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第1章 特殊的平行四边形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 曲沃县期末）菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为
A．60 B．120 C．240 D．480
【答案】
【解析】菱形对角线相互垂直，
菱形面积是．
故选．
2．（2024春 吕梁期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由可判定四边形为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形为正方形，
故选．
3．（2024春 大理市期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】公路、互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，即，两点间的距离为，
故选．
4．（2024春 田阳区期末）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】
【解析】如图，过点作，，垂足分别为，，
，，
四边形是平行四边形，
两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
，
，
，
四边形是菱形．
故选．
5．（2024 修水县一模）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当，平行四边形是矩形
B．当，平行四边形是矩形
C．当，平行四边形是菱形
D．当，平行四边形是正方形
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
当，平行四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项错误，符合题意；
故选．
6．（2024春 长春期末）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若矩形的周长是，则的周长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，，
矩形的周长为，
，
，
，
的周长．
故选．
7．（2024 丰润区一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为
A．10 B．20 C． D．
【答案】
【解析】在正方形中，，
，
，，
，
，
在菱形中，，
，
是等边三角形，
，
如图（1），连接交于点，
，，
，
，
，
故选．
8．（2024春 广元期末）用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
【答案】
【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确，符合题意；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确，符合题意；
③量出一组邻的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误，不符合题意；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误，不符合题意；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②．
故选．
9．（2024春 怀宁县期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【答案】
【解析】连接，如图所示：
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
当时，最短，
此时也最小，则最小，
的面积，
，
，
故选．
10．（2024 韶关二模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】
【解析】①如图，过作于点，过作于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
矩形为正方形；故①正确；
②当时，点与点重合，
不一定等于，故②错误；
③由①知：，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
故③正确；
④，，
，
．
故④正确；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 宿迁期末）如图，在中，，，是的中点，则 36 ．
【答案】36．
【解析】在中，，，
，
为线段的中点，
，
．
故答案为：36．
12．（2024春 龙沙区期末）如图，在中，为上一点，，．请你再添加一个适当的条件： （答案不唯一） ，使四边形为矩形．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】添加条件，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2024 雁塔区校级开学）已知菱形的周长为，它的一条对角线长，则这个菱形较小的一个内角的度数为 ．
【答案】．
【解析】如图，四边形是菱形，，
，
菱形的周长为，
，
，
，
△是等边三角形，
，
故答案为：．
14．（2023 武威模拟）如图，正方形的边长为2，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为 ．
【答案】．
【解析】如图，连接，连接，
四边形是正方形，
，平分，
为边的中点，
，
四边形是正方形，
，平分，
点，点，点三点共线，
，
故答案为：．
15．（2024春 西安区校级期末）正方形的边长为4，为边中点，连接，为正方形边上一点，△是为底边的等腰三角形，则△的面积是 或 ．
【答案】或．
【解析】如图，△是为底边的等腰三角形，
点在的垂直平分线上，
①当点在正方形的边上时，
正方形的边长为4，为边中点，
，，
，
，
，
，
△的面积；
②当点在正方形的边上时，
，，
，
，
解得，
△的面积，
综上所述△的面积是或，
故答案为：或．
16．（2024春 韩城市期末）如图，在菱形中，，，点、分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最小值为 ．
【答案】．
【解析】过点作于点，
四边形是菱形，
，
，，，
，
平分，
，
，
，
当时，最小，即最小，
的最小值．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．（2024 福建）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．
【解析】证明：四边形是菱形，
，．
在和 中，
，
．
18．（2024春 白河县期末）如图，四边形是菱形，四边形是正方形，若，求的度数．
【解析】如图，连接，
四边形是菱形，，
，，
四边形是正方形，
，
．
19．（2024 二道区校级开学）如图，在菱形中，，相交于点，，．求证：四边形是矩形．
【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
20．（2024 邗江区校级三模）如图，在中，，分别是边，的中点，连结，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
，
是直角三角形．
21．（2024 胶州市校级二模）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
【解析】（1）证明：为的中点，为中点，
，，
，
，，
在和中，
，
；
（2）当满足条件时，四边形是菱形，理由为：
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
，是的中点，
，
四边形为平行四边形，，
四边形为菱形．
22．（2024春 永定区期末）如图，在矩形中，点为对角线中点，过作，交于点，交于点，连接，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）四边形为菱形，理由如下：
四边形为矩形，
，
，
为中点
，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）设的长度为，
由（1）得四边形为菱形，
，
四边形为矩形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的长度为13．
23．（2024 绿园区校级开学）如图，中，点是上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的长 5 ；
（3）当点运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论．
【解析】（1）证明：，平分，平分，
，，
，，
；
（2）解：平分，平分，
，，
，
．
故答案为：5；
（3）解：当运动到中点时，四边形是矩形，
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
24．（2024 建始县一模）如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，则在点的运动过程中：
①当 2 时，四边形是矩形；
②当 时，四边形是菱形．
【解析】（1）证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：①；
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：2；
②，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：4．
25．（2024春 蒙城县期末）如图，正方形中，是边的中点，是边上一点，．
（1）求证：；
（2）已知正方形的边长为4．
①求之长；
②若是上一点，且是等腰三角形，则线段的长为 2或或 ．
【解析】（1）证明：如图1，过点作，垂足为，连接，
（也可延长、交于，用全等和等腰三角形知识解决），
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，，
是边的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：①设，则，，
在中，，
，
解得：，
；
②分三种情况：
如图2，，过作于，
，
中，，，
，
，
即，
，
由勾股定理得：，
；
如图3，；
如图4，，过作于，则，
，，
，
，
，
，
综上，的长是2或或．
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第1章 特殊的平行四边形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 曲沃县期末）菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为
A．60 B．120 C．240 D．480
2．（2024春 吕梁期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是
A． B． C． D．
3．（2024春 大理市期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为
A． B． C． D．
4．（2024春 田阳区期末）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
5．（2024 修水县一模）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当，平行四边形是矩形
B．当，平行四边形是矩形
C．当，平行四边形是菱形
D．当，平行四边形是正方形
6．（2024春 长春期末）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若矩形的周长是，则的周长是
A． B． C． D．
7．（2024 丰润区一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为
A．10 B．20 C． D．
8．（2024春 广元期末）用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
9．（2024春 怀宁县期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
10．（2024 韶关二模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 宿迁期末）如图，在中，，，是的中点，则 ．
12．（2024春 龙沙区期末）如图，在中，为上一点，，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形．
13．（2024 雁塔区校级开学）已知菱形的周长为，它的一条对角线长，则这个菱形较小的一个内角的度数为 ．
14．（2023 武威模拟）如图，正方形的边长为2，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为 ．
15．（2024春 西安区校级期末）正方形的边长为4，为边中点，连接，为正方形边上一点，△是为底边的等腰三角形，则△的面积是 ．
16．（2024春 韩城市期末）如图，在菱形中，，，点、分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024 福建）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．
18．（2024春 白河县期末）如图，四边形是菱形，四边形是正方形，若，求的度数．
19．（2024 二道区校级开学）如图，在菱形中，，相交于点，，．求证：四边形是矩形．
20．（2024 邗江区校级三模）如图，在中，，分别是边，的中点，连结，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由．
21．（2024 胶州市校级二模）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
22．（2024春 永定区期末）如图，在矩形中，点为对角线中点，过作，交于点，交于点，连接，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
23．（2024 绿园区校级开学）如图，中，点是上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的长 ；
（3）当点运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论．
24．（2024 建始县一模）如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，则在点的运动过程中：
①当 时，四边形是矩形；
②当 时，四边形是菱形．
25．（2024春 蒙城县期末）如图，正方形中，是边的中点，是边上一点，．
（1）求证：；
（2）已知正方形的边长为4．
①求之长；
②若是上一点，且是等腰三角形，则线段的长为 ．
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