2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列各曲线中表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
3.在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.在 中，比大，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.一次函数的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
6.顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 正方形
7.某商场对商场中现有空调进行两次提价，提价后的价格为提价前的，则平均每次提价的百分数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方形外侧作等边三角形，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.给出以下四个命题：
对角线相等的四边形是矩形；
对角线互相垂直的四边形是菱形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
菱形对角线的平方和等于边长平方的倍其中真命题有个．
A. B. C. D.
10.如图，在 中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数中自变量的取值范围是______．
12.方程的根是______．
13.一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是________．
14.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的取值范围是______．
15.如图，已知，于点点对应的数是，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是______．
16.已知直角三角形两边的长分别为和，则第三边的长为______．
17.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为______．
18.如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，
连接，，则的度数为______．
19.中，，，，则______．
20.如图，正方形中，点在上，点在上，，连接交于点，若，，则的长是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
解方程：．
22.本小题分
图，图中的小正方形的边长均为，线段，的端点，，，均在小正方形的顶点上．
在图中画出一个以线段为边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
在图中画出以线段为边的菱形，点，均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为，连接，直接写出的长．
23.本小题分
某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作当停止工作时，油箱中油量为，在整个过程中，油箱里的油量单位：与时间单位：之间的关系如图所示．
填空：机器每分钟加油量为______，机器工作的过程中每分钟耗油量为______；
求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
24.本小题分
如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
求证：四边形是平行四边形；
如果，求证：四边形是矩形．
25.本小题分
华昌中学开学初在金利源商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．
求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元？
华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进、两种品牌足球共个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，那么华昌中学此次最多可购买多少个品牌足球？
26.本小题分
综合与实践：
【思考尝试】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在矩形中，是边上一点，于点，，，，试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
27.本小题分
已知：在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，直线的解析式为，经过点的直线交轴正半轴于点，，．
如图，求直线的解析式；
如图，点在上，过点作轴的垂线，交于点，点在上，连接并延长交直线于点，，设直线的解析式为，线段的长为，求与的函数解析式；
如图，在的条件下，连接并延长至点，连接，，过点作轴的平行线，交延长线于点，直线解析式为，求点的坐标．
参考答案
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16.或
17.
18.
19.或
20.
21.解：方程化为，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
22.解：如图，四边形即为所求；
如图，四边形即为所求．．

23.，；
当时，设关于的函数解析式为，
有图象可得：，
解得：，
，
即机器工作时关于的函数解析式为．
24.解：证明：四边形是平行四边形，
，且．
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
25.解：设购买一个品牌的足球需元，则购买一个品牌的足球需元，由题意得
解得：
经检验是原方程的解，
答：一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元．
设此次可购买个品牌足球，则购进牌足球个，由题意得
解得
因为是整数，
所以最大等于，
答：华昌中学此次最多可购买个品牌足球．
26.解：四边形是正方形，
理由：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
矩形是正方形；
，
理由：于点，于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
矩形是正方形，
；
连接，
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，
即．
27.解：当时，，
，
，
当时，，
解得，，
，
，
在中，，，
，
解得：．
，．
，
．
，
设直线的解析式为，
，
解得：，．
直线的解析式为：；
当时，
，
，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
；
过点作，连接并延长交于点，连接，
过点作交的延长线于，
，，
四边形为矩形．
轴．
轴，
，
四边形为矩形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
即，
，
≌，
，，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
由知，轴，
点的纵坐标为，
直线的解析式为，，
解得：，
，
，，
，
，
解得：，不合题意，舍去，
．
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