3.2.2函数的奇偶性与周期性 学案

函数的奇偶性与周期性
【考纲解读】
1、 理解奇函数，偶函数，函数奇偶性，周期函数和函数周期性的定义，掌握判断（或证明）
函数奇偶性和周期性的基本方法；
2、 能够运用函数的奇偶性和周期性解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数奇偶性的概念：
【问题】认真观察下列图像，回答后面的思考问题：
y y f(x)=
3 5
2 f(x)=2-|x| 4
1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 2
-1 1
-2 -3 -2 – 1 0 1 2 3 x
(1) (2)
y y
3 3 f(x)=
2 f(x)=x 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 -2
(3) (4)
『思考问题』
（1）【问题】中（1），（2）两个函数的共同特点是：①函数图像关于y轴对称；②当自变量x互为相反数时，函数值相等；
（2）【问题】中（3），（4）两个函数的共同特点是：①函数图像关于原点对称；②当自变量x互为相反数时，函数值也互为相反数数；
(3) 【问题】中四个函数的定义域的共同特点是关于原点对称。
1、奇函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=- f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的奇函数。
2、偶函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)= f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的偶函数；
3、函数的奇偶性的定义：
函数y=f(x)具有奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=f(x)的奇偶性。
4、理解函数奇偶性应注意的问题：
（1）函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以既不是奇函数又不是偶函数；但函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称；
（2）函数是奇函数的充分必要条件是函数的图像关于原点成中心对称图形；函数是偶函数充分必要条件是函数的图像关于y轴成轴对称图形；在定义域的公共部分内，两奇函数的积（商）为偶函数，两偶函数的积（商）为偶函数，一奇一偶函数的积（商）为奇函数（注意：两函数求商时，分母不能为零）；
（3）奇（偶）函数有关定义的等价形式：f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
二、判断（或证明）函数奇偶性的基本方法：
1、判断（或证明）函数奇偶性的常用方法：
(1) 判断（或证明）函数奇偶性的常用的方法有：①定义法；②图像法；
（2）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式，科优先考虑定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出），应优先考虑图像法。
2、用定义法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）运用定义法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：① 求函数的定义域，看是否关于原点对称；②验证f(x)与f(-x)之间的关系，③得出函数的奇偶性，若相等，则函数为偶函数；若互为相反数，则函数为奇函数；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是分段验证f(x)与f(-x)的关系（这里要注意的问题是验证f(-x)应该选用那一段的解析式）；
（3）如果问题涉及的函数是抽象函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是定义法，其中验证f(-x)与f(x)之间的关系时，采用赋值法，这里赋值的一般规律是注意问题的已知条件。
3、用图像法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）运用图像法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：①求函数的定义域，看是否关于原点对称；②作出函数的图像；③根据函数图像判断（或证明）函数的奇偶性，若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数；若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，用图像法判断（或证明）其奇偶性时，应先根据各段的解析式分别作出各段函数的图像，再依据图像的特征判断（或）证明函数的奇偶性。
三、函数奇偶性的性质：
1、奇函数具有如下性质：
（1）奇函数的定义域关于原点对称；
（2）如果函数f(x)是奇函数且数0在定义域内，则一定有f(0)=0成立；
（3）如果函数f(x)是奇函数，则有f(-x)=- f(x)恒成立；
（4）奇函数的图像关于原点对称；
（5）奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；
（6）在公共定义域内有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函数具有如下性质：
（1）偶函数的定义域关于原点对称，
（2）如果函数f(x)是偶函数，则有f(-x)= f(x)恒成立；
（3）偶函数的图像关于y轴对称；
（4）偶函数在对称的两个区间上的单调性相反；
（5）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定义域内有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
四、函数的周期性：
1、周期函数的概念：
（1） 周期函数的定义：设函数f(x)的定义域是M，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xM，都有f(x+T)= f(x)成立，则称函数f(x)是以T为周期的周期函数；这个非零常数T称为周期函数f(x)的一个周期；
（2）最小正周期的定义：在周期函数f(x)的所有周期中，如果存在一个最小的正数，则称
这个最小的正数是函数f(x)的最小正周期。
2、判断（或证明）函数周期性的基本方法：
（1）判断（或证明）函数的周期性的基本方法是定义法；
（2）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
3、周期函数的性质：
(1)若f(x)是周期函数，则其图像平移一个周期后， 其图像与前一个周期的图像重合；
（2）若函数f(x)的周期为T,则nT（nZ）也是函数f(x)的周期。
（3）对函数f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，则T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，则T=2a（a＞0）。
【探导考点】
考点1判断（或证明）函数的奇偶性：热点①已知函数解析式，判断（或证明）函数的奇偶性；热点②根据函数图像，判断（或证明）函数的奇偶性；热点③判断（或证明）函数的奇偶性；
考点2判断（或证明）函数的周期性：热点①已知函数解析式，判断（或证明）函数的周期性；热点②已知函数的图像，判断（或证明）函数的周期性；热点③已知函数满足某些条件，判断（或证明）函数的周期性；
考点3函数性质的综合运用：热点①函数奇偶性于单调性的综合问题；热点②函数奇偶性于周期性的综合问题；热点③函数奇偶性，单调性和周期性的综合问题。
【典例解析】
【典例1】:解答下列问题：
1、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
2、设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A f(x)+|g(x)|是偶函数Bf(x)-|g(x)|是奇函数C|f(x)|+g(x)是偶函数D|f(x)|-g(x)是奇函数
3、函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A f(x)是偶函数 B f(x)是奇函数 C f(x)= f(x+2) D f(x+3)是奇函数
4、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)对任意的x，y R都成立，且f(0) ≠0,则函数f(x)是 函数（填“奇”或“偶”）；
5、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ； （3）f(x)= +x ；
（4）f(x)= ； （5）f(x)=（x-1）； （6）f(x)= ；
（7） f(x)= ； （8）f(x)= xlg(x+ )； x+2 ，(x＜-1），
（9）f(x)=+x ，(x＜0) ； （10）f(x)= 0 ，(|x|≤1)。
- +x ，（x＞0） -x+2 ，(x＞1)，
6、已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求证：函数f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
7、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断（或证明）函数奇偶性的问题，解答这类问题需要理解奇函数和偶函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；
(2) 判断（或证明）函数奇偶性的常用的方法有：①定义法；②图像法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式时，应采用 法，
如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）时，应采用 法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段进行验证。
〔练习1〕解答下列问题：
1、判断下列函数的奇偶性： x+1， (x＞0)
（1）y=2-3； （2）y=lg(1+)； （3）y= 1 ， (x=0) ；
（4）f(x)= 2+3 （5）f(x)= -2x -x+1 ，(x＜0
（6）f(x)= （7）f(x)= +1
2、下列函数是偶函数的是（ ）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x∈［0,1］
3、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，则g(1)等于（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
4、函数f(x)= (xR)与g(x)=lg|x-2|分别为 函数和 函数（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）
5、证明函数f(x)= (a＞1)是奇函数；
6、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，试证明函数f(x)是偶函数；
7、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，把下列函数图像补充完整。
Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x
【典例2】解答下列问题：
1、已知偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，则满足f(2x-1)＜f()的x的取值范围是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
2、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= ；
3、设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)的值为 ；
4、设函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ；
5、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
6、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f(a) f(2)，求实数a的取值范围；
7、已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；
8、已知奇函数f(x)在〔a，b〕上是减函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
9、已知偶函数g(x)在〔a，b〕上是增函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
10、函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，且当x (0,+∞)时是增函数，若f(1)=0,求不等式
f〔x(x-)〕＜0的解集；
11、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)=-2x+2，求函数f(x)的解析式；
12、已知函数f(x)= -。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）函数f(x)的图像关于 对称；
（3）证明函数f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（4）证明函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
13、已知函数f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a R)。
（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，比较f(1)和的大小。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性的应用问题，解答这类问题需要理解奇函数和偶函数的定义，掌握奇函数和偶函数的性质，注意弄清楚问题与奇函数（或偶函数）的哪一个性质相关；
（2）函数奇偶性的应用问题主要包括：①已知函数的奇偶性，求函数的解析式；②已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数的奇偶性，求函数的解析式问题的基本方法是：①运用函数的奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式；②利用函数奇偶性中f(-x)与f(x)的关系式求出所求函数的解析式；
（4）解答已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是待定系数法，运用f(-x) f(x)=0得到关于参数的恒等式，利用系数的对等性求出参数的值（或取值范围）；
（5）运用函数奇偶性解答问题必须注意性质的条件与结论，只有性质的条件满足时，才能得到相应性质的结论。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)= +x+1，求函数f(x)的解析式；
2、若函数f(x)= 为奇函数，则a= ；
3、已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
4、设偶函数f(x)的定义域为R，当x ［0，+∞）时，f(x)是增函数，则f(-2),f()，f(-3)的大小关系是（ ）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
5、已知函数f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，则f(-d)= ；
6、设奇函数的定义域为［-6,6］，若当x∈［0,6］时，
f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0 y
的解集是 ； -6 -3 0 3 6 x
7、已知奇函数f(x)在定义域〔-1，1〕上为增函数，则不等式f()+f(x-1)＞0的解集为 ；
8、已知f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数且过点（-1,3），g(x)=f(x-1)，则f(2012)+g(2013)= 。
9、已知函数f(x)= (a＞1)。
①判断函数f(x)的奇偶性； ②求f(x)的值域。
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，函数g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)= f(x-
1)，则f(2017)+f(2019)的值为（ ）
A -1 B 1 C 0 D 无法计算
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=- ，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-105.5)= ；
3、设函数f(x)在R 上满足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判断函数f(x)是不是周期数；
4、判断下列函数是不是周期函数：
（1）f(x)=sinx （2）f(x)=tanx (x≠k+，k∈Z)
『思考问题3』
（1）【典例3】是判断（或证明）函数周期性的问题，解答这类问题需要理解周期函数的定
义，掌握判断（或证明）函数周期性的基本方法；
（2）判断（或证明）函数周期性的基本方法是定义法；
（3）运用定义法判断（或证明）函数的周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证
f(x+T)与f(x)的值是否相等；③得出函数的周期性，若f(x+T)与f(x)的值相等，则函数f(x)
是以T为周期的周期函数；若f(x+T)与f(x)的值不相等，则函数f(x)不是周期函数；
（4）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习3〕解答下列问题：
1、判断下列函数是不是周期函数：
（1）、f(x)=cosx (2)f(x)=cotx (x≠k，k∈Z)
2、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3 x ＜-1时，f(x)= -，当-1x ＜
3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；
3、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(105.5)= 。
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
2、函数f(x)=lg(a+ )为奇函数，则实数a= ；
3、设f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2，则f(-1)= ；
4、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 ； ，0x 1，
5、定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且当x 〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，给出下列四个命题：（1）f(2)=0；（2）x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴；（3）函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的两根为，，则+=-8。其中正确命题的序号为 ；
6、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)= (2-x) (a＞0，且a不等于1)。
（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数单调性，奇偶性与周期性综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数单调性，奇偶性和周期性的综合问题关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处有意义，则有f(0)=0.
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)= +3x+2，若当x［1，3］时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为 ；
2、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函数，则a= ；
3、奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，且是以2为周期的周期函数，在区间〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函数f(x)在区间〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求矩形面积S的最大值。
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题：
1、设函数f(x)在（-，+）内有定义，下列函数①y=-|f(x)|；②y=xf()；③y=-f(x)；④y=f(x)-f(-x)中，必为奇函数的有 （要求填写正确答案的序号）
2、已知函数f(x)是偶函数，且在（0，+）上是减函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。
3、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A f(-25)『思考问题5』
（1） 【典例5】是解答函数奇偶性问题时，容易触碰的雷区，该类问题常见的雷区主要
忽视函数奇偶性（或周期性）的正确判断，导致解答问题出现错误；
（2）解答函数奇偶性问题时，为避免忽视函数奇偶性和周期性的正确判断的雷区，一定注
意正确判断问题涉及函数的奇偶性（或周期性），尤其是分段函数奇偶性的判断（或证明）问题需要特别重视-x所属的区间。
〔练习5〕解答下列问题：
1、定义域为R的四个函数y=，y=，y=+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：C）
2、已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）上是增函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。（答案:函数f(x)在（-，0）上是增函数，证明略）
3、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-106.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【考题演练】
【典例6】解答下列问题：
1、 著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般
好，隔离分家万事休”如函数f(x)=的图像大致是（ ）（成都市高2023级2023
-2024上期末调研考试）
2、函数f(x)=2x|x|-2x+的部分图像大致为（ ）（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
3、下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ） （成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
4、 已知函数 f(x)的定义域为R，且满足以下三个条件：①f(-x)+f(x)=0；② f(x)=f(2-x)；
③f(1)=2，则下列说法正确的有（ ）（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A 函数 f(x)的图像关于直线x=-1轴对称 B 函数 f(x)的图像关于点（2，0）中心对称 C f(x+4)=f(x) D f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=10
5、若y=+ax+sin(x+)为偶函数，则a= （2023全国高考甲卷）
6、已知函数f(x)= 是偶函数，则a=（ ）（2023全国高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
7、若f(x)=（x+a）ln是偶函数，则a=( )(2023全国高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
8、若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且当x[0,1]时，f(x)=，则f(23)=（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A -1 B - C 0 D
9、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
10、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
11、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
12、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷中关于函数奇偶性及运用的问题，归结起来主要包括：①判断（或证明）函数的奇偶性；②判断（或证明）函数的周期性；③函数性质的综合运用等几种类型；
（2）解答函数单调性级运用问题的基本方法是：①归结问题结构特征，判断问题所属类型；
②运用解答该类问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
2、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
3、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
4、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
5、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
6、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）
8、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像
关于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标III）
9、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，f(2)=0，则满足x f(x-1) ≥0的x的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A [-1,1]∪[3，+∞) B [-3,-1]∪[0,1] C [-1,0]∪[1，+∞) D [-1,0] ∪[1，3]
10、已知函数f(x)= 是奇函数，则实数a的值为 （2019成都市高三一诊）
函数的奇偶性与周期性
【考纲解读】
3、 理解奇函数，偶函数，函数奇偶性，周期函数和函数周期性的定义，掌握判断（或证明）
函数奇偶性和周期性的基本方法；
4、 能够运用函数的奇偶性和周期性解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数奇偶性的概念：
【问题】认真观察下列图像，回答后面的思考问题：
y y f(x)=
3 5
2 f(x)=2-|x| 4
1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 2
-1 1
-2 -3 -2 – 1 0 1 2 3 x
(1) (2)
y y
3 3 f(x)=
2 f(x)=x 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 -2
(3) (4)
『思考问题』
（1）【问题】中（1），（2）两个函数的共同特点是：①函数图像关于y轴对称；②当自变量x互为相反数时，函数值相等；
（2）【问题】中（3），（4）两个函数的共同特点是：①函数图像关于原点对称；②当自变量x互为相反数时，函数值也互为相反数数；
(3) 【问题】中四个函数的定义域的共同特点是关于原点对称。
1、奇函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=- f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的奇函数。
2、偶函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)= f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的偶函数；
3、函数的奇偶性的定义：
函数y=f(x)具有奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=f(x)的奇偶性。
4、理解函数奇偶性应注意的问题：
（1）函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以既不是奇函数又不是偶函数；但函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称；
（2）函数是奇函数的充分必要条件是函数的图像关于原点成中心对称图形；函数是偶函数充分必要条件是函数的图像关于y轴成轴对称图形；在定义域的公共部分内，两奇函数的积（商）为偶函数，两偶函数的积（商）为偶函数，一奇一偶函数的积（商）为奇函数（注意：两函数求商时，分母不能为零）；
（3）奇（偶）函数有关定义的等价形式：f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
二、判断（或证明）函数奇偶性的基本方法：
1、判断（或证明）函数奇偶性的常用方法：
(1) 判断（或证明）函数奇偶性的常用的方法有：①定义法；②图像法；
（2）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式，科优先考虑定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出），应优先考虑图像法。
2、用定义法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）运用定义法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：① 求函数的定义域，看是否关于原点对称；②验证f(x)与f(-x)之间的关系，③得出函数的奇偶性，若相等，则函数为偶函数；若互为相反数，则函数为奇函数；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是分段验证f(x)与f(-x)的关系（这里要注意的问题是验证f(-x)应该选用那一段的解析式）；
（3）如果问题涉及的函数是抽象函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是定义法，其中验证f(-x)与f(x)之间的关系时，采用赋值法，这里赋值的一般规律是注意问题的已知条件。
3、用图像法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）运用图像法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：①求函数的定义域，看是否关于原点对称；②作出函数的图像；③根据函数图像判断（或证明）函数的奇偶性，若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数；若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，用图像法判断（或证明）其奇偶性时，应先根据各段的解析式分别作出各段函数的图像，再依据图像的特征判断（或）证明函数的奇偶性。
三、函数奇偶性的性质：
1、奇函数具有如下性质：
（1）奇函数的定义域关于原点对称；
（2）如果函数f(x)是奇函数且数0在定义域内，则一定有f(0)=0成立；
（3）如果函数f(x)是奇函数，则有f(-x)=- f(x)恒成立；
（4）奇函数的图像关于原点对称；
（5）奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；
（6）在公共定义域内有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函数具有如下性质：
（1）偶函数的定义域关于原点对称，
（2）如果函数f(x)是偶函数，则有f(-x)= f(x)恒成立；
（3）偶函数的图像关于y轴对称；
（4）偶函数在对称的两个区间上的单调性相反；
（5）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定义域内有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
四、函数的周期性：
1、周期函数的概念：
（1） 周期函数的定义：设函数f(x)的定义域是M，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xM，都有f(x+T)= f(x)成立，则称函数f(x)是以T为周期的周期函数；这个非零常数T称为周期函数f(x)的一个周期；
（2）最小正周期的定义：在周期函数f(x)的所有周期中，如果存在一个最小的正数，则称
这个最小的正数是函数f(x)的最小正周期。
2、判断（或证明）函数周期性的基本方法：
（1）判断（或证明）函数的周期性的基本方法是定义法；
（2）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
3、周期函数的性质：
(1)若f(x)是周期函数，则其图像平移一个周期后， 其图像与前一个周期的图像重合；
（2）若函数f(x)的周期为T,则nT（nZ）也是函数f(x)的周期。
（3）对函数f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，则T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，则T=2a（a＞0）。
【探导考点】
考点1判断（或证明）函数的奇偶性：热点①已知函数解析式，判断（或证明）函数的奇偶性；热点②根据函数图像，判断（或证明）函数的奇偶性；热点③判断（或证明）函数的奇偶性；
考点2判断（或证明）函数的周期性：热点①已知函数解析式，判断（或证明）函数的周期性；热点②已知函数的图像，判断（或证明）函数的周期性；热点③已知函数满足某些条件，判断（或证明）函数的周期性；
考点3函数性质的综合运用：热点①函数奇偶性于单调性的综合问题；热点②函数奇偶性于周期性的综合问题；热点③函数奇偶性，单调性和周期性的综合问题。
【典例解析】
【典例1】:解答下列问题：
1、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各选项中函数的奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=的定义域为R关于原点对称，=，函数y=是偶函数，A错误；对B，函数y=x+的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，-x-=-（x+），函数y= x+是奇函数，B错误；对C，函数y=+ 的定义域为R，关于原点对称，+=+，函数y=+ 是偶函数，C错误；对D，函数y= x+ 的定义域为R关于原点对称，-x+ =-x+ x+ ，-x+ =-x+ -( x+ )， 函数y= x+ 既不是奇函数，也不是偶函数，D正确， 选D。
2、设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A f(x)+|g(x)|是偶函数Bf(x)-|g(x)|是奇函数C|f(x)|+g(x)是偶函数D|f(x)|-g(x)是奇函数
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的结论进行判断就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数， f(-x)= f(x)，g(-x)=- g(x)，对A， f(-x)+|g(-x)|= f(x)+|-g(x)|= f(x)+|g(x)|，f(x)+|g(x)|是偶函数， A正确，选A。
3、函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A f(x)是偶函数 B f(x)是奇函数 C f(x)= f(x+2) D f(x+3)是奇函数
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各选项中函数的奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数， f(-x+1)=- f(x+1)，f(-x-1)=- f(x-1)，
f(x) =-f(-x+2)， f(x) =-f(-x-2)， f(x+2)= (x-2)， f(x)= f(x+4)， f(x+3)=
f(x-1)=- f(-x+3)，函数f(x+3)是奇函数，D正确， 选D。
4、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)对任意的x，y R都成立，且f(0) ≠0,则函数f(x)是 函数（填“奇”或“偶”）；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③抽象函数的定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数，奇函数和抽象函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，就可判断函数f(x)的奇偶性。
【详细解答】,令x=y=0， f(0+0)+f(0-0)=2 f(0)=2f(0).f(0)，2f(0)[f(0)-1]=0， f(0) ≠0, f(0)=1，令x=0，y=x，f(0+x)+f(0-x)=2f(x).f(0)， f(x)+f(-x)=2f(x)， f(-x)=f(x)，函数f(x)是偶函数。
5、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ； （3）f(x)= +x ；
（4）f(x)= ； （5）f(x)=（x-1）； （6）f(x)= ；
（7） f(x)= ； （8）f(x)= xlg(x+ )；
（9）f(x)=+x ，(x＜0) ； （10）f(x)= x+2 ，(x＜-1），
- +x ，（x＞0） 0 ，(|x|≤1)。
【解析】 -x+2 ，(x＞1)，
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各小题中函数的奇偶性进行判断就可判断断函数f(x)的奇偶性。
【详细解答】（1）函数 f(x)= 的定义域为R关于原点对称，f(-x)= = = f(x)，
函数f(x)是偶函数；（2）函数 f(x)= 的定义域为R关于原点对称，f(-x)= = -= -f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）函数 f(x)= +x的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，f(-x)=-x-=-（x+）=-f(x)，函数f(x)= x+是奇函数；（4）函数 f(x)= 的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，f(-x)=== f(x)，函数f(x)= 是偶函数；（5）函数 f(x)= （x-1）的定义域为[-1，1）关于原点不对称，函数f(x)= （x-1）不具有奇偶性；（6）函数f(x)= 的定义域为（-1，0）（0，1）关于原点对称，f(-x)= == f(x)，函数f(x)= 是偶函数；（7）函数f(x)= 的定义域为[-2，0）（0，2]关于原点对称，f(-x)= == f(x)，f(-x)=
=-=- f(x)，函数f(x)= 不具有奇偶性；（8）函数f(x)=
xlg(x+ )的定义域为R关于原点对称，f(-x)=-x lg(-x+ )=-xlg(-x
+)=-xlg=-xlg= xlg(x+ )= f(x)，
函数f(x)= xlg(x+ )是偶函数；（9）函数f(x) 的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，①当x（-∞，0）时，-x（0，+∞），f(-x)=- -x=--x=-（+x）=- f(x)，②当x（0，+∞）时，-x（-∞，0），f(-x)=-x=-x=-（-+x）=- f(x)，函数f(x)是奇函数；（10）函数f(x) 的定义域为R关于原点对称，①当x（-∞，0）时，-x（0，+∞），f(-x)=-x+1= f(x)，②当x=0时，-x=0，f(-x)=1= f(x)，③当x（0，+∞）时，-x（-∞，0），f(-x)=-（-x）+1=x+1= f(x)，函数f(x)是偶函数。
6、已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求证：函数f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）根据问题条件可知，函数的定义域为R关于原点对称，判断（或证明）函数的奇偶性，只需验证f(-x)与 f(x)的关系，这里怎样赋值是解答问题的关键，注意问题的条件函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，得出f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),从而有f(x)+f(-x)=f(0)=0，于是问题得到解决；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，从而得到f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，得到f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，令x=y=6，得到f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=-2a-2a=-4a，
【详细解答】（1）函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0)=0，函数f(x)是奇函数；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6， f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
7、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数定义域的定义与求法；②复合函数的定义与性质；③分式的定义与性质；④对数函数的定义与性质；⑤复合函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）由函数f(x)有意义的条件得到 >0，解这个不等式就可以得到函数f(x)的定义域；（2）由（1）可知函数f(x)的定义域为（-1，1）关于原点对称，只需证明f(-x)=-f(x)就可证明结论；（3）设g(x)= ，根据证明复合函数单调性的基本方法，先判断函数g(x)在（-1，1）上的单调性，运用复合函数单调性的判断法则得出函数f(x)的单调性（注意底数a的两种可能情况）；（4）根据底数a的两种可能情况分别进行解答，就可求出使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有 >0，-1=-=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）设g(x)= ，任取， （-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1时，函数f（g(x)）在（-1，1）上单调递增，函数f(x)在（-1，1）上单调递增；
（4）①当01时， f(x)＞0，>1，01时， f(x)＞0时，x的取值范围是（0，1）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断（或证明）函数奇偶性的问题，解答这类问题需要理解奇函数和偶函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；
(2) 判断（或证明）函数奇偶性的常用的方法有：①定义法；②图像法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式时，应采用 法，
如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）时，应采用 法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段进行验证。
〔练习1〕解答下列问题：
1、判断下列函数的奇偶性： x+1， (x＞0)
（1）y=2-3； （2）y=lg(1+)； （3）y= 1 ， (x=0) ；
（4）f(x)= 2+3 （5）f(x)= -2x -x+1 ，(x＜0
（6）f(x)= （7）f(x)= +1
（答案：（1）函数f(x)是偶函数；（2）函数f(x)是偶函数；（3）函数f(x)是偶函数；（4）函数f(x)是偶函数；（5）函数f(x)是奇函数；（6）函数f(x)是奇函数；（7）函数f(x)是偶函数.）
2、下列函数是偶函数的是（ ）（答案：B）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x∈［0,1］
3、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，则g(1)等于（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：B）
4、函数f(x)= (xR)与g(x)=lg|x-2|分别为 函数和 函数（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）（答案：奇，非奇非偶）
5、证明函数f(x)= (a＞1)是奇函数；（提示：运用定义法进行证明）
6、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，试证明函数f(x)是偶函数；（提示：运用定义法和赋值法进行证明）
7、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，把下列函数图像补充完整。
Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x
【典例2】解答下列问题：
1、已知偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，则满足f(2x-1)＜f()的x的取值范围是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，结合问题条件得到关于x的绝对值不等式，求解绝对值不等式得出x的取值范围就可求出选项。
【详细解答】偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，且f(2x-1)＜f()，|2x-1|＜，
2、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= ；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)
(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
3、设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)的值为 ；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质，结合问题条件得到关于f(1)+f(2)的方程，求解方程就可求出f(1)+f(2)的值。
【详细解答】函数y=f(x)是奇函数， f(-2)+f(-1)=- f(2)-f(1)， f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，2[f(1)+f(2)]=-6，f(1)+f(2)=-3。
4、设函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ；
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】由f(x)= =1+，设g(x)= ，根据判断函数奇偶性的基本方法判断函数g(x)是奇函数，运用奇函数的性质得到函数g(x)的最大值与最小值的和为0，从而求出M+m的值。
【详细解答】 f(x)= =1+，设g(x)= ，对函数g(x)定义域为R关于原点对称，g(-x)= = =- g(x)，函数g(x)是奇函数，+=0，M==1+，m==1+，
M+m=1++1+=2++=2。
5、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出当x<0时，函数f(x)的解析式，运用判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)的单调性，利用函数单调性得到关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x+2) ＜5的解集。
【详细解答】设x<0，则-x>0，函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x， f(x)= f(-x)= -4（-x）=+4x， f(x)= -4x，x0，函数f(x)在（-∞，
+4x，x<0，-2），（0，2）上单调递减，在（-2，0），（2，+∞）上单调递增， f(-5)= f(5)=25-45=5， f(x+2) ＜5
|x+2|<5，-76、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f(a) f(2)，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到关于a的不等式，运用求解不等式的基本方法求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)是定义域为R的偶函数，在（-∞，0）上是减函数，f(a) f(2)，
|a|2，a-2或a 2，若f(a) f(2)，则实数a的取值范围是（-∞，-2][2，+∞）。
7、已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③证明函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到f() ，f()的大小关系，运用证明函数单调性的基本方法就可证明函数f(x)在（-∞，0）上是增函数。
【详细解答】证明：任取， (0,+∞)，且＜，函数f(x)在（0，+∞）上是减函数，f()＞f()，-，-（-∞，0），且-＜-，函数f(x)是偶函数， f(-)=f()，f(-)=f()， f(-)＞f(-)，函数f(x)在（-∞，0）上是增函数。
8、已知奇函数f(x)在〔a，b〕上是减函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到f() ，f()的大小关系，运用判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)在（-b，-a）上是减函数。
【详细解答】任取， (a，b)，且＜，函数f(x)在（a，b）上是减函数，f()＞f()，-，-（-b，-a），且-＜-，函数f(x)是奇函数， f(-)=-f()，f(-)=-f()， f(-)＜f(-)，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
9、已知偶函数g(x)在〔a，b〕上是增函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③证明函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到f() ，f()的大小关系，运用证明函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)在（-b，-a）上是减函数。
【详细解答】任取， (a,b)，且＜，函数f(x)在（a，b）上是增函数，f()＜f()，-，-（-b，-a），且-＜-，函数f(x)是偶函数， f(-)=f()，f(-)=f()， f(-)＜f(-)，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
10、函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，且当x (0,+∞)时是增函数，若f(1)=0,求不等式
f〔x(x-)〕＜0的解集；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，运用求解不等式的基本方法求解不等式就可求出不等式f〔x(x-)〕＜0的解集。
【详细解答】函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，当x (0,+∞)时是增函数，f(1)=0, f〔x(x-)〕＜0，0 ＜x(x-)＜1，或x(x-)＜-1， ＜x＜0，或＜x＜，或，不等式f〔x(x-)〕＜0的解集为（，0）（，）。
11、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)=-2x+2，求函数f(x)的解析式；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是奇函数，运用奇函数的性质，就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，函数f(x)是奇函数， f(0)=0，设x<0，则-x>0，当x＞0时，f(x)=-2x+2， f(x)=- f(-x)=-[
-2（-x）+2=+2x+2， f(x)= -2x+2，x＞0，
0， x=0，
+2x+2，x<0。
12、已知函数f(x)= -。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）函数f(x)的图像关于 对称；
（3）证明函数f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（4）证明函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
【解析】
【知识点】①函数奇偶性的定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③函数单调性的定义与性质；④判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，就可判断函数f(x)的奇偶性；（2）根据偶函数的性质就可得到函数f(x)的图像关于Y轴对称；（3）根据证明函数单调性的基本方法就可证明函数f(x)在（0，+∞）上是增函数；（4）根据证明函数单调性的基本方法就可证明函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
【详细解答】（1）函数f(x) = -的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，f(-x) = - = -= f(x)，函数f(x)是偶函数；（2）由（1）知函数f(x)是偶函数，函数f(x)的图像关于Y轴对称；（3）证明：任取， (0,+∞)，且＜， f()
-f()=-+==＜0，函数f(x) 在（0，+∞）上是增函数；（4）函数f(x)是偶函数，函数f(x) 在（0，+∞）上是增函数，函数f(x) 在)在（-∞，0）上是减函数。
13、已知函数f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a R)。
（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，比较f(1)和的大小。
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③减函数的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（1）运用奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到关于函数g(x)，h(x)的方程组，求解方程组就可求出函数g(x)和h(x)的解析式；（2根据减函数的性质，奇函问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围；（3）求出f(1)，利用判断函数单调性的基本方法判断f(1)关于a的函数在区间[-，-1）的单调性，求出f(1) 在区间[-，-1）上的最小值，借助于比较实数大小的基本方法就可得出结果。
【详细解答】（1） f(x)= g(x)+ h(x)=+(a+1)x+lg|a+2|①，g(x)是奇函数，h(x)是偶函数， f(-x)= g(-x)+ h(-x)=- g(x)+ h(x)=-(a+1)x+lg|a+2|②，联立①②解得：g(x)= (a+1)x， h(x)
=+ lg|a+2|；（2） f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，-
①，a≠-2②，a+1<0③，联立①②③解得：- a<-1；（3） f(1)=1+a+1+lg|a+2|
=2+a+ lg|a+2|，设M（a）= f(1)= a+2+ lg|a+2|， 函数M（a）= f(1)在区间[-，-1）上单调递增，== M（-）=-+2+lg|-+2|=+lg=+ lg >+ lg =-=， f(1)> 。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性的应用问题，解答这类问题需要理解奇函数和偶函数的定义，掌握奇函数和偶函数的性质，注意弄清楚问题与奇函数（或偶函数）的哪一个性质相关；
（2）函数奇偶性的应用问题主要包括：①已知函数的奇偶性，求函数的解析式；②已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数的奇偶性，求函数的解析式问题的基本方法是：①运用函数的奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式；②利用函数奇偶性中f(-x)与f(x)的关系式求出所求函数的解析式；
（4）解答已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是待定系数法，运用f(-x) f(x)=0得到关于参数的恒等式，利用系数的对等性求出参数的值（或取值范围）；
（5）运用函数奇偶性解答问题必须注意性质的条件与结论，只有性质的条件满足时，才能得到相应性质的结论。
〔练习2〕解答下列问题：
1、 已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)= +x+1，求函数f(x)的解析式；
（答案： +x+1，x＞0,
f(x)= 0， x=0）
-+x-1，x<0,
2、若函数f(x)= 为奇函数，则a= ；（答案：a=-1。）
3、已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=（ ）（答案：B）
A -1 B 0 C 1 D 2
4、设偶函数f(x)的定义域为R，当x ［0，+∞）时，f(x)是增函数，则f(-2),f()，f(-3)的大小关系是（ ）（答案：A）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
5、已知函数f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，则f(-d)= ；（答案：f(-d)=-26）
6、设奇函数的定义域为［-6,6］，若当x∈［0,6］时，
f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0 y
的解集是 ； -6 -3 0 3 6 x
（答案：不等式f(x)＜0的解集是（-3，0）（3，6）。）
7、已知奇函数f(x)在定义域〔-1，1〕上为增函数，则不等式f()+f(x-1)＞0的解集为 ；
（答案：不等式f()+f(x-1)＞0的解集为（，1）。）
8、已知f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数且过点（-1,3），g(x)=f(x-1)，则f(2012)+g(2013)= 。（答案：f(2012)+g(2013)=-6）
9、已知函数f(x)= (a＞1)。
（1）判断函数f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的值域。
（答案：（1）函数f(x)是奇函数；（2）f(x)的值域为（-1，1）。）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，函数g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)= f(x-
1)，则f(2017)+f(2019)的值为（ ）
A -1 B 1 C 0 D 无法计算
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③奇函数的定义
与性质；④偶函数的定义与性质。
【解题思路】运用奇函数和偶函数的性质，结合问题条件，得到f(x- 1)=- f(x-+1)，根据
判断函数是周期函数的基本方法得出函数f(x)是以4为周期的周期函数，f(2017)= f(504
4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)= f(-1)，利用奇函数的性质，结合问题条件
求出f(1)的值就可得出选项。
【详细解答】 g(x)= f(x-1)， g(-x)= f(-x-1)，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
函数g(x)是定义在R 上的奇函数， g(-x)=- g(x)，f(-x)= f(x)， f(x- 1)=- f(x+1)，
f(x)=-f(x+2)，f(x+2)=- f(x+4)， f(x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函
数， f(2017)= f(504 4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)= f(-1)， g(0)=
f(0-1)= f(-1)= f(1)=0， f(2017)+f(2019)= f(1)+ f(-1)=0+0=0，C正确，选C。
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=- ，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-105.5)= ；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③偶函数的定义
与性质。
【解题思路】运用判断函数是周期函数的基本方法，结合问题条件，得出函数f(x)是以4
为周期的周期函数，f(-105.5)= f(-426-1.5)= f(-1.5)，利用函数f(x)是定义在R 上的
偶函数，结合问题条件求出f(-1.5)的值就可求出f(-105.5)的值。
【详细解答】 f(x+2)=- ， f(x)=- ， f(x+2)=- ，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(-105.5)= f(-426-1.5)= f(-1.5)，
函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当2 x 3时，f(x)=x， f(-105.5)= f(-1.5)
= f(1.5)= f(-4+1.5)= f(-2.5)= f(2.5)=2.5。
3、设函数f(x)在R 上满足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判断函数f(x)是不是周期数；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】运用问题条件，得出f(x+4)= f(x+14)，从而得到f(x)= f(x+10)，根据判断
函数是周期函数的基本方法就可得出函数f(x)是以10为周期的周期函数。
【详细解答】 f(2-x)=f(2+x)， f(x)= f(4-x)， f(7-x)=f(7+x)， f(x)= f(14-x)，
f(4-x)= f(14-x)，f(4+x)= f(14+x)， f(x)= f(x+10)，函数f(x)是以10为周期的周期函数。
4、判断下列函数是不是周期函数：
（1）f(x)=sinx （2）f(x)=tanx (x≠k+，k∈Z)
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③正弦三角函数
的定义与性质；④正切三角函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据正弦三角函数和周期函数的性质，运用判断函数是否是周期函数的基
本方法就可得出函数f(x)=sinx 是以2为周期的周期函数；（2）根据正切三角函数和周期
函数的性质，运用判断函数是否是周期函数的基本方法就可得出函数f(x)= tanx (x≠k+
，k∈Z)是以为周期的周期函数。
【详细解答】（1） f(2+x)=sin（2+x ）= sinx= f(x)，函数f(x)=sinx 是以2
为周期的周期函数；（2） f(+x)=tan（+x ）= tanx= f(x)，函数f(x)=tanx 是
以为周期的周期函。
『思考问题3』
（1）【典例3】是判断（或证明）函数周期性的问题，解答这类问题需要理解周期函数的定
义，掌握判断（或证明）函数周期性的基本方法；
（2）判断（或证明）函数周期性的基本方法是定义法；
（3）运用定义法判断（或证明）函数的周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证
f(x+T)与f(x)的值是否相等；③得出函数的周期性，若f(x+T)与f(x)的值相等，则函数f(x)
是以T为周期的周期函数；若f(x+T)与f(x)的值不相等，则函数f(x)不是周期函数；
（4）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习3〕解答下列问题：
1、判断下列函数是不是周期函数：
（1）、f(x)=cosx (2)f(x)=tanx (x≠k+，k∈Z)
(答案：（1）函数f(x)是以2为周期的周期函数；（2）函数f(x)是以为周期的周期函数)
2、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3 x ＜-1时，f(x)= -，当-1x ＜
3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；
（答案：f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)=336。）
3、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(105.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③分式不等式的解法。
【解题思路】运用周期函数和偶函数的性质，结合问题条件，得出f(5)= f(-23+5)= f(-1)
= f(1)，从而得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数， f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-12、函数f(x)=lg(a+ )为奇函数，则实数a= ；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③求解方程的基本方法。
【解题思路】运用奇函数和对数函数的性质，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程
就可求出实数a的值。
【详细解答】函数f(x)=lg(a+ )为奇函数， f(-x)=lg(a+ )=- f(x)=-lg(a+ )
=lg ，=，a=-1。
3、设f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2，则f(-1)= ；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件，求出函数
f(x)在区间［-1,1）的解析式就可求出f(-1)的值。
【详细解答】设x ［-1,1），则x+2 ［1,3）， f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2， f(x)= f(x+2)=x+2-2=x， x ［-1,1）时，f(x)=x， f(-1)=-1。
4、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 ； ，0x 1，
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求解方程组的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质，结合问题条件，得到f()=f()=f(-2+)= f(-)，f(1)
= f(-2+1)= f(-1)，从而得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，就可求出a+3b
的值。
【详细解答】 f(x)是定义在R上且周期为2的函数，f()=f()， f(1)= f(-2+1)= f(-1)，
f()=f()=f(-2+)= f(-)，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b
-a+1=， a=2， ，0x 1，∈R，
=-a+1， b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
5、定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且当x 〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，给出下列四个命题：（1）f(2)=0；（2）x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴；（3）函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的两根为，，则+=-8。其中正确命题的序号为 ；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②减函数的定义与性质；③周期函数的定义与性质；④
判断函数是周期函数的基本方法；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件求出f(2)的值，得到函数f(x)是以4为周期
的周期函数，利用判断命题真假的基本方法对各结论的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，当x=-2时，f（-2+4）
=-f(-2)+f(2)= f(2)， f(2)=0，（1）正确；f (2)=0，f（x+4）=-f(x)+ (2)=0， f(x)=-
f（x+4）， f(-x)=-f（-x+4），函数f(x)是定义在R上的偶函数， f（x+4）= f（-x+4），
x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴， （2）正确；当x 〔0，2〕时，y=f(x)
单调递减，当x 〔-2，0〕时，y=f(x)单调递增， f(8)= f(24+0)= f(0)，f(10)= f(24+2)=
f(2)，函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递减，即（3）错误； x=-4为函数y=f(x)图像的一
条对称轴，若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的两根为，，则+=-8，（4）正确，
正确命题的序号为：（1），（2），（4）。
6、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)= (2-x) (a＞0，且a不等于1)。
（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②周期函数的定义与性质；③判断函数是周期函数的基
本方法；④求函数解析式的基本方法；⑤对数函数的定义与性质；⑥求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）运用判断周期函数的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期
的周期函数，根据偶函数的性质求出函数f(x)在[-1，0）上的解析式，从而求出函数f(x) 当
x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；（2）运用周期函数的性质，利用函数f(x)在[-1，
1]上图像求出不等式f(x)＞的解集，从而得出关于x的不等式f(x)＞的解集。
【详细解答】（1）对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，函数f(x)是以2为周期
的周期函数，设x∈[-1，0），则-x∈(0,1〕函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(0,1〕
时，f(x)= (2-x) ， f(x)= f(-x)= (2+x)，设x∈[2k-1，2k），则x-2k∈[-1，0），
函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(x)= f(x-2k)= (2+x-2k) ，设x∈（2k，2k+1]，
则x-2k∈（0，1]，函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(x)= f(x-2k)= (2+2k-x) ，
当x∈〔2k-1,2k+1〕时，f(x)= (2+x-2k) ，x∈[2k-1，2k），（2）当x∈[-1，1]时，
(2+x)，x∈[-1，0）， (2+2k-x)，x∈（2k，2k+1]；函数f(x)的解析式为：
f(x)= (2-x) ，x∈(0,1〕①当a>1时，函数f(x)在[-1，0）上单调递增，在(0,1〕上
单调递减，= f(0)= (2+0)= 2=，=2，a=4， f(x)＞
（2-x）＞或（2+x）＞2-x<且0x1或-<2+x且-1x0，
-2+2k+2-）（k∈Z）；②当0单调递增，= f(-1)= f(1) =(2-1)= 1=0 ，综上所述，若f(x)的最
大值为，关于x的不等式f(x)＞的解集为：（2k-2+，2k+2-）（k∈Z）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数单调性，奇偶性与周期性综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数单调性，奇偶性和周期性的综合问题关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处有意义，则有f(0)=0.
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)= +3x+2，若当x［1，3］时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为 ；（答案：m-n的最小值为）
2、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函数，则a= ；（答案：a=-）
3、奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1 (答案：D)
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，且是以2为周期的周期函数，在区间〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函数f(x)在区间〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求矩形面积S的最大值。
（答案：函数f(x)在区间〔1,2〕上的解析式为f(x)=4-2 ；（2）矩形面积S的最大值为。）
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题：
1、设函数f(x)在（-，+）内有定义，下列函数①y=-|f(x)|；②y=xf()；③y=-f(x)；④y=f(x)-f(-x)中，必为奇函数的有 （要求填写正确答案的序号）
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件，对给
定的四个函数的奇偶性进行判断，就可得出结果。
【详细解答】对函数y=-|f(x)|，定义域为（-，+）关于原点对称，-|f(-x)|=-|f(x)|=-|f(x)|，函数y=-|f(x)|是偶函数；对函数y=xf()，定义域为（-，+）关于原点对称，-xf()|=-xf()，函数y=xf()|是奇函数；对函数y=-f(x)，定义域为（-，+）关于原点对称，-f((-x))=f(x)，函数y=-f(x)|可能是偶函数，也可能是奇函数；对函数y=f(x)-f(-x)，定义域为（-，+）关于原点对称，f(-x)-f((x))=-[f(x)-f(-x)]，函数y=f(x)-f(x)|是奇函数，综上所述，给定的函数中，必为奇函数有②④。
2、已知函数f(x)是偶函数，且在（0，+）上是减函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。
【解析】
【知识点】①减函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据减函数和偶函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条
件，就可判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数。
【详细解答】函数f(x)在（-，0）上是增函数，证明：任取， （-，0），且<，则-，- （0，+），且-<-，函数f(x)在（0，+）上是减函数，f(-)>f(-)，函数f(x)是偶函数，f()=f(-)，f()=f(-)，f()>f()，函数f(x)在（-，0）上是增函数。
3、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A f(-25)【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③判断函数周期性的基本方
法。
【解题思路】根据奇函数和周期函数的性质，运用判断函数周期性的基本方法，结合问题
条件，得到函数函数f(x)是以8为周期的周期函数，从而判断出 f(-25)，f(11),，f(80) 的大
小关系就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，f(x)=-f(x+4)，f(x+4)=-f(x+8)，f(x)=f(x
+8)，函数函数f(x)是以8为周期的周期函数，函数f(x)是定义在R上的奇函数，
f(0)=0，f(x)=-f(x-4)=f(4-x)，函数f(x)的图像关于直线x=2对称，f(-25)=f(-1)，f(11)
=f(3)，f(80) =f(0) ，函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(3)=f(1)>f(0)，f(-1)『思考问题5』
（2） 【典例5】是解答函数奇偶性问题时，容易触碰的雷区，该类问题常见的雷区主要
忽视函数奇偶性（或周期性）的正确判断，导致解答问题出现错误；
（2）解答函数奇偶性问题时，为避免忽视函数奇偶性和周期性的正确判断的雷区，一定注
意正确判断问题涉及函数的奇偶性（或周期性），尤其是分段函数奇偶性的判断（或证明）问题需要特别重视-x所属的区间。
〔练习5〕解答下列问题：
1、定义域为R的四个函数y=，y=，y=+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：C）
2、已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）上是增函数，判断函数f(x)在（-，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。（答案:函数f(x)在（-，0）上是增函数，证明略）
3、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-106.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【考题演练】
【典例6】解答下列问题：
1、 著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般
好，隔离分家万事休”如函数f(x)=的图像大致是（ ）（成都市高2023级2023
-2024上期末调研考试）
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域和奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件确定出函数f(x)的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=的定义域为（-，0）（0，+），函数f(x)的定义域（-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)===f(x)，函数f(x)是偶函数，A，B错误；f(1)==0，x（0，1）时，f(x)<0，x（1，+）时，f(x)>0，且随自变量x的增大，函数f(x)的值无限接近于0，C错误，D正确，选D。
2、函数f(x)=2x|x|-2x+的部分图像大致为（ ）（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数图像定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④已知函数解析式确定函数图像的基本方法。
【解题思路】根据对数，函数图像和函数奇偶性的性质，运用已知函数解析式确定函数图像的基本方法，结合问题条件确定出函数f(x)=2x|x|-2x+的部分大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为 （-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)=-2x|-x|
+2x-=-2xx|+2x-=-（2x|x|-2x+）=-f(x)，函数f(x)是定义域上的奇函数，C，D错误； |f(1)=21-2+1=-2+1=-1<0，A错误，B正确，选B。
3、下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ） （成都市高2023级
2023-2024上期末名校联盟考试）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的性质，运用判断函数奇偶性和函数单调性的基本方法，对各选项函数的奇偶性和单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数 f(x)的定义域是 （-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)=-x-
=-（x+） =- f(x)，函数 f(x)是奇函数，但在定义域既有单调递减区间，也有单调递增区间，A错误；对B，函数 f(x)的定义域是R关于原点对称，，f(-x)=+=f(x)，函数 f(x)是偶函数，B错误；对C，函数 f(x)的定义域是R关于原点对称，f(-x)=-
=-（-）=-f(x)，函数 f(x)是奇函数，函数 f(x)是R上的增函数，C正确；
对D，函数 f(x)的定义域是R关于原点对称，f(-x)=--2 -x=-（2+x ）=-f(x)，函数 f(x)是奇函数，函数 f(x)是R上的增函数， D正确， C，D正确，选C，D。
4、已知函数 f(x)的定义域为R，且满足以下三个条件：①f(-x)+f(x)=0；② f(x)=f(2-x)；
③f(1)=2，则下列说法正确的有（ ）（成都市高2023级2023-2024上期末名校联盟考试）
A 函数 f(x)的图像关于直线x=-1轴对称 B 函数 f(x)的图像关于点（2，0）中心对称 C f(x+4)=f(x) D f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=10
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；③轴对称图形定义与性质；④中心对称图形定义与性质；⑤周期函数定义与性质；⑥判断（或证明）函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，周期性，轴对称图形和中心对称图形的性质，运用判断（或证明）函数奇偶性和周期性的基本方法，结合问题条件对各选项说法的正确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】f(x)=f(2-x)，函数 f(x)的图像关于直线x=1轴对称，函数 f(x)的定义域为R关于原点对称，f(-x)+f(x)=0， 函数 f(x)是奇函数， f(-x)=-f(x)=f(x-2)， f(x)=-f(x-2)， 函数 f(x)的图像关于直线x=-1轴对称，A正确；f(x)=-f(x+2)，
f(x)=f(x+4)，函数 f(x)是以4为周期的周期函数，C正确；f(-x)+f(x)=f(-x)+f(x+4)=0，f(-x)=-f(x+4)， 函数 f(x)的图像关于点（2，0）中心对称 ，B正确；f(1)=2，f(-1)
=-2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-2，f(4)=f(4+0)=f(0)=0，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0
=0，f(17）=f(44+1）=f(1)=2， f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=40+f(17）
=f(1)=2，D错误，综上所述，A，B，C正确，选A，B，C。
5、若y=+ax+sin(x+)为偶函数，则a= （2023全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解答思路】根据偶函数的性质，运用三角函数诱导公式和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数y=+ax+sin(x+)=+ax+cosx为偶函数， -ax
+cosx=+ax+cosx,(4-2a)x=0，a=2。
6、已知函数f(x)= 是偶函数，则a=（ ）（2023全国高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解答思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= 是偶函数，f(-x)===f(x)=，
==0，x0，=0，ax=2x，a=2，D正确，
选D。
7、若f(x)=（x+a）ln是偶函数，则a=( )(2023全国高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=（x+a）ln是偶函数， f(-x)=（-x+a）ln =-（-x+a）ln ，2a ln =0, a=0， B正确，选B。
8、若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且当x[0,1]时，f(x)=，则f(23)=（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A -1 B - C 0 D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用求函数值的基本方法，求出f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，从而求出f(23)的值就可得出选项。
【详细解答】奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)， f(x+2)=-f(2-x)，f(x+2)=-f(x+4)，f(x)=-f(x+2)=f(x+4)， 函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x[0,1]时，f(x)=， f(0)==0，f(1)==，f(2)=-f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-， f(23)=f(45+3)
=f(3)=-，f(23)=-，B正确，选B。
9、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基
本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，
cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
10、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，综上所述，A正确，选A。
11、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数对称性定义与性质；③函数周期性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，对称性和周期性的性质，运用判断函数奇偶性和周期性的基本方法，得到函数f(x)是以4为周期的偶函数，结合问题条件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，从而求出=的值，就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)，g(x)的定义域均为R，y=g(x)的图像关于直线x=2对称， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函数f(x)是R上的偶函数， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正确，
选D。
12、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值。
【详细解答】函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数， a+= 0，x=
=-1，a=-，函数f(x)=ln|a+|+b的定义域为（- ，-1）（-1，1）（1，+），
f(0)=ln|-+1|+b=-ln2+b=0，b=ln2，若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a=-，
b=ln2。
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷中关于函数奇偶性及运用的问题，归结起来主要包括：①判断（或证明）函数的奇偶性；②判断（或证明）函数的周期性；③函数性质的综合运用等几种类型；
（2）解答函数单调性级运用问题的基本方法是：①归结问题结构特征，判断问题所属类型；
②运用解答该类问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）（答案：B，C）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
2、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022全国高考新高考II卷）（答案：A）
A - 3 B -2 C 0 D 1
3、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）(答案：（理）函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为18；（文）函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为14.)
4、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1（答案：B）
5、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）（答
案：a=1。）
6、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。（答案：同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。）
7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）（答案：f(f())=-1。）
8、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像
关于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标III）（答案：其中所有真命题的序号是②③。）
9、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，f(2)=0，则满足x f(x-1) ≥0的x的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）（答案：D）
A [-1,1]∪[3，+∞) B [-3,-1]∪[0,1] C [-1,0]∪[1，+∞) D [-1,0] ∪[1，3]
10、已知函数f(x)= 是奇函数，则实数a的值为 （2019成都市高三一诊）
（答案：实数a的值为2.）