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江苏省丹阳高级中学 卢杰
数 形 结 合
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
方法精要
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．
典例剖析
题型一 数形结合在方程根的个数中的应用
题型二 数形结合在函数中的应用
题型三 数形结合在不等式中的应用
题型四 数形结合在解析几何中的应用
题型一 数形结合在方程根的个数中的应用
例1 方程sin πx＝ 的解的个数是________．
破题切入点
把方程根的问题转化为两个函数y＝sin πx和y＝ 的图象的交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个数也就明确了.熟练掌握函数图象，并准确作图是应用数形结合思想解决问题的关键.
题型一 数形结合在方程根的个数中的应用
根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，
答案 7
题型一 数形结合在方程根的个数中的应用
题型二 数形结合在函数中的应用
例2 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
破题切入点
解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围．
题型二 数形结合在函数中的应用
解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
题型二 数形结合在函数中的应用
解 (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，
f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
题型二 数形结合在函数中的应用
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合如图所示f(x)的图象可知：
m的取值范围是(－3,1)．
题型三 数形结合在不等式中的应用
破题切入点
先根据题意，画出可行域，再根据目标式的几何意义求解．
解析 画出不等式组
题型三 数形结合在不等式中的应用
答案 2
题型三 数形结合在不等式中的应用
题型四 数形结合在解析几何中的应用
例4 已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．
解 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋
4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，
破题切入点
在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，
S四边形PACB变小，
显然，当点P到达一个最特殊的位置，
即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，
题型四 数形结合在解析几何中的应用
题型四 数形结合在解析几何中的应用
精题狂练
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1．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为________．
解析 画出两个函数f(x)，g(x)的图象，
由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.
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精题狂练
2．若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________________．
解析 根据题意,f(x)在(－∞，0)上是减函数，
且f(3)＝0，当x>0时，f(x)<0，此时0当x<0时，f(x)>0，此时x<－3.
综上x<－3或0{x|x<－3或01
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精题狂练
则x2＋y2＝1(y≥0)．
作出图象如图：
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精题狂练
而y＝x＋k中，k是直线的纵截距，
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精题狂练
解析 画出可行域如图，
所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)
到可行域上的点的距离的平方，
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精题狂练
由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为QA2＝16.
∴取值范围是[2,16]．
答案 [2,16]
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精题狂练
5．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
∴O、A、C、B四点共圆.
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精题狂练
6．已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是________．
解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．
则交点个数即为解的个数．
由图象可知共9个交点．
又f(x)＝lg x，则x∈(0,10]，画出两函数图象，
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精题狂练
7．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________．
解析 设直线方程为y＝k(x－4)，
即kx－y－4k＝0，
直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，
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精题狂练
解析 由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，
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作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象如图所示，
由图可得交点有3个.
答案 3
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精题狂练
9．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l的距离的最小值为________．
解析 如图可知：
过圆心作直线l：x－y＋4＝0的垂线，
则AD长即为所求；
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精题狂练
解析 根据绝对值的意义，
在直角坐标系中作出该函数的图象，
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如图中实线所示.
根据图象可知，当0答案 (0,1)∪(1,4)
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由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件
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(2)求α＋β的值．
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精题狂练
解 f(x)≤g(x)，
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①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，
即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；
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精题狂练
设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为
由图可知，当1－a≥6即a≤－5时，f(x)≤g(x).
