6.3.1 二项式定理 课件 （共16张PPT） 2024-2025学年 人教A版（2019）选择性必修第三册

(共16张PPT)
二项式定理，又称牛顿二
项式定理，由艾萨克·牛顿
于1664、1665年间提出.
(0.99)365 =(1—0.01)365 ≈ 0.03
二项式定理研究的是 (a +b)n 的展开式.
请写出完全平方公式的展开过程
(a b)2 a2 2ab b2
Fa bf2 Fa bfFa bf
aFa bf bFa bf
aa ab ba bb
a2 2ab b2
共有 C × C = 4 项
2
1
2
1
合并同类项共3项 系数 C
C C C
(a b)2 C a2 C ab C b2
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0
2
k
Fa bfFa bf
aFa bf bFa bf
aa ab ba bb a2 2ab b2
a2－kb k k 0,1,2
完全平方公式
Fa bf2
(a b)3 Fa bfFa bfFa bf
项 a3 a2b ab2 b3
系数 C C C C
展开式：
3
3
3
2
3
1
3
0
探究1 推导 (a b)3 的展开式.
a3－kb k
k 0,1,2,3
C
3
k
(a b)3 C a3 C a2b C ab2 C b3
3
3
3
2
3
1
3
0
探究2 仿照猜想(a b)n 的展开式.
(a + b)n = (a + b)(a + b)…(a + b)
一———、————一
n个(a b)相乘
项an－kb k { 选a 系数 C
an , an—1b, an—2b2，... an—kbk，...bn 二项式定理
展开式：(a + b)n = C an +C an—1b1 + ...+C an—kbk + ...+C bn (n∈ N* )
n
n
n
1
n
0
)
(
中
b
(a
b
k个
a+
－
个
n
(a + b)n = C an +C an-1b1 + ...+ C an-kbk + ...+C bn
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数和都等于n
字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
③二项式系数: C (k = 0,1, … , n)
n
k
n
n
n
1
n
0
展开式的第4项
T4千 T3 1
= C a n - 3b 3
n
3
④二项展开式的通项: Tk +1 = C an-kb k (k = 0, 1, 2...n)
二项式定理
杨辉 南宋时期杰出的
数学家和数学教育家
(n∈ N* )
,
二项式定理
= C an -C an-1b + …+ (-1)kC an-kbk + …+ (-1)n C bn
n
n
n
1
n
0
例：求 的展开式.
二项式定理应用
二项式定理应用
例：求(2 · ix 一 )6 的展开式.
写出展开式第3项。 T 3= T 2+1= = 240x
展开式第3项的二项式系数多少？ C = 15
展开式第3项的系数多少？ C .24 .(一1) = 240
展开式中x2 的系数多少 k 26一kC x3一k
若求展开式中的常数项呢？ 3 一 k = 2, k = 1 :(一1)1 × 25 × C = 一192
6
1
2
6
2
6
2
2
二项式定理：(n∈ N* )
(a + b)n = C an +C an-1b1 + ...+C an-kbk + ...+C bn
(1)二项式系数： C (k = 0,1, … , n)
(2)二项展开式的通项：
Tk +1 = C an-kb k (k = 0, 1, 2...n)
n
k
n
n
n
1
n
0
我们的收获和感悟
2. (1) 求(1 + 2x)7 的展开式的第4项的系数；若求第4项的二次项系数呢？
(2) 求 的展开式中x2 的系数. 若求含x2的项呢？
1 . 求 (x + 1 )6 的展开式 .
x
1. 求 (x + 1 )6 的展开式 .
x
解：根据二项式定理，可得
(x + 1 )6 = (x + x-1)6
x
= C0 x6 + C1x5 x-1 + C2 x4 x-2 + C3 x3 x-3 + C4 x2 x-4 + C5 xx-5 + C6 x-6
= x6 + 6x4 + 15x2 + 20 + 15x-2 + 6x-4 + x-6 .
6 6 6 6 6 6 6
2. (1) 求(1 + 2x)7 的展开式的第4项的系数；
(2) 求(2 的展开式中x2 的系数.
解：(1) 由通项公式，可得
T4 = T3+1 = C (2x)3 = 280x3 .
∴ (1 + 2x)7 的展开式的第4 项的系数是280.
(2) 由通项公式，可得
设3 — k = 2,解得k = 1.
∴ x2 的系数是(—1) × 25 × C = —192.
6
1
7
3
你能用二项式定理解决开篇困惑吗？
(a + b)n = C an +C an—1b1 + ...+C an—kbk + ...+C bn (1.01)365 = (1+0.01)365 ≈ 37.8
(0.99)365 = (1—0.01)365 ≈ 0.03
n
n
n
1
n
0
我们的收获
P25-27
课外资料相应练习 二项式定理（ 2）