广东省珠海市珠海市文园中学2024年九年级中考第三次模拟考试数学试卷
1．（2024·珠海模拟）2024的倒数是（ ）
A． B． C．-2024 D．2024
2．（2024·珠海模拟）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．希尔伯特曲线 D．斐波那契螺旋线
3．（2024·珠海模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·珠海模拟）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·珠海模拟）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
6．（2024·珠海模拟）箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·珠海模拟）国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．下图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（ ）
A．无理数的发现 B．圆周率的估算
C．勾股定理的证明 D．黄金分割比
8．（2024·珠海模拟）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积应满足的条件是（ ）
A．不小于 B．不大于 C．小于 D．大于
9．（2024·珠海模拟）如图，在中，与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则的度数为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
10．（2024·珠海模拟）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，以下结论正确的是（ ）
… -1 0 1 2 3 …
… 3 0 -1 3 …
A．抛物线的开口向下
B．当时，随增大而增大
C．当时，的取值范围是
D．方程的根为0和2
11．（2024·珠海模拟）分解因式： .
12．（2024·珠海模拟）不等式组的解集为 ．
13．（2024·珠海模拟）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE= ．
14．（2024·珠海模拟）如图，正方形ABCD的边，点E，F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为 .
15．（2024·珠海模拟）在平面直角坐标系中，如果存在一点，满足，那么称点为“负倒数点”，则函数的图象上负倒数点有 个．
16．（2024·珠海模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（2024·珠海模拟）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买款吉样物的数量与花500元购买款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
18．（2024·珠海模拟）如图，在中，连接对角线AC，过点作于点．
（1）用尺规完成以下作图：过点作AC的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形.
19．（2024·珠海模拟）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等.如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC.
（1）如图①，若手机显示，求出此时被测量者的身高CD的长；
（2）如图②，若手机显示，求此时被测量物CD的高，（结果保留根号）
20．（2024·珠海模拟） 某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 m 96 45%
B 88 87 n 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
21．（2024·珠海模拟）如图，在菱形ABCD中，于，以CH为直径的分别交BC，AC于点E，F，连接EF.
（1）求证：CD是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求．
22．（2024·珠海模拟）如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm现计划将此余料进行切割：
（1）如图1，以AB的中点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
（2）工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，这块余料能否满足工人的需求 如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（4）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长﹖请直接写出拼接后的矩形的长边长(结果保留根号)．注意：思考中可能会用到的数据.
23．（2024·珠海模拟）如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点，点在轴的正半轴上，两点同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，点以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动．连接DE，交OA于点，将沿直线DE折叠得到．设D，E两点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标及的度数；
（2）若折叠后与重叠部分的面积为．
①当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
②在①的条件下，当重叠部分面积最大时，将绕点旋转，得到 △PEQ ，点的对应点分别为P，Q，连接AP，AQ，请直接写出面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2024的倒数是，
故答案为：A．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式错误，故不符合题意；
B、，原式错误，故不符合题意；
C、，计算正确，故符合题意；
D、，原式错误，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除、合并同类项的法则逐项计算即可．
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，鲁班锁的主视图是
故答案为：B．
【分析】找到从正面看得到的图形即可．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】∵一个盒子内装有大小、形状相同的53＋2＝55个球，其中红球2个，白球53个，
∴抽到红球的概率是：，
故答案为：D．
【分析】根据概率公式可得答案．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理的证明，
故答案为：C．
【分析】根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系可得答案．
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：函数图象是双曲线的一条分支，且过点
，
则
由题意得
故答案为：A．
【分析】将点代入反函数解析式求出的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
与，分别切于点，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由，，求得，由与，分别切于点，，根据切线长定理得，则，所以，求得，则，于是得到答案．
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴和的函数值相等，即：，
根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：
由图可知：
抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
当时，x的取值范围是或，故选项C错误，不符合题意；
抛物线与轴交于，，
∴方程的根为和；故选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用乘法分配律，将公因式a提取即可。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后找到公共解集即可．
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD.
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC.
∵AC=8，
∴AE=CE=4.
∵CE=4，CD=5，CE2+DE2=CD2，
∴DE==3.
故答案为：3.
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE=4，DE⊥AC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算.
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；求特殊角的三角函数值；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=2.
点E，F为正方形边的中点，
，，
在中，，
，
，
同理可求出 ，
，
长为，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质，解直角三角形求出，，从而得到，然后利用弧长公式计算即可．
15．【答案】3
【知识点】分段函数；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P（a，b）是函数y＝x 6（x≥0）上的“负倒数点”，
则ab＝ 1，b=a-6．
即a（a 6）＝ 1．
解得：或．
∴时，，当，．
设点P（a，b）是函数y＝ x 6（x＜0）上的“负倒数点”，
则a（ a 6）＝ 1．
解得：或（大于0，不合题意，舍去）．
∴，．
综上，函数的图象上“负倒数点”的个数为：3．
故答案为：3．
【分析】设点P（a，b）是函数y＝x 6（x≥0）上的“负倒数点”，根据题意，分别求出a（a 6）＝ 1和a（ a 6）＝ 1时a，b的值即可．
16．【答案】（1）解：
（2）解：
当，
原式．
【知识点】无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先依次化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，有理数的乘方，再算加减即可；
（2）先利用分式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可．
17．【答案】解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，列分式方程求解即可．
18．【答案】（1）如图，为所作；
（2）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，．再利用垂直的定义及平行线的判定得出，然后证明，可得，再根据平行四边形的判定定理得出结论．
19．【答案】（1）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
答：此时测试者的身高长为1.7m；
（2）解：过点D作于H，
在中，，
，
∵，
∴，
∴，
∴被测量物的高是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）证明为等边三角形，即可得到的长；
（2）过点D作于H，解直角三角形求出，得到的值，再利用勾股定理计算出即可．
20．【答案】（1）15；88；98
（2）解：90名
（3）解：A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见解答（答案不唯一）．
21．【答案】（1）证明： 四边形是菱形，
，
，
，
，即，
又 是的直径的外端点，
是的切线．
（2）证明：连接，如图所示，
，
，
为直径，
，
∴，
，则，
，
，
又∵∠ECF=∠ACB，
∴△CEF∽△CAB.
又菱形ABCD，
∴ DC=BC=AD=BA.
∵AC=AC，
∴△CAD≌△CAB（SSS）.
；
（3）解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
菱形的面积，
，
，
在中，，
第（2）问已证，又，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；
（2）连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，再由∠ECF=∠ACB，可得△CEF∽△CAB..再根据菱形的性质得DC=BC=AD=BA，于是可利用SSS证明△CAD≌△CAB，结论即可得证；
（3）连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，再利用面积法求得，利用勾股定理求得，证明，，由此可求解．
22．【答案】（1）解：如图所示，
以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，
∵AB=12，OC=9，
则，，，
抛物线对称轴为，顶点为，
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
抛物线解析式为．
（2）解：不能满足工人的需求，理由如下，
若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，
则，，，
将代入，
有，
故不能满足要求．
（3）解：按如图所示进行切割矩形，
设，则，
将代入，得，
则，
矩形周长为：，
当时，矩形的周长最大，最大周长为．
（4）解：拼接后矩形的长最长为
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（4）切割方案1如图所示，
∵木料最大高度为，故如图切成宽为的矩形有4块，
当，即，解得，对应矩形长，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
切割方案2，如图所示，切成宽为的矩形有5块，
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为．
切割方案3，如图所示，切成宽为的矩形有4块
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
综上所述，方案1切割拼接后的矩形的长边最长，为 ．
【分析】（1）由于抛物线对称轴为，顶点为，设抛物线解析式为，将代入得即可求解；
（2）若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，则，，，求出时的纵坐标即可求解；
（3）如图所示矩形，设，则，再用含有t的表达式表示出矩形的周长，得到关于t的二次函数，再求其最值即可求解.
（4）分3种切割方案：①从AB边开始往上以2dm为宽依次切割木块；②以y轴为对称轴切割一个矩形，矩形左右两边与x轴的交点横坐标分别为1-和1，再依次向左右以2dm为宽切木块；③从y轴开始一次向左右以2dm为宽切木块；分别计算拼接后的矩形的长边长，并进行比较，即可求解．
23．【答案】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴AB=OA=1，
∴，
∴A(1，)，
∵∠EOD=90°， OE=t，OD=t，
∴tan∠OED= =，
∴∠OED=60°；
（2）解：①∵∠OED=60°，∠AOB=30°，
∴∠OFE=90°，
∴OA⊥DE，
∴将△OEF沿直线DE折叠得到△O1EF，折叠后点O1落在直线OA上，
如图，当点O1落在线段OA上，△O1EF与△AOB重叠部分是三角形时，
∵△OEF沿直线DE折叠得到△O1EF，
∴△OEF≌△O1EF．
∴OE=O1E=t，∠EO1F=∠EOF=30°，
∴．
∴，
∴；
如图，当点O1落在线段OA延长线上，△O1EF与△AOB重叠部分是三角形时，设AB与EF交于点M．
∵，
∴，
，
，
，
．
．
，
．
，
．
；
②
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（2）② 在①的条件下：
.
当时，对称轴为，开口向上，
∴当时，有最大值；
当，对称轴为，开口向上，
∴当时，有最大值；
综上，当，即时，有最大值；
此时点O1和点A重合，过点A作AK⊥PQ于点K，如图：
∵EO1=EO=EP=EQ，∠OEO1=∠PEQ，
∴△OEO1≌△PEQ（SAS），
∴PQ=OO1=OA=2.
∵点P，Q在以点E为圆心，OE长为半径的圆上，故PQ⊥O1E，且点K在O1E的延长线时，△APQ面积取得最大值，如图：此时点Q与点O重合，
∵∠EO1O=∠EOO1=30°，∠O1KO=90°，
∴，
∴.
∴
故答案为：.
【分析】（1）利用勾股定理求得OB的长，可求得点的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得∠OED=60°；
（2）①分点O'落在线段OA上和点O'落在线段OA延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解；
②计算①的两种情况下求得的重叠部分面积最大值并进行比较，得到当，即时重叠部分的面积最大，点O1和点A重合，过点A作AK⊥PQ于点K.利用SAS证明△∠OEO1≌△PEQ，可得PQ=OO1=OA=2.得到点P，Q的轨迹为点E为圆心，OE长为半径的圆，可得PQ⊥O1E，且点K在O1E的延长线时，△APQ面积取得最大值，在Rt△KO1O中解直角三角形，求得KO1的长，即可根据三角形的面积公式求得最大面积．
1 / 1广东省珠海市珠海市文园中学2024年九年级中考第三次模拟考试数学试卷
1．（2024·珠海模拟）2024的倒数是（ ）
A． B． C．-2024 D．2024
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2024的倒数是，
故答案为：A．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
2．（2024·珠海模拟）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．希尔伯特曲线 D．斐波那契螺旋线
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
3．（2024·珠海模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式错误，故不符合题意；
B、，原式错误，故不符合题意；
C、，计算正确，故符合题意；
D、，原式错误，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除、合并同类项的法则逐项计算即可．
4．（2024·珠海模拟）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，鲁班锁的主视图是
故答案为：B．
【分析】找到从正面看得到的图形即可．
5．（2024·珠海模拟）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．（2024·珠海模拟）箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】∵一个盒子内装有大小、形状相同的53＋2＝55个球，其中红球2个，白球53个，
∴抽到红球的概率是：，
故答案为：D．
【分析】根据概率公式可得答案．
7．（2024·珠海模拟）国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．下图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（ ）
A．无理数的发现 B．圆周率的估算
C．勾股定理的证明 D．黄金分割比
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理的证明，
故答案为：C．
【分析】根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系可得答案．
8．（2024·珠海模拟）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积应满足的条件是（ ）
A．不小于 B．不大于 C．小于 D．大于
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：函数图象是双曲线的一条分支，且过点
，
则
由题意得
故答案为：A．
【分析】将点代入反函数解析式求出的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．
9．（2024·珠海模拟）如图，在中，与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则的度数为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
与，分别切于点，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由，，求得，由与，分别切于点，，根据切线长定理得，则，所以，求得，则，于是得到答案．
10．（2024·珠海模拟）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，以下结论正确的是（ ）
… -1 0 1 2 3 …
… 3 0 -1 3 …
A．抛物线的开口向下
B．当时，随增大而增大
C．当时，的取值范围是
D．方程的根为0和2
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴和的函数值相等，即：，
根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：
由图可知：
抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
当时，x的取值范围是或，故选项C错误，不符合题意；
抛物线与轴交于，，
∴方程的根为和；故选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．
11．（2024·珠海模拟）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用乘法分配律，将公因式a提取即可。
12．（2024·珠海模拟）不等式组的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后找到公共解集即可．
13．（2024·珠海模拟）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE= ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD.
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC.
∵AC=8，
∴AE=CE=4.
∵CE=4，CD=5，CE2+DE2=CD2，
∴DE==3.
故答案为：3.
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE=4，DE⊥AC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算.
14．（2024·珠海模拟）如图，正方形ABCD的边，点E，F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；求特殊角的三角函数值；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=2.
点E，F为正方形边的中点，
，，
在中，，
，
，
同理可求出 ，
，
长为，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质，解直角三角形求出，，从而得到，然后利用弧长公式计算即可．
15．（2024·珠海模拟）在平面直角坐标系中，如果存在一点，满足，那么称点为“负倒数点”，则函数的图象上负倒数点有 个．
【答案】3
【知识点】分段函数；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P（a，b）是函数y＝x 6（x≥0）上的“负倒数点”，
则ab＝ 1，b=a-6．
即a（a 6）＝ 1．
解得：或．
∴时，，当，．
设点P（a，b）是函数y＝ x 6（x＜0）上的“负倒数点”，
则a（ a 6）＝ 1．
解得：或（大于0，不合题意，舍去）．
∴，．
综上，函数的图象上“负倒数点”的个数为：3．
故答案为：3．
【分析】设点P（a，b）是函数y＝x 6（x≥0）上的“负倒数点”，根据题意，分别求出a（a 6）＝ 1和a（ a 6）＝ 1时a，b的值即可．
16．（2024·珠海模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
（2）解：
当，
原式．
【知识点】无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先依次化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，有理数的乘方，再算加减即可；
（2）先利用分式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可．
17．（2024·珠海模拟）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买款吉样物的数量与花500元购买款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
【答案】解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，列分式方程求解即可．
18．（2024·珠海模拟）如图，在中，连接对角线AC，过点作于点．
（1）用尺规完成以下作图：过点作AC的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形.
【答案】（1）如图，为所作；
（2）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，．再利用垂直的定义及平行线的判定得出，然后证明，可得，再根据平行四边形的判定定理得出结论．
19．（2024·珠海模拟）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等.如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC.
（1）如图①，若手机显示，求出此时被测量者的身高CD的长；
（2）如图②，若手机显示，求此时被测量物CD的高，（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
答：此时测试者的身高长为1.7m；
（2）解：过点D作于H，
在中，，
，
∵，
∴，
∴，
∴被测量物的高是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）证明为等边三角形，即可得到的长；
（2）过点D作于H，解直角三角形求出，得到的值，再利用勾股定理计算出即可．
20．（2024·珠海模拟） 某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 m 96 45%
B 88 87 n 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15；88；98
（2）解：90名
（3）解：A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见解答（答案不唯一）．
21．（2024·珠海模拟）如图，在菱形ABCD中，于，以CH为直径的分别交BC，AC于点E，F，连接EF.
（1）求证：CD是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求．
【答案】（1）证明： 四边形是菱形，
，
，
，
，即，
又 是的直径的外端点，
是的切线．
（2）证明：连接，如图所示，
，
，
为直径，
，
∴，
，则，
，
，
又∵∠ECF=∠ACB，
∴△CEF∽△CAB.
又菱形ABCD，
∴ DC=BC=AD=BA.
∵AC=AC，
∴△CAD≌△CAB（SSS）.
；
（3）解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
菱形的面积，
，
，
在中，，
第（2）问已证，又，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；
（2）连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，再由∠ECF=∠ACB，可得△CEF∽△CAB..再根据菱形的性质得DC=BC=AD=BA，于是可利用SSS证明△CAD≌△CAB，结论即可得证；
（3）连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，再利用面积法求得，利用勾股定理求得，证明，，由此可求解．
22．（2024·珠海模拟）如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm现计划将此余料进行切割：
（1）如图1，以AB的中点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
（2）工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，这块余料能否满足工人的需求 如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（4）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长﹖请直接写出拼接后的矩形的长边长(结果保留根号)．注意：思考中可能会用到的数据.
【答案】（1）解：如图所示，
以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，
∵AB=12，OC=9，
则，，，
抛物线对称轴为，顶点为，
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
抛物线解析式为．
（2）解：不能满足工人的需求，理由如下，
若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，
则，，，
将代入，
有，
故不能满足要求．
（3）解：按如图所示进行切割矩形，
设，则，
将代入，得，
则，
矩形周长为：，
当时，矩形的周长最大，最大周长为．
（4）解：拼接后矩形的长最长为
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（4）切割方案1如图所示，
∵木料最大高度为，故如图切成宽为的矩形有4块，
当，即，解得，对应矩形长，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
切割方案2，如图所示，切成宽为的矩形有5块，
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为．
切割方案3，如图所示，切成宽为的矩形有4块
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
综上所述，方案1切割拼接后的矩形的长边最长，为 ．
【分析】（1）由于抛物线对称轴为，顶点为，设抛物线解析式为，将代入得即可求解；
（2）若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，则，，，求出时的纵坐标即可求解；
（3）如图所示矩形，设，则，再用含有t的表达式表示出矩形的周长，得到关于t的二次函数，再求其最值即可求解.
（4）分3种切割方案：①从AB边开始往上以2dm为宽依次切割木块；②以y轴为对称轴切割一个矩形，矩形左右两边与x轴的交点横坐标分别为1-和1，再依次向左右以2dm为宽切木块；③从y轴开始一次向左右以2dm为宽切木块；分别计算拼接后的矩形的长边长，并进行比较，即可求解．
23．（2024·珠海模拟）如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点，点在轴的正半轴上，两点同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，点以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动．连接DE，交OA于点，将沿直线DE折叠得到．设D，E两点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标及的度数；
（2）若折叠后与重叠部分的面积为．
①当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
②在①的条件下，当重叠部分面积最大时，将绕点旋转，得到 △PEQ ，点的对应点分别为P，Q，连接AP，AQ，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴AB=OA=1，
∴，
∴A(1，)，
∵∠EOD=90°， OE=t，OD=t，
∴tan∠OED= =，
∴∠OED=60°；
（2）解：①∵∠OED=60°，∠AOB=30°，
∴∠OFE=90°，
∴OA⊥DE，
∴将△OEF沿直线DE折叠得到△O1EF，折叠后点O1落在直线OA上，
如图，当点O1落在线段OA上，△O1EF与△AOB重叠部分是三角形时，
∵△OEF沿直线DE折叠得到△O1EF，
∴△OEF≌△O1EF．
∴OE=O1E=t，∠EO1F=∠EOF=30°，
∴．
∴，
∴；
如图，当点O1落在线段OA延长线上，△O1EF与△AOB重叠部分是三角形时，设AB与EF交于点M．
∵，
∴，
，
，
，
．
．
，
．
，
．
；
②
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（2）② 在①的条件下：
.
当时，对称轴为，开口向上，
∴当时，有最大值；
当，对称轴为，开口向上，
∴当时，有最大值；
综上，当，即时，有最大值；
此时点O1和点A重合，过点A作AK⊥PQ于点K，如图：
∵EO1=EO=EP=EQ，∠OEO1=∠PEQ，
∴△OEO1≌△PEQ（SAS），
∴PQ=OO1=OA=2.
∵点P，Q在以点E为圆心，OE长为半径的圆上，故PQ⊥O1E，且点K在O1E的延长线时，△APQ面积取得最大值，如图：此时点Q与点O重合，
∵∠EO1O=∠EOO1=30°，∠O1KO=90°，
∴，
∴.
∴
故答案为：.
【分析】（1）利用勾股定理求得OB的长，可求得点的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得∠OED=60°；
（2）①分点O'落在线段OA上和点O'落在线段OA延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解；
②计算①的两种情况下求得的重叠部分面积最大值并进行比较，得到当，即时重叠部分的面积最大，点O1和点A重合，过点A作AK⊥PQ于点K.利用SAS证明△∠OEO1≌△PEQ，可得PQ=OO1=OA=2.得到点P，Q的轨迹为点E为圆心，OE长为半径的圆，可得PQ⊥O1E，且点K在O1E的延长线时，△APQ面积取得最大值，在Rt△KO1O中解直角三角形，求得KO1的长，即可根据三角形的面积公式求得最大面积．
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