3.2.1函数的单调性 学案

函数的单调性
【考纲解读】
1、 理解增函数，减函数，函数单调性和函数单调区间的定义，掌握判断（或证明）函数单
调性的基本方法；
2、 能够运用函数的单调性，解决相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数单调性的概念：
【问题】认真观察，分析下列图形，再回答后面的思考问题：
Y y y
100 6 6
50 4 5
-6 -4 -2 0 2 4 6 x 2 4
-50 -2 -1 0 1 2 x 3
-100 -2 2
(1) -4 (2) -5 -4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 x
y y (3)
3 3
2 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 (4) -2 (5)
『思考问题』
(1) 【问题】（1）中的图像，（2）中在（-∞，-1），（0，1）上图像，（3）中在（--2，0），（2，+∞）上图像，（5）中在（0，+∞）上图像共同特点是自变量增大，函数值也增大；
(2）【问题】（2）中在（-1，0），（1，+∞）上图像，（3）中在（-∞，-2），（0，2）上图像，（4）中图像，（5）中在（-∞，0）上图像共同特点是自变量增大，函数值反而减小。
1、增函数的定义： y y
设D是函数f(x)定义域的子集，任取，∈D， f() f()
且＜，如果f()＞f()都成立，则称函 f() f()
数f(x)是区间D上的增函数； o x o x
2、减函数的定义： y f() y f()
设D是函数f(x)定义域的子集，任取， f() f()
∈D，且＜，如果f()＜f()都成立， 0 x 0 x
则称函数f(x)是区间D上的减函数；
3、函数的单调性的定义：
函数具有增函数（或减函数）的性质，叫做函数的单调性；
4、函数的单调区间的定义：
函数的增函数（或减函数）区间，叫做函数的单调区间。
5、理解函数单调性应该注意的问题：
（1）讨论函数的单调性必须在函数的定义域内进行，原因是函数的单调区间是函数定义域的子集；
（2）函数的单调性是一个区间概念，即使函数在定义域内的各个区间都是增（或减）函数，也不能说函数在定义域内是增（或减）函数；
（3）函数的单调区间可以是开区间，也可以是闭（或半开半闭）区间；对于闭区间上的连续函数只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调；
（4）函数单调性的变化是求函数值域和最值的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断函数的单调性，是求函数值域和最值的前提，同时函数图像是函数单调性的最直观体现。
二、判断（或证明）函数单调性的基本方法：
1、判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（1）运用图像法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域并作出函数的图像；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数的单调性；
（2）运用定义法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据函数值f()，f()的大小关系得出函数的单调性。
2、比较函数值f()，f()大小的基本方法：
（1）比较函数值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（2）运用求差法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③若f()-f()的差大于0，则f()＞f()；若f()-f()的差小于0，则f()＜f()；
（3）运用求商法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③若的商大于1，则f()＞f()；若的商小于1，则f()＜f()。
3、判断（或证明）含有参数函数单调性的基本方法：
对含有参数的函数在判断（或证明）它的单调性时，应注意对参数按照参数分类原则和基本方法进行分类讨论。
三、函数单调性的运用：
1、函数单调性运用问题的主要类型：
函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值 范围）；②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）；③已知函数的单调性，求给定不等式的解集。
2、解答函数单调性运用问题的基本方法：
（1）求解已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数的单调性，结合问题条件得到关于参数的方程（或不等式或不等式组组）；②求解方程（或不等式或不等式组）；③得出参数的值（或取值范围）；
（2）求解运用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判定函数的单调性；②根据函数的单调性求出函数在给定区间上的最小值（或最大值）；③得出函数的值域（或最值）；
（3）求解已知函数的单调性，求不等式的解集的基本方法是：①根据函数的单调性将原不等式转化为关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出原不等式的解集。
【探导考点】
考点1判断（或证明）函数的单调性：热点①已知函数解析式，求函数的单调区间；热点②根据函数图像，确定函数的单调区间；热点③判断（或证明）函数在给定区间上的单调性；
考点2函数的单调性的运用：热点①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；热点②已知函数的单调性，求函数在给定区间值域（或最值）；热点③已知函数的单调性，求解给定的不等式。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是（ ）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
2、如图是函数f(x)（x∈R）的图像，则（ ） y
A 函数f(x)先增后减 B函数f(x)先减后增
C函数f(x)是R上的增函数 D 函数f(x)是R上的减函数 0 x
3、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A y=3-x B y=+1 C y=- D y=-2x+3
4、已知函数f(x)= 。
（1）求出函数的定义域和值域；
（2）画出函数的图像；
（3）判断函数在定义域上的单调性。
f(x)在区间（-∞，0），（0，+∞）上单调递减。
5、如图是定义在〔-5,5〕上函数y=f(x)的 y
图像，判断函数的单调性，并求出函数的 3
单调区间； 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1
6、证明函数f(x)= +2在区间（0，+∞）上是增函数；
7、判断函数f(x)= 在定义域上的单调性；
8、求函数f(x)=x+ 的单调区间；
9、讨论函数f(x)=x+ (a＞0)的单调性；
10、讨论函数f(x)= （a＞0)在（-1,1）上的单调性。
『思考问题1』
（1）判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）运用图像法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域并作出函数的图像；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数的单调性；
（3） 运用定义法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域；②确
定判断（或证明）函数单调性的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据函数值f()，f()的大小关系得出函数的单调性
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（5）运用求差法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③若f()-f()的差大于0，则f()＞f()；若f()-f()的差小于0，则f()＜f()；
（6）运用求商法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③若的商大于1，则f()＞f()；若的商小于1，则f()＜f()。
（7）对含参数的函数在判断（或证明）它的单调性时，应注意对参数按照分类讨论的原则和基本方法，对参数的可能情况分别求解，之后综合得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
2、函数y= 的单调递减区间是（ ）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C （-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
3、若函数f(x)在（-∞，+∞）上为减函数，则（ ）
A f(a)＞f(2a) B f(a) ＜f(2a) y
C f(-1) ＜f(a) D f(+1) ＜f(a) 4
4、如图是函数y=f(x)的图像，根据图像判断 3
函数的单调性，并求出函数的单调区间； 2
5、证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数； 1
6、证明：①函数f(x)= +1在（-∞，0）上 -1 0 1 2 3 4 5 x
是减函数；②函数f(x)= 1- 在（-∞，0）上是增函数；
7、如果二次函数f(x)= -(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，求f(2)的取值范围；
8、讨论函数f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的单调性；
9、已知函数f(x)= 4-kx-8在〔5，20〕上具有单调性，求实数k的取值范围。
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
2、函数f(x)=- +2|x|+3的单调递增区间为 ；
3、求函数f(x)=|x-1|-|2-3x|的单调区间并判断函数的单调性；
4、判断函数f(x)= +的单调性；
2-1 (x≥0)
5、判断函数f(x)= -3x (x＜0)的单调性。
『思考问题2』 a，a≥0，
（1）=|a|= -a，a＜0；
（2）判断（或证明）分段函数单调性的基本方法是：①判断（或证明）函数在各段上的单调性；②综合得出分段函数的单调性。
〔练习2〕解答下列问题： ， x≥0，
1、判断分段函数 f(x)= -x+1 ， x＜0，的单调性；（
2、判断函数f(x)= 的单调性。
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=，则该函数的单调递增区间是（ ）
A （-∞，1］ B ［3，+∞） C （-∞，-1］ D ［1，+∞）
2、函数f(x)= （-4）的单调递增区间是（ ）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
3、判断函数f(x)= 的单调性；
4、判断函数f(x)= 的单调性；
5、求函数f(x)= 的单调区间。
6、判断函数f(x)= (2-3x)的单调性；
7、判断函数f(x)= |-x-12|的单调性；
8、求函数f(x)= 的单调区间；
9、是否存在实数a，使函数f(x)= （a-x）在闭区间［2，4］上是增函数？如果存在说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。
『思考问题3』
（1）【典例3】中的函数的共同特点是：①将函数解析式中的某个式子视为一个整体未知数可以得到一个简单的函数；②简单函数的自变量又是一个函数；具有这种特点的函数称为复合函数；
（2）判断（或证明）复合函数单调性的的法则是同增异减；
（3）判断（或证明）复合函数单调性的法则中的“同”是指内层函数与外层函数的单调性相同；“异”是指内层函数与外层函数的单调性相异。
〔练习3〕解答下列问题：
1、判断函数f(x)= 的单调性；
2、判断函数f(x)= 的单调性；
3、求函数f(x)= 的单调区间。
4、判断函数f(x)= 的单调性；
5、判断函数f(x)= (3-2x)的单调性；
6、判断函数f(x)= |+2x-15|的单调性；
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数y=f(x)对任意的x，y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且当x＞0时，f(x)＜0，
f(1)=- 。
（1）判断并证明函数f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在区间〔-3,3〕上的最大值和最小值。
2、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0,当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a，b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）证明：f(0)=1；
（2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）证明：函数f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范围。
『思考问题4』
（1）【典例4】中的函数的共同特点是：①函数没有确定的解析式；②已知函数在R上满足的一个恒等式等式；具有这种特点的函数称为抽象函数；
（2）判断（或证明）抽象函数单调性的基本方法是：①在R上任取，，且＜；②通过赋值法比较函数值f()，f()的大小；③ 得出抽象函数的单调性；
（3）在抽象函数单调性的判断（或证明）中，比较函数值f()，f()的大小是采用赋值法，具体赋什么值应该从问题的已知条件入手。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
2、设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实数m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，当x＜0时，f(x)＞1.
①证明：f(0)=1；
②证明：当x＞0时，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的减函数。
3、已知函数f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时，f(x)＞0.
证明：函数f(x)是R上的增函数。
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当＞＞1时，［f()-f()］.（-）＜0，恒成立，设a=f(-)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A c＞a＞b B c＞b＞a C a＞c＞b D b＞a＞c
2、已知函数f(x)= (2-ax)在（0,1）上是x的减函数，求实数a的取值范围；
3、设函数f(x)=lg，若当x∈(-∞,1〕时，f(x)有意义，求实数a的取值范围；
4、求函数f(x)=2x-1- 的最大值；
5、已知函数f(x)=（a-3）x+4a（x≥0）满足对任意的，都有＜0成立，（x＜0）则实数a的取值范围是 。
7、已知函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数，且f(x-1)＜f(1-3x)，求x的取值范围。
『思考问题5』
（1）【典例5】中1是运用函数的单调性比较函数值的大小问题，解答这类问题的基本方法是：①确定自变量的大小，②运用函数的单调性比较函数值的大小；
（2）【典例5】中2，5是已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围的问题，解答这类问题基本方法是：①根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出参数的取值范围；
（3）【典例5】中4是运用函数的单调性求函数值域或最值的问题，解答这类问题的基本方法是：①运用函数的单调性求出函数在给定区间上的最值；②得出函数的值域（或最值）；
（4）【典例5】中6，7是已知函数的单调性，求不等式的解集的问题，解答这类问题的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于自变量的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出不等式的解集。
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)（x∈R）的图像如图所示，则 y |
函数g(x)=f(x) (0＜a＜1)的单调减区间 |
是（ ） 0 x
A （0，〕 B〔，1〕 C （-∞，0）∪〔，+∞） D 〔，〕
2、如果函数f(x)=a+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
3、已知函数f(x)= （2-a）x+1，x＜1，满足对任意，都有＞0成立， ，x1，那么实数a的取值范围是 ；
4、定义在R上的奇函数y=f(x)在（0，+∞）上单调递增，且f()=0，则满足f(x)的x的集合为 ；
5、求函数f(x)= 的单调区间；
6、求函数f(x)=x+2+的最值；
7、函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
（1）求证：f(x)在R上是增函数；（提示：用定义法证明）
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。（答案：不等式f(+a-5)＜2的解集为（-3，2）。）
【雷区警示】
【典例6】解答下列问题：
1、求函数f(x)=的单调递减区间。
2、已知函数f(x)是偶函数，且在（0，+）上是减函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。
3、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A f(-25)『思考问题6』
（1）【典例6】是解答函数单调性问题时，容易触碰的雷区，该类问题常见的雷区主要是忽视函数的定义域，尤其是对函数解析式变形时，忽视函数解析式变形对函数定义域的影响，导致解答出现错误；
（2）解答函数单调性问题时，为避免忽视函数的定义域的雷区，一定注意问题涉及函数的
定义域，尤其是判断（或证明）复合函数单调性问题时，需要正确确定函数的定义域。
〔练习6〕解答下列问题：
1、 函数f(x)=|x|(1-x)的单调递增区间是（ ）
A （-，0） B [0，] C [0，+] D （，+）
2、已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）上是增函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。
【考题演练】
【典例7】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=+1，x≥1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
2、 已知函数f(x)=（m+4x+3），mR，若函数f(x)在区间[-1，+）上单调递
增，则m的取值范围为（ ）（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A （-，2] B [2，+） C （，2] D （0，2]
3、下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ） （成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
4、已知函数f(x)为定义在R的偶函数，在区间[0，+）上单调递减，且满足f(3)=0，则不等式<0的解集为 。（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上单调递增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),则a，b，c的大小关系为（）（成都市高2023级2023-2024上期末调研考试）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
6、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
7、 设函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是（ ）（2023全国高
考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
8、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
-1，09、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
10、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
11、下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）
A y= B y= C y= x D y=
12、已知函数f(x)=-ax在（-1,1）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A (1，+ ∞) B ［2，+∞） C (-∞，1］ D （-∞，2〕
『思考问题7』
（1）【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷中关于函数单调性级运用的问题，归结起来主要包括：①求函数的单调区间；②判断（或证明）函数的单调性；③函数单调性的运用等几种类型；
（2）解答函数单调性级运用问题的基本方法是：①归结问题结构特征，判断问题所属类型；
②运用解答该类问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、函数f(x)=ln(-2x-8)的单调递增区间是（ ）
A (- ∞，-2) B (-∞,-1） C (1，+∞) D 〔4，+∞）
2、给定函数（1）y=，(2)y=(x+1)，(3)y=|x-1|，（4）y=其中在区间（0,1）上单调递减的函数序号是（ ）
A (1)(2) B (2)(3) C (3)(4) D (1)(4)
3、函数y=(2-3x+1)的单调递减区间为（ ）
A (1，+ ∞) B (-∞, 〕 C (，+∞) D 〔，∞〕
4、下列函数中，是奇函数且在（0，1］上单调递减的函数是（ ）
A y=-+2x B y=x+ C y=- D y=1-
5、若函数f(x)= +ax+在（，+∞）是增函数，则a的取值范围是（ ）
A 〔-1，0〕 B 〔-1，+∞） C 〔0，3〕 D 〔3，+∞)
6、能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2］都成立，则f(x)在（0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是 ；
7、已知函数f(x)= 2ax-1(x＞0)(a是常数且a＞0),对于下列命题：（1）函数f(x)在R上是 -2（x≤0），单调函数；（2）函数f(x)的最小值是-1；（3）若在〔,+
∞) 上f(x) ＞0恒成立，则a的取值范围是a＞1；（4）对任意＜0，＜0，且，
恒有＜其中正确命题的序号是 ；
8、已知定义域为R的奇函数f(x)=1-，a∈R。
（1）求a的值；
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数。
函数的单调性
【考纲解读】
3、 理解增函数，减函数，函数单调性和函数单调区间的定义，掌握判断（或证明）函数单
调性的基本方法；
4、 能够运用函数的单调性，解决相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数单调性的概念：
【问题】认真观察，分析下列图形，再回答后面的思考问题：
Y y y
100 6 6
50 4 5
-6 -4 -2 0 2 4 6 x 2 4
-50 -2 -1 0 1 2 x 3
-100 -2 2
(1) -4 (2) -5 -4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 x
y y (3)
3 3
2 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 (4) -2 (5)
『思考问题』
(1) 【问题】（1）中的图像，（2）中在（-∞，-1），（0，1）上图像，（3）中在（--2，0），（2，+∞）上图像，（5）中在（0，+∞）上图像共同特点是自变量增大，函数值也增大；
(2）【问题】（2）中在（-1，0），（1，+∞）上图像，（3）中在（-∞，-2），（0，2）上图像，（4）中图像，（5）中在（-∞，0）上图像共同特点是自变量增大，函数值反而减小。
1、增函数的定义： y y
设D是函数f(x)定义域的子集，任取，∈D， f() f()
且＜，如果f()＞f()都成立，则称函 f() f()
数f(x)是区间D上的增函数； o x o x
2、减函数的定义： y f() y f()
设D是函数f(x)定义域的子集，任取， f() f()
∈D，且＜，如果f()＜f()都成立， 0 x 0 x
则称函数f(x)是区间D上的减函数；
3、函数的单调性的定义：
函数具有增函数（或减函数）的性质，叫做函数的单调性；
4、函数的单调区间的定义：
函数的增函数（或减函数）区间，叫做函数的单调区间。
5、理解函数单调性应该注意的问题：
（1）讨论函数的单调性必须在函数的定义域内进行，原因是函数的单调区间是函数定义域的子集；
（2）函数的单调性是一个区间概念，即使函数在定义域内的各个区间都是增（或减）函数，也不能说函数在定义域内是增（或减）函数；
（3）函数的单调区间可以是开区间，也可以是闭（或半开半闭）区间；对于闭区间上的连续函数只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调；
（4）函数单调性的变化是求函数值域和最值的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断函数的单调性，是求函数值域和最值的前提，同时函数图像是函数单调性的最直观体现。
二、判断（或证明）函数单调性的基本方法：
1、判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（1）运用图像法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域并作出函数的图像；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数的单调性；
（2）运用定义法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据函数值f()，f()的大小关系得出函数的单调性。
2、比较函数值f()，f()大小的基本方法：
（1）比较函数值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（2）运用求差法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③若f()-f()的差大于0，则f()＞f()；若f()-f()的差小于0，则f()＜f()；
（3）运用求商法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③若的商大于1，则f()＞f()；若的商小于1，则f()＜f()。
3、判断（或证明）含有参数函数单调性的基本方法：
对含有参数的函数在判断（或证明）它的单调性时，应注意对参数按照参数分类原则和基本方法进行分类讨论。
三、函数单调性的运用：
1、函数单调性运用问题的主要类型：
函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值 范围）；②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）；③已知函数的单调性，求给定不等式的解集。
2、解答函数单调性运用问题的基本方法：
（1）求解已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数的单调性，结合问题条件得到关于参数的方程（或不等式或不等式组组）；②求解方程（或不等式或不等式组）；③得出参数的值（或取值范围）；
（2）求解运用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判定函数的单调性；②根据函数的单调性求出函数在给定区间上的最小值（或最大值）；③得出函数的值域（或最值）；
（3）求解已知函数的单调性，求不等式的解集的基本方法是：①根据函数的单调性将原不等式转化为关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出原不等式的解集。
【探导考点】
考点1判断（或证明）函数的单调性：热点①已知函数解析式，求函数的单调区间；热点②根据函数图像，确定函数的单调区间；热点③判断（或证明）函数在给定区间上的单调性；
考点2函数的单调性的运用：热点①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；热点②已知函数的单调性，求函数在给定区间值域（或最值）；热点③已知函数的单调性，求解给定的不等式。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是（ ）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
【解析】
【知识点】①增函数的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用增函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)，g(x)的递增区间就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=｜x｜= x，x 0，g(x)=- +2x，函数f(x)递增区间是〔0，+∞），
-x，x＜0，函数g(x)的递增区间是（-∞，1〕，C正确，
选C。
2、如图是函数f(x)（x∈R）的图像，则（ ） y
A 函数f(x)先增后减 B函数f(x)先减后增
C函数f(x)是R上的增函数 D 函数f(x)是R上的减函数 0 x
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件判断出函数f(x)，的单调性就可得出选项。
【详细解答】由函数f(x)（x∈R）的图像可知，函数f(x)是R上的增函数，C正确，
选C。
3、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A y=3-x B y=+1 C y=- D y=-2x+3
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件对各选项的函数在区间（0，2）上的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=3-x在区间（0，2）上单调递减，A错误；对B函数y=+1 在区间（0，2）上单调递增，B正确，选B。
4、已知函数f(x)= 。
（1）求出函数的定义域和值域；
（2）画出函数的图像；
（3）判断函数在定义域上的单调性。
【解析】
【知识点】①求函数定义域的基本方法； ②作函数图像的基本方法；③函数单调性的定义与性质；④判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据求函数定义域的基本方法，结合问题条件就可求出函数函数f(x)的定义域；（2）根据作函数图像的基本方法，就可作出函数f(x)的图像；（3）根据函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，运用函数图像就可判断函数f(x)在定义域上的单调性。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有x 0，x＜0或x＞0，函数f(x)的定义域为（-∞，0）（0，+∞）；（2）作出函数f(x) y
的图像如图所示；（3）根据函数图像可知，函数 0 x
f(x)在区间（-∞，0），（0，+∞）上单调递减。
5、如图是定义在〔-5,5〕上函数y=f(x)的 y
图像，判断函数的单调性，并求出函数的 3
单调区间； 2
【解析】 1
【知识点】①函数单调性的定义与性质；② -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
判断（或证明）函数单调性的基本方法。 -1
【解题思路】根据函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，运用函数图像就可判断函数的单调性，并求出函数的单调区间。
【详细解答】根据函数图像可知，函数y=f(x)在区间［-5，-2），［1，3）上单调递减，在区间［-2， 1），［3， 5］单调递增。
6、证明函数f(x)= +2在区间（0，+∞）上是增函数；
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x) 在区间（0，+∞）上是增函数。
【详细解答】证明：任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2--2
=（+）（-），+＞0，-＜0， f（）-f（）=（+）（-）＜0， f（）＜f（），函数f(x) 在区间（0，+∞）上是增函数。
7、判断函数f(x)= 在定义域上的单调性；
【解析】
【知识点】①求函数定义域的基本方法； ②函数单调性的定义与性质；③判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据求函数定义域的基本方法求出函数f(x)的定义域，运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，分别函数f(x) 在区间（-∞，-1］,［1，+∞）上的单调性进行判断就可得出结果。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-∞，-1］ ［1，+∞），任取，［1，+∞），且<， f（）-f（）=-=
=＜0，函数f(x)在区间［1，+∞）上单调递增，同理可得函数f(x)在区间（-∞，-1］上单调递减，函数f(x)在区间（-∞，-1］上单调递减，在区间［1，+∞）上单调递增。
8、求函数f(x)=x+ 的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，对参数a的可能情况分别考虑，就可得出函数f(x) 的单调性。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①当1-＞0，即＞1时，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函数f(x) 在区间［1，+∞）上是增函数；②当1-＜0，即＜1时，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函数f(x) 在区间（0，1）上是减函数；同理可得函数f(x) 在区间（-∞，-1］上是增函数；在区间（-1，0）上是减函数；综上所述，函数f(x) 在区间（-∞，-1］，［1，+∞）上是增函数，在区间（-1，0），（0，1）上是减函数。
9、讨论函数f(x)=x+ (a＞0)的单调性；
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，对参数a的可能情况分别考虑，就可得出函数f(x) 的单调性。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①当1-＞0，即＞时，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函数f(x) 在区间［，+∞）上是增函数；②当1-＜0，即＜时，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函数f(x) 在区间（0，）上是减函数；同理可得函数f(x) 在区间（-∞，-］上是增函数；在区间（-，0）上是减函数；综上所述，当a＞0时，函数f(x) 在区间（-∞，-］，［，+∞）上是增函数，在区间（-，0），（0，）上是减函数。
10、讨论函数f(x)= （a＞0)在（-1,1）上的单调性。
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，就可得出函数f(x) 在区间（-1,1）上的单调性。
【详细解答】任取，（-1，1），且<，f（）-f（）= -
= = ＞0，函数f(x) 在区间（-1，1）上单调递减。
『思考问题1』
（1）判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）运用图像法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域并作出函数的图像；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数的单调性；
（4） 运用定义法判断（或证明）函数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域；②确
定判断（或证明）函数单调性的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据函数值f()，f()的大小关系得出函数的单调性
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（5）运用求差法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③若f()-f()的差大于0，则f()＞f()；若f()-f()的差小于0，则f()＜f()；
（6）运用求商法比较函数值f()，f()大小的基本方法：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③若的商大于1，则f()＞f()；若的商小于1，则f()＜f()。
（7）对含参数的函数在判断（或证明）它的单调性时，应注意对参数按照分类讨论的原则和基本方法，对参数的可能情况分别求解，之后综合得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ） （答案：B）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
2、函数y= 的单调递减区间是（ ）（答案：C）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C （-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
3、若函数f(x)在（-∞，+∞）上为减函数，则（ ）（答案：D）
A f(a)＞f(2a) B f(a) ＜f(2a) y
C f(-1) ＜f(a) D f(+1) ＜f(a) 4
4、如图是函数y=f(x)的图像，根据图像判断 3
函数的单调性，并求出函数的单调区间； 2
（答案：函数f(x) 在（-1，0），（2，4）上 1
单调递减；在（0，2），（4，5）上单调递增。） -1 0 1 2 3 4 5 x
5、证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数；（提示：可用定义法进行证明）
6、证明：①函数f(x)= +1在（-∞，0）上是减函数；②函数f(x)= 1- 在（-∞，0）上是增函数；（提示：可用图像法进行证明）
7、如果二次函数f(x)= -(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，求f(2)的取值范围；（答案：f(2)的取值范围是［7，+∞）.）
8、讨论函数f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的单调性；（答案：函数f(x)在区间（-1，1）上单调递减。）
9、已知函数f(x)= 4-kx-8在〔5，20〕上具有单调性，求实数k的取值范围。（答案：实数k的取值范围是（-∞，20］［160，+∞）.）
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)递增区间就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=|x|(1-x)= -+x，x 0，作出函数f(x)的图像如图所示，由图知函
-x，x＜0，数f(x)的递增区间是［0，］，B正确，选B。
2、函数f(x)=- +2|x|+3的单调递增区间为 ；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据绝对值的定义得到函数f(x)的分段函数表示式，运用分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，就可求出函数f(x)单调递增区间。
【详细解答】函数f(x)= - +2x+3，x≥0， y
- -2x+3，x＜0，
作出函数f(x)的图像如图所示，由图知，函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
f(x)的单调递增区间是（-∞，-1）, （0，1）。
3、求函数f(x)=|x-1|-|2-3x|的单调区间并判断函数的单调性；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据绝对值的定义得到函数f(x)的分段函数表示式，运用分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，就可判断函数f(x)的单调性，并求出函数f(x)单调区间。
【详细解答】函数f(x)= -4x+3，x＜，根据一元一次函数的性质得到函数f(x) 在区间
2x-1，≤x＜1，（-∞，）上单调递减，在区间［，1）
4x-3，x≥1，上单调递增，在区间［1，+∞）上单调递增。
4、判断函数f(x)= +的单调性；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据绝对值的定义得到函数f(x)的分段函数表示式，运用分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，就可判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】函数f(x)=}x-3|+|x+3|= -2x，x＜-3，根据一元一次函数的性质得到函数f(x)
6，-3≤x＜3，在区间（-∞，-3）上单调递减，在区
2x，x≥3，间［-3，3）不具有单调性，在区间［3，+∞）上单调递增。
2-1 (x≥0)
5、判断函数f(x)= 的单调性。
-3x (x＜0)
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据根据一元二次函数和正比例函数的性质，运用绝分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，就可判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】当x≥0时，函数f(x)= 2-1是对称轴为Y轴的一元二次函数，当x＜0时，
函数f(x)= -3x是正比例函数，函数f(x) 在区间（-∞，0）上单调递减，在区间［0，+∞）上单调递增。
『思考问题2』 a，a≥0，
（1）=|a|= -a，a＜0；
（2）判断（或证明）分段函数单调性的基本方法是：①判断（或证明）函数在各段上的单调性；②综合得出分段函数的单调性。
〔练习2〕解答下列问题： ， x≥0，
1、判断分段函数 f(x)= -x+1 ， x＜0，的单调性；（答案：函数f(x)在（-∞，0）上单调递减，在［0，+∞）上单调递增）
2、判断函数f(x)= 的单调性。（答案：函数f(x)在（-∞，-2）上单调递减，在［2，+∞）上单调递增）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=，则该函数的单调递增区间是（ ）
A （-∞，1］ B ［3，+∞） C （-∞，-1］ D ［1，+∞）
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质；③二次根式的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)= -2x-3，根据一元二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，利用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法求出函数f(x)的单调递增区间就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)= -2x-3，作出函数g(x)的图
像如图所示，由图知函数f(x)的定义域为（-∞，-1］
［3，+∞），函数g(x)在区间（-∞，-1］上单调递减， -1 0 1 2 3 x
在区间［3，+∞）上单调递增，函数f（g(x)）在区间（-∞，-1］，［3，+∞）上单调递增，函数f（x）在区间［3，+∞）上单调递增，B正确，选B。
2、函数f(x)= （-4）的单调递增区间是（ ）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)= -4，根据一元二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，利用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法求出函数f(x)的单调递增区间就可得出选项。
【详细解答】设g(x)= -4，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，-2）（2，+），函数g(x)在（-，-2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，0<<1，函数f（g(x)）在（-，-2），（2，+）上单调递减，函数f(x) 在（-，-2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，D正确，选D。
3、判断函数f(x)= 的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质；③一元一次函数的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)=2x-3，根据一元一次函数的性质可知函数f(x)的定义域为R，判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，利用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)= 2x-3，函数f(x)的定义域是R，函数g(x)在R上单调递增， 函数f（g(x)）在区间（-，）上单调递减，在区间［，+）上单调递增，函数f（x）在区间在区间（-，）上单调递减，在区间［，+）上单调递增。
4、判断函数f(x)= 的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一元一次函数的定义与性质；③二次根式的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)=3x-1，根据一元一次函数的性质可知函数f(x)的定义域为［，+），判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，利用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)= 3x-1，函数f(x)的定义域为［，+），函数g(x)在区间［，+）上单调递增，函数f（g(x)）在区间［，+）上单调递增，函数f（x）在区间［，+）上单调递增。
5、求函数f(x)= 的单调区间。
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一元一次函数的定义与性质；③绝对值的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)=}x|-3，根据绝对值和一元一次函数的性质可知函数f(x)的定义域为R，判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，利用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间。
【详细解答】设g(x)= |x|-3= x-3，x≥0，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)在区间［0，
-x-3，x＜0，+）上单调递增，在区间（-，0）上单调递减，
函数f（g(x)）在区间［-3，0），［3，+）上单调递增，在区间（-，-3），（0，3）上单调递减， 函数f（x）在区间［-3，0），（0，3）上单调递减，在区间（-，-3），［3，+）上单调递增。
6、判断函数f(x)= (2-3x)的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一元一次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)=2-3x，根据对数函数和一元一次函数的性质可知函数f(x)的定义域为（-，），判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，利用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)=2-3x，函数f(x)的定义域为（-，），函数g(x)在区间（-，）上单调递减，函数f（g(x)）在区间（-，）上单调递增，函数f（x）在区间（-，）上单调递减。
7、判断函数f(x)= |-x-12|的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)= |-x-12|，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，运用判断复合函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)= |-x-12|，作出函数g(x)的图像 如图所示，由图知函数f(x)的定
义域是（-，-3）（-3，4）（4，+），函数g(x)在（-，-3），（，4）上单调递减，在（-3，），（4，+）上单调递增，0<0.5<1，函数f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上单调递减，函数f(x) 在（-，-3），（，4）上单调递增，在（-3，），（4，+）上单调递减。
8、求函数f(x)= 的单调区间；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】设g(x)= -3x-4，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)= -3x-4，作出函数g(x)的图像 y
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是R，函数g(x)
在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增，
e>1，函数f（g(x)）在（-，），（，+）上 -2-1 0 1 2 3 4 x
单调递增，函数f(x) 在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增。
9、是否存在实数a，使函数f(x)= （a-x）在闭区间［2，4］上是增函数？如果存在说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设存在实数a，使函数f(x)= （a-x）在闭区间［2，4］上是增函数，g(x)= a-x，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，运用判断复合函数单调性的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出结论。
【详细解答】设存在实数a，使函数f(x)= （a-x）在闭区间［2，4］上是增函数，g(x)= a-x，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知 y
函数f(x)的定义域是（-，0）（，+），函数g(x)
在（-，0）上单调递减，在（，+）上单调递增，
函数f(x) 在闭区间［2，4］上是增函数， a>1 ①， -1 0 x
＜2②，联立①②解得：a>1， 存在实数a（1，+），使函数f(x)= （a-x）在闭区间［2，4］上是增函数。
『思考问题3』
（1）【典例3】中的函数的共同特点是：①将函数解析式中的某个式子视为一个整体未知数可以得到一个简单的函数；②简单函数的自变量又是一个函数；具有这种特点的函数称为复合函数；
（2）判断（或证明）复合函数单调性的的法则是同增异减；
（3）判断（或证明）复合函数单调性的法则中的“同”是指内层函数与外层函数的单调性相同；“异”是指内层函数与外层函数的单调性相异。
〔练习3〕解答下列问题：
1、判断函数f(x)= 的单调性；（答案：函数f(x)在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增，）
2、判断函数f(x)= 的单调性；（答案：函数f(x) （-，2］上单调递减.）
3、求函数f(x)= 的单调区间。（答案：函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，）
4、判断函数f(x)= 的单调性；（答案：函数f(x)在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，）
5、判断函数f(x)= (3-2x)的单调性；（答案：函数f(x) （-，）上单调递减.）
6、判断函数f(x)= |+2x-15|的单调性；（答案：函数f(x)在（-，-5）（-1，3）上单调递增，在（-5，-1）（3，+）上单调递减，）
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数y=f(x)对任意的x，y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且当x＞0时，f(x)＜0，
f(1)=- 。
（1）判断并证明函数f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在区间〔-3,3〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③数学赋值法及运用；④判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）运根据定义法判断（或证明）函数的单调性的基本方法，结合问题条件，运用赋值法比较f()， f()的大小就可证明函数f(x)在R上的单调性，这里怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)＜0的条件，现在已经有->0，这样就需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋；（2）根据（1）的结论，可得f(x)在〔-3，3〕上单调递减，从而得到= f(-3)，= f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出结果。
【详细解答】（1）设，∈R ，且>，->0，当x＞0时，f(x)＜0， f(-)<0，
令x=-，y=，函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）, f(-)+
f()=f(-+)=f()， f()-f()=f(-)<0，函数f(x)在R上单调递减；（2）由（1）可知函数f(x)在R上单调递减，函数f(x)在〔-3，3〕上单调递减，
= f(-3)，= f(3)， f(1)=- ， f(2)= f(1+1)= f(1)+ f(1)= - - =- ，f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)= - - =-2， f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)，
f(0)=0，f(0)= f(3-3)= f(3)+ f(-3)=0， f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2, 当x∈〔-3，3〕时，= f(-3)=2，= f(3)=-2。
2、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0,当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a，b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）证明：f(0)=1；
（2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）证明：函数f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范围。
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③数学赋值法及运用；④判断（或证明）函数单调性的基本方法；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据抽象函数的性质和赋值法的基本方法，结合问题条件，令a=b=0，得到关于f(0)的方程，求解方程就可证明f(0)=1；（2）由（1）可得f(0)=1>0，问题条件已知当x＞0时，f(x)＞1>0，现在只需证明当x<0时，f(x)＞0就可得到结论，设x<0，则-x>0，令a=x,b=-x,依据对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)得到f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),可以证明f(x)>0；（3）根据定义法判断（或证明）函数的单调性的基本方法，这里比较f()， f()的大小可借助于恒等式运用赋值法进行，怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)>1的条件，现在已经有->0，这样需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋，代入恒等式就可以得到结论；（4）根据（3）的结论，可得f(x)在R上单调递增，根据f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0)
.f(3x-)> f(0) 3x->0，解这个不等式即可得到结果。
【详细解答】（1）令a=b=0，对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)， f(0+0)=f(0).f(0)， f(0)（f(0)-1）=0， f(0)≠0, f(0)-1=0， f(0)=1；（2）设x<0，则-x>0，令a=x,b=-x, 对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)，f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x), f(x)= >0， f(0)=1>0，当x＞0时，f(x)＞1>0，对任意的 x∈R，恒有f(x)＞0；（3）设，∈R ，且>，->0，当x＞0时，f(x)>1， f(-)>1，令a=-，b=，函数y=f(x)对任意的a、b∈R, 均有f(a+b)=f(a).f(b), f(-+)=f().f(-)， f()=f().f(-)，
= f(-)>1，函数f(x)是R上的增函数；（4）根据（3）的结论，可得f(x)在R上单调递增，f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0).f(3x-)> f(0) 3x->0，0『思考问题4』
（1）【典例4】中的函数的共同特点是：①函数没有确定的解析式；②已知函数在R上满足的一个恒等式等式；具有这种特点的函数称为抽象函数；
（2）判断（或证明）抽象函数单调性的基本方法是：①在R上任取，，且＜；②通过赋值法比较函数值f()，f()的大小；③ 得出抽象函数的单调性；
（3）在抽象函数单调性的判断（或证明）中，比较函数值f()，f()的大小是采用赋值法，具体赋什么值应该从问题的已知条件入手。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2；（答案：不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集为（8，9]。）
2、设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实数m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，当x＜0时，f(x)＞1.
①证明：f(0)=1；
②证明：当x＞0时，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的减函数。（答案：①提示：赋值m=n=0就可证明结论；②提示：m=x＞0，n=-x＜0,结合问题条件就可证明结论；③提示：运用定义法进行证明）
3、已知函数f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时，f(x)＞0.
证明：函数f(x)是R上的增函数。（提示：运用定义法进行证明）
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当＞＞1时，［f()-f()］.（-）＜0，恒成立，设a=f(-)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A c＞a＞b B c＞b＞a C a＞c＞b D b＞a＞c
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③比较实数大小的基本方法；④求函数值的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，结合问题条件得到f(x+1)= f(-x+1)，从而得到f(-x)= f(x+2)，f(-)=f(-+2)= f()，运用函数单调性的性质，得到函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递减，利用实数比较大小的基本方法求出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于Y轴对称，函数f(x+1)是偶函数， f(x+1)= f(-x+1)， f(-x)= f(x+2)， f(-)=f(+2)= f()，当＞＞1时，［f()-f()］.（-）＜0，恒成立，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递减，
1＜2＜＜3， b=f(2)＞a=f(-)= f()＞c=f(3)，D正确，选D。
2、已知函数f(x)= (2-ax)在（0,1）上是x的减函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②函数单调性的定义与判断方法；③对数函数的定义与性质；④运用函数单调性求函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】设g(x)=2-ax，根据对数函数的定义与性质得到a>0，且a1，从而可知函数g(x)在（0，1）上单调递减，根据复合函数单调性判断法则，结合问题条件得出函数f(g(x))在（0，1）上单调递增，运用对数的性质就可求出参数a的取值范围。
【详细解答】 a>0，且a1，函数g(x)在（0，1）上单调递减，函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，函数f(g(x))在（0，1）上单调递增，a>1，若函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）。
3、设函数f(x)=lg，若当x∈(-∞,1〕时，f(x)有意义，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④判断（或证明）函数单调性的基本方法；⑤运用函数单调性求函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】设g(x)= ，运用对数函数的定义与性质，结合问题条件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，从而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分离参数a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)= --，判断函数h(x) 在(-∞,1〕上的单调性，求出函数h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出参数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立， a>--在(-∞,1〕上恒成立，
设h(x)= --，函数h(x) 在(-∞,1〕上的单调递增，当x∈(-∞,1〕时，
= h(1)=- - =- ，a>-，当函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义时，实数a的取值范围是（-，+∞）。
4、求函数f(x)=2x-1- 的最大值；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】设t=，t［0，+），得到x=，从而得到 y=2-1-t=-（+2t+1）+6=-+6，运用一元二次函数求最值的基本方法就可求出函数y=2x-1- 的最大值。
【详细解答】设t=，t［0，+），x=， y=2-1-t=-（+2t+1）+6=-+6，函数y在［0，+）上单调递减，y=-+6，即函数y=2x-1- 的最大值为。
5、已知函数f(x)=（a-3）x+4a（x≥0）满足对任意的，都有＜0成立，（x＜0）则实数a的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②一元一次函数的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据对任意的，都有＜0成立，得到函数f(x)在R上单调递减，运用指数函数和一元一次函数的性质，得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】对任意的，都有＜0成立，函数f(x)在R上单调
递减，a-3＜0①，0＜a＜1②，联立①②解得：0＜a＜1，实数a的取值范围是（0，1）。
6、已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②数学赋值法及运用；③求解不等式组的基本方法。
【解题思路】根据数学赋值法和已知恒等式，得到2=1+1= f(3)+ f(3)= f(9)，f(x)+f(x-8)= f（x(x-8)）= f（-8x），运用函数单调性的性质得到关于x的不等式组，求解不等式组就可求出不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集。
【详细解答】 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, f(x)+f(x-8)= f（x(x-8)）= f（-8x），
2=1+1= f(3)+ f(3)= f(9)，不等式f(x)+f(x-8)≤2，等价于f（-8x）≤f(9)，函数 f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，-8x≤9①，x-8＞0②，x＞0③，联立①②③解得：8＜x≤9，不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集为（8,9］。
7、已知函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数，且f(x-1)＜f(1-3x)，求x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②求解不等式组的基本方法。
【解题思路】根据函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数，得到关于x的不等式组，求解不等式组就可求出x的取值范围。
【详细解答】函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数，f(x-1)＜f(1-3x)，x-1＜1-3x①，-1≤x-1≤1②，-1≤1-3x≤1③，联立①②③解得：0≤x＜，x的取值范围是［0，）。
『思考问题5』
（1）【典例5】中1是运用函数的单调性比较函数值的大小问题，解答这类问题的基本方法是：①确定自变量的大小，②运用函数的单调性比较函数值的大小；
（2）【典例5】中2，5是已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围的问题，解答这类问题基本方法是：①根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出参数的取值范围；
（3）【典例5】中4是运用函数的单调性求函数值域或最值的问题，解答这类问题的基本方法是：①运用函数的单调性求出函数在给定区间上的最值；②得出函数的值域（或最值）；
（4）【典例5】中6，7是已知函数的单调性，求不等式的解集的问题，解答这类问题的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于自变量的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出不等式的解集。
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)（x∈R）的图像如图所示，则 y |
函数g(x)=f(x) (0＜a＜1)的单调减区间 |
是（ ）（答案：A） 0 x
A （0，〕 B〔，1〕 C （-∞，0）∪〔，+∞） D 〔，〕
2、如果函数f(x)=a+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0 （答案：D）
3、已知函数f(x)= （2-a）x+1，x＜1，满足对任意，都有＞0成立， ，x1，那么实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值
范围是（1，2））
4、定义在R上的奇函数y=f(x)在（0，+∞）上单调递增，且f()=0，则满足f(x)＞0的x的集合为 ；（答案：满足f(x)的x的集合为（0，）。）
5、求函数f(x)= 的单调区间；（答案：函数f(x)在（0，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增）
6、求函数f(x)=x+2+的最值；（答案：函数f(x)的最大值为2+，无最小值）
7、函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
（1）求证：f(x)在R上是增函数；（提示：用定义法证明）
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。（答案：不等式f(+a-5)＜2的解集为（-3，2）。）
【雷区警示】
【典例6】解答下列问题：
1、求函数f(x)=的单调递减区间。
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的基
本方法。
【解题思路】根据二次根式和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结
合问题条件，就可求出函数f(x)的单调递减区间。
【详细解答】设g(x )=2-3x+1，作出函数g(x )的图像如图所示，函数f(x)的定义域为
（-，][1，+），由图知函数g(x ) y
在（-，]上单调递减，在[1，+）上
单调递增，函数f(g(x ))在（-，]，[1， 0 1 x
+）单调递增，函数f(x)的单调递减区间是（-，]。
2、已知函数f(x)是偶函数，且在（0，+）上是减函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。
【解析】
【知识点】①减函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据减函数和偶函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条
件，就可判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数。
【详细解答】函数f(x)在（-，0）上是增函数，证明：任取， （-，0），且<，则-，- （0，+），且-<-，函数f(x)在（0，+）上是减函数，f(-)>f(-)，函数f(x)是偶函数，f()=f(-)，f()=f(-)，f()>f()，函数f(x)在（-，0）上是增函数。
3、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A f(-25)【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③判断函数周期性的基本方
法。
【解题思路】根据奇函数和周期函数的性质，运用判断函数周期性的基本方法，结合问题
条件，得到函数函数f(x)是以8为周期的周期函数，从而判断出 f(-25)，f(11),，f(80) 的大
小关系就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，f(x)=-f(x+4)，f(x+4)=-f(x+8)，f(x)=f(x
+8)，函数函数f(x)是以8为周期的周期函数，函数f(x)是定义在R上的奇函数，
f(0)=0，f(x)=-f(x-4)=f(4-x)，函数f(x)的图像关于直线x=2对称，f(-25)=f(-1)，f(11)
=f(3)，f(80) =f(0) ，函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(3)=f(1)>f(0)，f(-1)『思考问题6』
（1）【典例6】是解答函数单调性问题时，容易触碰的雷区，该类问题常见的雷区主要是忽视函数的定义域，尤其是对函数解析式变形时，忽视函数解析式变形对函数定义域的影响，导致解答出现错误；
（2）解答函数单调性问题时，为避免忽视函数的定义域的雷区，一定注意问题涉及函数的
定义域，尤其是判断（或证明）复合函数单调性问题时，需要正确确定函数的定义域。
〔练习6〕解答下列问题：
3、 函数f(x)=|x|(1-x)的单调递增区间是（ ）（答案：B）
A （-，0） B [0，] C [0，+] D （，+）
2、已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）上是增函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。（答案:函数f(x)在（-，0）上是增函数，证明略）
【考题演练】
【典例7】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=+1，x≥1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断（或证明）函数单调性的基本方法；④求解不等式组的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和函数单调性的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)在R上是增函数，a>1①，2-a>0②，a+1≥2-a+2③,联立①②③
解得：≤a<2，若函数f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是[，2）,D正确，选D。
4、 已知函数f(x)=（m+4x+3），mR，若函数f(x)在区间[-1，+）上单调递
增，则m的取值范围为（ ）（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A （-，2] B [2，+） C （，2] D （0，2]
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②复合函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断（或证明）复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数，复合函数和对数函数的性质，运用判断（或证明）复合函数单调性的基本方法，结合问题条件确定出满足条件得到关于m的不等式组，求解不等式组求出m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设函数g(x)=m+4x+3，2>1，函数f(g(x))在定义域上单调递增，函数f(x)在区间[-1，+）上单调递增，函数g（x)在区间[-1，+）上单调递增，m>0①，-≤-1②，联立①②解得：03、下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ） （成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的性质，运用判断函数奇偶性和函数单调性的基本方法，对各选项函数的奇偶性和单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数 f(x)的定义域是 （-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)=-x-
=-（x+） =- f(x)，函数 f(x)是奇函数，但在定义域既有单调递减区间，也有单调递增区间，A错误；对B，函数 f(x)的定义域是R关于原点对称，，f(-x)=+=f(x)，函数 f(x)是偶函数，B错误；对C，函数 f(x)的定义域是R关于原点对称，f(-x)=-
=-（-）=-f(x)，函数 f(x)是奇函数，函数 f(x)是R上的增函数，C正确；对D，函数 f(x)的定义域是R关于原点对称，f(-x)=--2 -x=-（2+x ）=-f(x)，函数 f(x)是奇函数，函数 f(x)是R上的增函数， D正确， C，D正确，选C，D。
4、已知函数f(x)为定义在R的偶函数，在区间[0，+）上单调递减，且满足f(3)=0，则不等式<0的解集为 。（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，运用求解不等式的基本方法，结合问题条件
就可求出不等式<0的解集。 y
【详细解答】函数f(x)为定义在R的偶函数， f(x)
在区间[0，+）上单调递减，且满足f(3)=0，
作出函数f(x)的大致图像如图所示，不等 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
式<0，<0，自变量
x与函数f(x)的值异号，由图知-33，不等式<0的解集为（-3，0）（3，+）。
5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上单调递增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),则a，b，c的大小关系为（）（成都市高2023级2023-2024上期末调研考试）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③函数单调性定义与性质；④函数图像定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数，指数，函数单调性和函数图像的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，b=f(2)=f(1-)=f(1
+)=f(),c=f()=f(1-6)=f(1+6)=f(12),1<<<<2<3<12，函数f(x)在[1，+）上单调递增， c>a>b ，A正确，选A。
6、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较实数大小的基本方法，求出a，b，c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-，作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示，由图知函数g(x)在（-，1）上
单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正确，选A。
8、 设函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是（ ）（2023全国高
考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③判断复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，区间不等式求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)=x（x-a）=-ax，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（0，1）上单调递减，函数g(x)在（0，1）上单调递减，x=-=≥1，a≥2，即若函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是[2，+），D正确，选D。
8、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。
-1，09、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数零点定义与性质；③函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，结合问题条件作出函数f(x)的图像如图所示，对①，由函数图像得到函数f(x)在（5，6）上单调递增，从而得到函数f(x)在（-6，-5）上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点，由奇函数的性质得到函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，从而得到②错误；对③，设f(x)=t，由方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，得到t=0或t=1，当t=1时，根据图像f(x)=1只有一个根=2，由方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，由f(x)= ，结合函数图像得到+=2，=4，从而得到+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，由f(x)= -，结合函数图像得到+=-2，=-4，从而得到+++=2-2-4=-4，③错误；对④，由函数图像可知，当x[1，2]时，= f(2)=1，得到=1，从而得到数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；就可得出其中所有正确结论的编号。 -1，0【详细解答】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，作出函数f(x)的图像如图所示，对①，函数f(x)在 y
（5，6）上单调递增，函数f(x)在（-6，-5） 1
上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，
函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点， 0 1 2 3 4 5 6 x
函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，
②错误；对③，设f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，当t=1时，f(x)=1只有一个根=2，方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③错误；对④，当x[1，2]时，= f(2)=1，=1，数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；其中所有正确结论的编号是①④。
10、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考点】①正比例函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④幂函数的定义与性质。
【解题思路】根据正比例函数，指数函数，一元二次函数和幂函数的性质结合问题条件分别对各选项的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，-1<0， f(x)=-x是减函数，即A错误；对B，0< <1， f(x)=
是减函数，即B错误；对C，当x （- ，0）时，函数 f(x)= 是减函数，C错误；对D，>0，函数 f(x)= 是R上的增函数，D正确，选D。
11、下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）
A y= B y= C y= x D y=
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，对各选项中的函数在区间（0，+）上的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y= 在区间（0，+）上单调递增， A正确，选A。
12、已知函数f(x)=-ax在（-1,1）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A (1，+ ∞) B ［2，+∞） C (-∞，1］ D （-∞，2〕
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数单调性和一元二次函数的性质，得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的求值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=-ax在（-1,1）上单调递减，-=1，即a2， B正确，选B。
『思考问题7』
（1）【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷中关于函数单调性级运用的问题，归结起来主要包括：①求函数的单调区间；②判断（或证明）函数的单调性；③函数单调性的运用等几种类型；
（2）解答函数单调性级运用问题的基本方法是：①归结问题结构特征，判断问题所属类型；
②运用解答该类问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、函数f(x)=ln(-2x-8)的单调递增区间是（ ）（答案：D）
A (- ∞，-2) B (-∞,-1） C (1，+∞) D 〔4，+∞）
2、给定函数（1）y=，(2)y=(x+1)，(3)y=|x-1|，（4）y=其中在区间（0,1）上单调递减的函数序号是（ ）（答案：B）
A (1)(2) B (2)(3) C (3)(4) D (1)(4)
3、函数y=(2-3x+1)的单调递减区间为（ ）（答案：A）
A (1，+ ∞) B (-∞, 〕 C (，+∞) D 〔，∞〕
4、下列函数中，是奇函数且在（0，1］上单调递减的函数是（ ）（答案：B）
A y=-+2x B y=x+ C y=- D y=1-
5、若函数f(x)= +ax+在（，+∞）是增函数，则a的取值范围是（ ）（答案：B）
A 〔-1，0〕 B 〔-1，+∞） C 〔0，3〕 D 〔3，+∞)
6、能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2］都成立，则f(x)在（0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是 ；(答案：函数f(x)= ，)
7、已知函数f(x)= 2ax-1(x＞0)(a是常数且a＞0),对于下列命题：（1）函数f(x)在R上是 -2（x≤0），单调函数；（2）函数f(x)的最小值是-1；（3）若在〔,+
∞) 上f(x) ＞0恒成立，则a的取值范围是a＞1；（4）对任意＜0，＜0，且，
恒有＜其中正确命题的序号是 ；（答案：正确命题的
序号是（2），（3），（4）。）
8、已知定义域为R的奇函数f(x)=1-，a∈R。
（1）求a的值；
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数。
（答案：（1）a=2；（2）提示：任取，∈R ，且>，证明f() -f()＜0）