(共30张PPT)
高一数学课件：
函数的应用
吕四中学
【考纲下载】
能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题，培养应用函数知识解决实际问题的能力，掌握函数的应用.
第10讲 函数的应用
吕四中学
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)； (2)反比例函数模型y＝ (k≠0)；
(3)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (4)指数函数模型y＝ ；
(5)y＝x＋ 型； (6)分段函数模型．
吕四中学
2．解决函数应用题的步骤
(1)阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，
弄清题目中出现的量的数学含义．
(2)分析建模：分析题目中量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量
和变量)，有时可借助列表和画图等手段理顺数量关系，同时要注意由已知条件联
想熟知的函数模型，以确定函数的种类，再在对已知条件和目标变量进行综合分
析．在归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．
吕四中学
(3)数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳的解题
方案，进行数学上的求解和计算．
(4)还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即
对实际问题进行总结作答．
吕四中学
提示：(1)在解题时，有些函数的性质并不是明显的，深入挖掘这些隐含
条件，将获得简捷解法．
(2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清参数的取值范围．
(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要
有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题．
吕四中学
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一次分裂成2个)，经过3小
时，这种细菌由1个繁殖成________
解析：每分裂一次，细菌个数是原来的2倍．
故3小时后细菌个数是1×29＝512个．
答案： 512
吕四中学
2．用长度为24的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为________
解析：设隔墙的长为x(0x(6－x)，∴当x＝3时，y最大．
答案： 3
吕四中学
3．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低
b%，则n年后这批设备的价值为________
答案： a(1－b%)n
吕四中学
4． 将进货单价为8元的商品按10元一个销价时，每天可卖出100个，若此商品的销
售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单
价应定为________元．
解析：设售价涨x元，则日销售量为100－10x个，
则利润y＝(10＋x－8)(100－10x)
＝－10(x2－8x－20)＝－10[(x－4)2－36]
∴当x＝4时，销售利润最大，此时单价为14元．
吕四中学
二次函数是我们比较熟悉的基本函数．建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：要分析自变量的取值范围和二次函数图象对称轴的位置．
吕四中学
【例1】 杭州某房地产公司要在西湖边的空地ABCDE(如右图所示)上划出一块长
方形地面建一公寓，且所划长方形的一条边在ED上，其中ED＝100，
EA ＝60，BC＝70，DC＝80.问：如何设计才能使公寓占地面积最大？
并求出最大面积(单位：m)．
吕四中学
解：如题图，设FM＝x(0≤x≤30)，
因为△AGB与△BFM相似，
所以 ，得BF＝ x，
S＝(70＋x)(80－ x)＝－ x2 ＋ x＋5 600.
当x＝25时， Smax ＝ ，此时MB＝ ，
所以当长方形顶点M在AB边上距B为 m时，面积最大为 m 2.
吕四中学
变式1：某出租车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为
3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？
最大月收益是多少？
吕四中学
解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为 ＝12，
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝ ，
整理得f(x)＝ ＋162x－21 000
＝－ (x－4 050) 2 ＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050元．即当每辆车的月
租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.
吕四中学
1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所
得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作
几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变
量的范围，特别是端点值．
吕四中学
【例2】 电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如右图所示
(实线部分)， (注：图中MN∥CD)．
试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
吕四中学
解：由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为
fA(x)、fB (x)，则fA (x)=
fB (x)= .
(1)通话2小时，即x=120时，fA (120)=116，fB (120)=168.
所以A、B两种方案的应付话费分别为116元、168元．
思维点拨：由图建立付话费的两种方案的分段函数解析式．
吕四中学
(2)方案B从500分钟后，每分钟收费就是fB (n＋1)－fB (n)(n>500，n∈N*)，
因为fB(n＋1)－fB (n)= (n＋1)＋18－ n－18= =0.3.
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图可知，当0当x>500时，fA(x)>fB(x)；
当60fB(x)，得x> .
所以当通话时间在 时，方案B比方案A优惠．
吕四中学
变式2：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，
已知甲、乙两户该月用用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量
和水费．
吕四中学
解：(1)当0＜x≤ 时，y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x，
当 ＜x ≤ 时，y＝(4＋3x)×1.80＋(5x－4)×3.00＝20.4x－4.8，当x＞ 时，
y＝(4＋4)×1.80＋[(5x－4)＋(3x－4)]×3.00＝24x－9.6
因此y＝
(2)当x＝ 时，y＝22.4，因此由24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，因此甲、乙两户
该月的用水量分别是7.5吨、4.5吨；甲、乙两户该月应交水费分别为17.7元、8.7元.
吕四中学
函数y＝x＋ (a>0 )常称为“对勾”函数，解决“对勾”函数问题通常利用基本不等式，但要注意等号成立的条件，当等号不成立时，常利用函数的单调性解决．
【例3】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
思维点拨：依题意义建立函数模型y＝x＋ (a>0)后，利用不等式或函数的单 调性求其最值．
吕四中学
解：设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m.
∴蔬菜种植面积
y＝(x－4) ＝808－2 (4∵x＋ ≥2 ＝80，
∴y≤808－2×80＝648 (m2)．
当且仅当x＝ ，即x＝40，
此时 ＝20 m，y最大＝648(m2)．
∴当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，
蔬菜的种植面积最大，为648 m2.
吕四中学
变式3：某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩
形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为a元；②修1 m
旧墙费用是 元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为
元，经讨论有两种方案：
(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形厂房一面的边长；
(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙，即x为多少米时，
建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？
吕四中学
解：(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形一面边长，则修旧墙的费用x· 元，
将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)· 元，其余建新墙的费用
为 元
故总费用为
当且仅当 ，即x＝12 m时，ymin＝35a.
吕四中学
(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为 ·14＝ a元，建新
墙的费用为 a元，
故总费用为y＝ a＋ ·a＝ a＋2a (x≥14)．
设14≤x1∵14≤x1126.
从而 >0，∴函数y＝x＋ 在[14，＋∞)上为增函数．
故当x＝14时，ymin＝ a＋2a ＝35.5a.
综上讨论知，采用第(1)方案，利用旧墙12 m为矩形的一面边长时，建墙总
费用最省，为35a元.
吕四中学
【方法规律】
1．理解函数思想及函数与方程思想的实质，强化应用意识．
2．通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力和解答实际问题的能力．
3．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解.
吕四中学
吕四中学
【2012江苏高考】如图，建立平面直角坐标系 xoy,
x轴在地平面上，
y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮
弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上，其中k与发
射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，
试问它的横坐标a
不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
吕四中学
吕四中学
下课！
同学们再见！
