5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 （共24张PPT） 2024-2025学年 人教A版（2019）必修第一册

(共24张PPT)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识回顾：
利用诱导公式化简
观察本组练习的结构特征：
两角差的余弦;
从化简的结果发现：
都与任意角α（β）的正弦或余弦有关.
思考：
cos(α－β)的展开公式可能与哪些值有关
差角的余弦
我们用到哪些知识探究cos(α－β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间的关系？
新课内容
问题1:已知为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点的坐标
问题2:已知为角β的终边，
用β的三角函数来表示单位圆上点的坐标
问题3:已知为角α-β的终边，
用α-β的三角函数来表示单位圆上点的坐标
O
x
y
α-β
α
β
sinα=y
cosα=x
新课内容
(cosβ,sinβ)
(cosα,sinα)
(cos(α-β),sin(α-β))
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
O
x
y
α-β
α
β
新课内容
O
x
y
α-β
(cosβ,sinβ)
(cosα,sinα)
==α－β
α-β
(cos(α-β),sin(α-β))
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
问题4:你能证明这个式子为何成立吗？
(SAS)
根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1
(cosβ,sinβ)
(cosα,sinα)
(cos(α-β),sin(α-β))
O
x
y
α-β
α-β
(1,0)
新课内容
根据两点间距离公式
由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2.
得
对公式做四点说明：
上式称为差角的余弦公式，简记作C(α-β).
1.式中的α，β为任意角（包括 ）;
2.左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和；
3.同名积，符号反，CCSS；
4.公式的逆用仍然成立.
新课内容
例1.利用公式C(α-β)证明:
探究点一
直接利用两角差的余弦公式解决问题
例1.利用公式C(α-β)证明:
证明：
O
x
y
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
例1.利用公式C(α-β)证明:
证明：
O
x
y
诱导公式反映的是圆的特殊对称性
利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
探究点二
第一步:确定依据的是哪个公式
这里用的是两角差的余弦公式
第二步:与公式相比较，观察题目形成特点，确定需要求出哪些值
第三步:根据第二步的方案先求值，再代入解决问题。
知识点:
1、同角三角函数的基本关系cos2α+sin2α=1；
2、公式的直接应用.
利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
探究点二
注意角所在的象限，也就是符号问题
观察已知角与未知角之间的关系
观察已知角与未知角之间的关系
规律方法　给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
如何用差角余弦公式求cos15的值？
知识点: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.
探究点三
利用两角差的余弦公式解决给角求值问题
-1/2
1/2
逆用公式：CC+SS
探究点三
逆用两角差的余弦公式解决给角求值问题
探究点四
利用两角差的余弦公式解决给值求角问题
变式探究
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ ”,再求α-β的值.
规律方法　解决三角函数给值求角问题的方法步骤
(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值,给值求值,给值求角.
2.方法归纳:整体法、构造法.
3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.