1）证明，可得，从而可得结论；
（2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
【总结】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键．
7．如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，．
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，若，求线段的长；
(3)如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据正方形性质和轴对称性质得到，，，得到，得到，得到，即得；
（2）当时，，，得到．．设，则，，根据勾股定理得到，得到；
（3）过点H作于点M，则，，由角平分线性质和对称性质推出，得到是等腰直角三角形，，推出，根据，得到，得到．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点B关于的对称点为F，
∴，，，
∵．
∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．．
设则，
∵，
即，
解得：；
∴；
（3）过点H作于点M，
则，
∴，
∵平分，
∴，
由轴对称可知，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【总结】本题主要考查了正方形，轴对称．熟练掌握正方形性质，轴对称性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
8．综合与实践
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或
【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明；
（2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立；
②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解；
（3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）①作于点H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②作于点L，
同理可证四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，
同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
②当N、F在的延长线上时，如图，
同理可得：，，
∴．
．
【总结】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
1.8正方形常考模型
1.（罗湖区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022秋 盐津县期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G．
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）线段AF与DE有怎样的位置关系，请判断并说明理由．
3.（2021春 柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．
【模型一：十字架-模型归纳】
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。
【模型二：对角互补-模型归纳】
在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，
【模型三：外角平分线模型】
【模型四：半角模型】
（2022秋 碑林区校级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，
∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（ ）
A． B． C． D．
2.（防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
3.（2022春 广阳区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．
（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．
4．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．）
(1)请你思考题中“提示”，并进行证明；
(2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ．
1．（秋 乐清市期末）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；
②DC平分∠BDA；
③∠E＝∠BAC；
④DC＝DB+DA．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022秋 汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
3．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，点M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．
5．如图，四边形是正方形，点是线段的延长线上一点，点是线段上一点，连接，以点为直角顶点作交的角平分线于，过点作交于，连接，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
6．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．
(1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________．
(2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明．
(3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长．
7．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．
1.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．2 B． C． D．﹣1
2.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
3.（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则EF的长为（ ）
A．2 B．2+ C．+1 D．3
4.．（巴南区校级期末）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5..如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
6．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题．
7．如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，．
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，若，求线段的长；
(3)如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长．
8．综合与实践
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
