参考答案及评分标准
2024.9
一、单项选择题：
1-4：CADD 5-8：BCAB
二、多项选择题：
9.BC 10.ABD 11.BD
三、填空题：
12.66 3 313. 14.（1）5,8,11,14（2分，不完整不得分）；（2）1047（3分）
2
四、解答题：
15.解：（1）由 an 1 Sn 2，则当 n 2时 an Sn 1 2
两式相减得 an 1 an an，所以 an 1 2an (n 2)…………3 分
将 a1 2代入 an 1 Sn 2得， a2 4 2a1，…………5分
所以对于 n N ,an 1 2an ，故{an}是首项为 2，公比为 2的等比数列，……6分
n
所以 an 2 …………7 分
（2）bn log2 a
2
n 11 2n 11…………8 分
Bn b1 b
2
2 bn n(n 10) n 10n……9分
因为当 n 5时bn 0，当 n 6时bn 0
2
所以当 n 5时，Tn b1 b2 bn Bn 10n n …………10 分
当 n 6时，Tn b1 b2 b5 b6 b7 bn Bn 2B5 n
2 10n 50……12 分
10n n2 ,n 5
故Tn 2 …………13 分 n 10n 50,n 6
16.解：（1）因为 BC 平面 ABB1A1，AE 平面 ABB1A1，所以 AE BC ,又 AE A1B
且 A1B BC B ,所以 AE 平面 A1BC ，故 AE A1C ,同理， AF A1C ，
1
AE, AF 平面 AEF ， AE AF A，所以 A1C 平面 AEF ……6 分
（2）以 A为原点， AB, AD, AA1所在直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 A1(0,0,2),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)，
在平面 A1BD中， BD ( 1,1,0), A1B (1,0, 2)
x y 0
设平面 A1BD的一个法向量为 n (x, y, z)，则 ，可取x 2z 0 n (2,2,1)
由（1）知，平面 AEF 的一个法向量为 A1C (1,1, 2)…………13 分
设平面 AEF 与平面 A1BD的夹角为 ，则 cos | cos n, A1C |
2 6
9 6 9
6
故所求的夹角的余弦值为 …………15 分
9
1 9
1 a2 4b2
17.解：（1）联立 2 2 2 …………3 分
c a b 1
2 2 a a 4
2 2
得 a2 4,b2 3，故所求方程为C : x y 1………………5 分
4 3
（2）①当 l斜率为 0 时， | FA | 3 | FB |或 | FB | 3 | FA |，不符合题意…………6分
②当当 l斜率不为 0 时设 l : x my 1，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
x my 1
联立 x2 y2 …………7 分
1
4 3
消去 x得 (3m2 4)y2 6my 9 0…………9分
y y 6m , y y 91 2 2 1 2 2 ， 144(m
2 1) 0…………10 分
3m 4 3m 4
由 | FA | 2 | FB |得 y1 2y
2 5
2，代入以上两式消去 y1, y2 得m ……13 分5
2 5
故 l : x y 1，化为一般方程为 5x 2y 5 0…………15 分
5
2
18.解：（1）设 A=“两个粒子通过 2号门后仍然恰有 1个上旋状态 1个下旋状态”.
事件 A发生即通过 2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
5
故 P(A) p2 (1 p)2 …………3 分
8
1 3
解得 p 或 ………………………4 分
4 4
（2）由题知 X 0,1, 2,
X 2时分 3 类情形，①两个粒子通过 1号门后均处上旋状态，通过 2 号门后均不改变
状态；②两个粒子通过 1 号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过 2 号门后上旋状态粒子不
改变状态，下旋状态粒子改变状态；③两个粒子通过 1 号门后两个均为下旋状态，通过 2
号门后均改变状态，
所以 P(X 2) 1 p2 1 1 p(1 p) (1 p)2 1 ,…………6 分
4 2 4 4
同理 P(X 1) 1 C12 p(1 p)
1
p2 (1 p)
2 1 1 C
1
4 2 4 2
p(1 p) ,………8分
2
P(X 0) 1 P(X 1) P(X 2) 1 ,…………9 分
4
所以所求的分布列为
X 0 1 2
1 1 1
P
4 2 4
E(X ) 0 1 1 1 1所以所求数学期望 2 1…………10 分
4 2 4
（3）设 Ai “两个粒子通过 1号门后处于上旋状态粒子个数为 i个”，i 0,1, 2,B “两个
粒子通过 2号门后处于上旋状态的粒子个数为 2个”，
则 P(A0 ) P(A
1
2 ) ( )
2 1 ,P(A1) C
1(1)2 12 ,…………12 分2 4 2 2
P(B A 10 ) ,P(B A
2 4
9 1
) ,P(B A2 ) ,…………14 分9 9
2
则 P(B) P(Ai )P(B A ) 1 1 1 2 1 4 1i ,（或由（2）得）……15 分
i 0 4 9 2 9 4 9 4
1 4
P(A B) P(A2B)
P(A
2
)P(B A )
故 2
4
2
4 9
1 . …………17 分P(B) P(B) 9
4
g(x) 2ln x x 1b 1 (x 0) g (x) (x 1)
2
19.解：（1）当 时， ，则
x 2 0……2 分x
所以 g(x)的减区间为 (0, )，无增区间．…………3 分
（2） f (x) x 1 (x 1) ln x ax 1，记 h(x) (x 1) ln x ax 1，
3
则 h (x) ln x
1 1 1 x 1
1 a，进而有 h (x) 2 2 0（ x 1）…………4 分x x x x
所以 h (x)在 (1, )递增．…………5 分
根据 h(1) 1 a及 h (1) 2 a可以确定讨论的边界．
①当 a 1时，对任意的 x 1， h (x) h (1) 2 a 0． h(x)在 (1, )上单调递增，
h(x) h(1) 1 a 0，故有 (x 1) ln x ax 1，满足题意．…………6 分
②当1 a 2时，对任意的 x 1，有 h (x) h (1) 2 a 0．所以 h(x)在 (1, )上单调
递增， h(1) 1 a 0， h(1) 0， h(ea ) 1 a 0．
所以存在唯一的 x0 (1,e
a )使 h x0 0，当 x (1, x0 )时， h(x) 0，不满足题意．……8分
1
③当 a 2时， h (x)在 (1, )上单调递增， h (1) 0， h (ea ) 1
ea
0 ．
所以存在唯一的 x1 (1,e
a )使 h x1 0，当 x (1, x1)时， h (x) 0．
所以 h(x)在 1, x1 上单调递减， h(x) h(1) 0，不满足题意．
综上， a 1.…………9分
3x2 (x 1)4
（3）（ⅰ）记F (x) ln x 3 ，则 F (x) 0，
x2 4x 1 x(x2 4x 1)2
所以 F (x)在 (0, )上单调递增，而 F (1) 0，
2
x 1 F (x) 0 ln x 3x 3于是，当 时， ，
x2 4x 1
2
当0 x 1时， F (x) 0 ln x 3x 3， …………12 分
x2 4x 1
4(x 1) x 3 2ln x 1 2(x 1) ln x 1 x 1（ⅱ）当 b 2a 2时，原不等式即 1 ．
ln x 2 ln x 2 2
3x2 3 x 1 x2 4x 1
由于当 x 1时， ln x ，2 x 1 0，所以 ，x 4x 1 ln x 3(x 1)
2 x 1 x2 4x 1
当0 x 1时， ln x 3x 3 ，
x2 4x 1 x 1 0
， 也成立．
ln x 3(x 1)
x 1 x2 4x 1
所以 对任意的 x 0, x 1恒成立．…………13 分
ln x 3(x 1)
x 1 x2 4x 1 x t t 1 t 4 t 1 t 1 t 4 t 1在 中取 ，则有 ，也即 ，
ln x 3(x 1) ln t 3( t 1) ln t 6
4
2(x 1) x 4 x 1
所以 （a）…………14 分
ln x 3
x 1 x 1 x 4 x 1
记函数G(x) ln 1 ，
2 2 3
G (x) 1 2 1 x x 4x 7 x 4 (x x 4x 3 x ) (4 x 4)
x 1 3 x 6 6 x (x 1) 6 x (x 1)
x ( x 1)( x 3) 4( x 1) ( x 1)(x 3 x 4)
6 x (x 1) 6 x (x 1)
由于 x 3 x 4 ( x 3 )2 7 0，x (x 1) 0，所以只需考虑 的符号，
2 4 x 1
易知G(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，G(x) G(1) 0．
x 4 x 1 ln x 1 x 1所以 1（b）…………16 分
3 2 2
2(x 1) x 4 x 1 ln x 1 x 1由（a）（b）得 1，
ln x 3 2 2
故 4 f (x) g(
x 1) 2x ．…………17 分
2 x 1
5“宜荆荆恩”2025届高三9月起点考试
数学试卷
2024.9
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
1.已知集合A={x3<2<17},B=0,1,2,3,4,5,则A∩B=
A.{0,1}
B.{0,1,5}
C.{2,3,4}
D.{5
2.已知两条直线l:ax+4y-1=0,l2:x+ay+2=0,则“a=2”是“l1∥l2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知复数z满足(z-)(1-i)=3+i,则z的共轭复数z在复平面中的对应点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个
样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为
A.
B号
C.
n号
5.已知sim0-cos0=了，则tam(0+平)=
A.7或7
B或-
C.7或-7
D.-7或-月
6.已知点P在△ABC所在的平面内，且2P+P店+P元=0.过点P的直线与直线AB,AC
分别交于M,N,设A7=aAB,A=BAC,(a>0,B>0),则a+4B的最小值为
A子
B.3+22
4
c.
D.
高三数学试卷第1页（共4页）
7.一个三角形纸板的三个顶点为A,B,C,AB=3,BC=2,AC=5,以AB边上的高所在直
线为旋转轴，将三角形纸板旋转180°，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为
5君
B.T
D.2T
8.若不等式x+b≥x恒成立，则的取值范围是
A.[0,+o)
B.[-1,+o)
C.[-2,+o)
D.[-e,+o)
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论正确的有
A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2m
B.函数y=f(x)-g(x)的最大值为/2
C.函数y=x)-8(x)的所有零点构成的集合为xx=km+平，k∈Z列
D.函数y=(x)+g(x)在[-号，号]上是增函数
10.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(-x),当x∈(1,2]时f(x)=2-2,
则下列结论正确的有
A.f(-1)=0
B.f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称
C.f(2024)>f2025)
11.在平面直角坐标系中，已知点P是曲线下y2=x上任意一点，过点P向圆C:(x-2)2+y2=1
引两条切线，这两条切线与T的另一个交点分别为A,B,则下列结论正确的有
A.C·.CB>0
B.直线AB与圆C相切
C.△PAB的周长的最小值为43
D.△PAB的面积的最小值为33
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分
12.已知某种商品的广告费x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间的对应数据如
下表：
3
4
为
7
14
18
30
42
46
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=6x+a,则当广告费为10万元
时，销售额预测值为
万元
13.过双曲线号-)2=1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐
近线围成的三角形的面积是
高三数学试卷第2页（共4页）
