2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 复习教案 2024-2025学年 人教A版（2019）必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式复习课
（教学设计）
一、内容和内容解析
1.内容
一元二次不等式的定义、解法和应用，二次函数与一元二次方程、不等式的联系。
2.内容解析
函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的本思想方法.用二次函数观点看一元二次程、一元二不等式，可以让学生在初中的相关内的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的
意识，进而体会数学的整体性。
从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.如果二次函数的图象与轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元次方程的根。同时，函数图象与轴的交点又将轴分成几部分，每一部分(不含交点)对应的函数图象都在轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即或者.因此，从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0(或者小于0)就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使函数值大于0(或者小于0)的自变量的取值范围。因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式。
借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使研究方程和不等式的方法更具一般性和代表性.因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重要地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法。
基于以上分析，确定本单元的教学重点:用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元次不等式，根据三者的联系，利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法。
二、目标和目标解析
1.目标
(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。
(2)借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性.
(3)能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养.
目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，能说出一元二次不等式的定义.
(2)能类比“一次函数与一次方程、一次不等式”的研究经验，得到二次函数与一元二次方程、不等式的关系，体会运动变化、特殊与一般，以及数形结合等数学思想方法，体会数学的整体性.
(3)能通过具体实例的归纳与概用数方法求一元二次不等式解集的基本过程;能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养.
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
本节用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系，涉及从联系的角度看待所学知识，因此是学生学习的一个难点，此外，对于解一元二次不等式，学生会借助解方程的经验，有意识地进行降次，将解一元二次不等式问题转化为一元一次不等式(组)问题因此学生对于利用二次函数来解一元二次不等式，会产生疑问.
从函数的观点看方程、不等式，函数观点带来的好处是可以借助二次函数的图像与性质，一般地、程序化地理解方程和不等式问题，但是函数观点属于数学思想层面。观念、思想之类的东西具有概括性、统摄性，往往是“可意会不可言传”，用抽象语言说清楚是比较困难的，需要借助具体背景。所以从内容本身看，需要学生积累较多的经验才能领悟“函数的观点”的内涵。
2.教学难点
建立二次函数与一元二次不等式的联系.四 单元教学支持条件分析。
教学支持条件分析
根据教学的需要，需要复习重现知识内容，最好借助课件展示更为直观,因此课堂教学需要电脑、投影仪等条件的支持。
教学过程设计
（一）知识回顾
一元二次不等式：
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是或。其中均为常数，。
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系：
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
或
应用举例
师生活动：（1）由师生一起分析，教师板书示范；（2）和（3）由学生独立思考并强调书写格式，教师补充完善，并追问解一元二次不等式的方法？
教师小结：解一元二次不等式、的步骤：
二次项系数变为正（）；
看能否因式分解,不能分解的计算△；
求出方程的实根，得到二次函数零点；（画出函数图像)
(结合函图象)写出不等式的解集.
设计意图：熟悉解一元二次不等式的解法，规范解一元二次不等式的步骤。
若不等式的解集为，求不等式的解集．
师生活动：给学生时间思考独立完成，教师巡视，提示有困难的学生，一元二次不等式的解余对应的一元二次方程有什么关系？
设计意图：让学生进一步的理解一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，提升学生对数学内容和联系性和整体性的认识。
例3.（1）不等式的解为一切实数，求的取值范围；
（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
师生活动：（1）由师生一起分析，老师提出问题：不等式的解集为，其对应的二次函数的图象与轴的关系是什么？需要满足什么条件？
给学生时间思考，并提出问题：（2）与（1）差别在哪？如何处理这种差别？
教师小结：一元二次不等式恒成立的问题解决方法：
①在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外，还要分清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的取值范围，谁就是主元，求谁的取值范围，谁就是参数．
②不等式的解集是实数集(或恒成立)的条件是：当时，，；当时，
③不等式的解集是实数集(或恒成立)的条件是：当时，，；当时，
设计意图：掌握一元二次不等式恒成立的问题解决方法，二次项系数含有参数时要分类讨论。
例4.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点．
(1)写出税收(万元)与的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定的取值范围．
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：
降低税率后的税率为？收购量为？收购总金额为？
如何得到不等关系？
学生回答解答过程，教师板书。
教师小结：利用一元二次不等式解决实际应用问题的步骤：
（三）课堂小结
通过本节课的复习学习，在知识和方法上你收获了什么？
1.“三个二次”的关系。
2.一元二次不等式解法的步骤。
3.一元二次不等式的应用。
4.数学思想方法：数形结合、分类讨论、转化与化归。
设计意图：教师和学生一起回顾本节课的学习内容，所涉及的数学思想方法和研究方法。将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识。
（四）作业检测
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【设计意图】通过作业考查学生对本章所学内容的掌握情况，及时修正教学进度.
六、目标检测设计
关于的不等式的解集是,则的值为(　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【设计意图】考查学生对本章所学内容的掌握情况.