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第2章 一元二次方程 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 汉川市校级月考）下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选．
2．（2024 绿园区校级开学）将一元二次方程化为一般形式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
故选．
3．（2024春 姜堰区期末）若关于的一元二次方程有一个根是3，则的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】把代入方程得，
解得．
故选．
4．（2024春 长乐区期末）一元二次方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】
【解析】因为，且没有平方根，
所以一元二次方程没有实数根．
故选．
5．（2023秋 绥阳县期末）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】是某个一元二次方程的根，
此一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项，
这个一元二次方程可以是，
故选．
6．（2024春 莒县校级期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．
【答案】
【解析】①当，即时，原方程化为，解得：，
即符合题意；
②当，即时，
关于的方程有实数根，
△，
且，
综上所述：的取值范围是．
故选．
7．（2024春 安庆期末）若关于的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为
A．8 B．10 C．12 D．8或10
【答案】
【解析】由得，
，
所以，．
因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边上，
则当2为腰时，，此情况舍去．
当4为腰时，，符合要求，
所以的周长为．
故选．
8．（2024 含山县三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设每天“遗忘”的百分比为，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
每天“遗忘”的百分比约为．
故选．
9．（2024 游仙区模拟）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【解析】△，
当、异号时，，所以△，所以此时方程一定有实数根，所以①正确；
若时，△，则方程一定有两实数根，所以②正确；
若，，，△，所以方程没有实数根，所以③错误．
故选．
10．（2024春 柯桥区月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
【答案】
【解析】与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得：，
，
当时，能取的最小值是2019，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 丰满区校级期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
【答案】．
【解析】一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2，
化成的一般形式为，
一次项系数为，
故答案为：．
12．（2024 伊通县一模）请填写一个常数，使得关于的方程 1（答案不唯一） 有两个不相等的实数根．
【答案】1（答案不唯一）．
【解析】，，设常数为，
△，
．
故答案为：1（答案不唯一）．
13．（2024 南山区校级模拟）已知是方程的一个根，则的值为 2024 ．
【答案】2024．
【解析】是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：2024．
14．（2024春 崇左期末）当 0或3 时，代数式与的值是互为相反数．
【答案】0或3．
【解析】由题意得：
，
，
，
或，
，，
当或3时，代数式与的值是互为相反数，
故答案为：0或3．
15．（2024 中山市校级一模）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ．
【答案】．
【解析】关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，
，，
△
，
，
，
，
，
，
解得：，，
当时，△，不符合题意，舍去；
当时，△，符合题意；
综上，．
故答案为：．
16．（2024春 岱岳区期末）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路宽为 ，则可列方程为 ．
【答案】．
【解析】设道路宽 ，则试验田的长为，宽为，
根据题意，得．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 魏县校级期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1），
，
，
解得：，；
（2），
，
，
解得：，；
（3），
，，，
，
，
，；
（4），
，，，
，
方程无实数根．
18．（2024春 淮北月考）关于的方程为一元二次方程．
（1）求的值．
（2）求该一元二次方程的根．
【解析】（1）根据题意得且，
解得，
即的值为；
（2）一元二次方程为，
解得，．
19．（2024 高新区校级开学）已知关于的一元二次方程有两个实数根．设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
【解析】根据题意得△，
解得；
是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：（舍去）或．
故的值为．
20．（2024春 平谷区期末）已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根．
【解析】（1）证明：由于是一元二次方程，
△，
无论取何实数，总有，，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程，有，
整理，得．
解得，
此时方程可化为．
解此方程，得，．
所以方程的另一根为．
21．（2024春 莒县校级期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 或 ，
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1）．
，
或，
，；
（2），
，
或，
，．
22．（2024春 肇源县期中）关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，
△且，
，且，
且，
即的取值范围是且．
（2）不存在．理由如下：
关于的方程的两根分别为、，
，，
假设存在实数，使得方程的两个实数根，的倒数和为0，则，不为0，且，
，
，
，
而与方程有两个不相等实数根的条件且矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数不存在．
23．（2023秋 宜州区期末）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，经市场预测，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【解析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24．（2024春 开福区校级月考）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（3）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【解析】（1），
△
；
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：或（不合题意，舍去）；
；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
，
方程为：，
解得：，，
等腰三角形的三边为：5，5，3，
周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
△，
，
方程为：，
解得：，
等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
25．（2023 黄石港区校级模拟）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知、是方程的二根，则 43
（2）已知、、满足，，求正数的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）、是方程的二根，
，，
，
故答案为：43；
（2），，
，，
、是方程的解，
，，
是正数，
，，，
正数的最小值是4．
（3）存在，当时，．
由变形得：，
由变形得：，把代入，并整理得：，
由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：．
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第2章 一元二次方程 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 汉川市校级月考）下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（2024 绿园区校级开学）将一元二次方程化为一般形式为
A． B． C． D．
3．（2024春 姜堰区期末）若关于的一元二次方程有一个根是3，则的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024春 长乐区期末）一元二次方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2023秋 绥阳县期末）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是
A． B． C． D．
6．（2024春 莒县校级期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．
7．（2024春 安庆期末）若关于的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为
A．8 B．10 C．12 D．8或10
8．（2024 含山县三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：
A． B． C． D．
9．（2024 游仙区模拟）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2024春 柯桥区月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 丰满区校级期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
12．（2024 伊通县一模）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根．
13．（2024 南山区校级模拟）已知是方程的一个根，则的值为 ．
14．（2024春 崇左期末）当 时，代数式与的值是互为相反数．
15．（2024 中山市校级一模）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ．
16．（2024春 岱岳区期末）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路宽为 ，则可列方程为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 魏县校级期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2024春 淮北月考）关于的方程为一元二次方程．
（1）求的值．
（2）求该一元二次方程的根．
19．（2024 高新区校级开学）已知关于的一元二次方程有两个实数根．设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
20．（2024春 平谷区期末）已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根．
21．（2024春 莒县校级期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 或 ，
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
（1）；
（2）．
22．（2024春 肇源县期中）关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
23．（2023秋 宜州区期末）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，经市场预测，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
24．（2024春 开福区校级月考）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（3）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
25．（2023 黄石港区校级模拟）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知、是方程的二根，则
（2）已知、、满足，，求正数的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
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