7.3.2 离散型随机变量的方差 课件 （共17张PPT） 2024-2025学年 人教A版（2019）选择性必修第三册

(共17张PPT)
= x1p1 + x2p2 + … + xipi + … + xnpn = xi pi , i = 1,2,3, … n.
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2.数学期望的性质：E(aX+b)=aE(X)+b
若X服从两点分布，则E（X）=p
X x1 x2 … xi …
xn
P p1 p2 … pi …
pn
X 1
0
P p
1-p
1.离散型随机变量的数学期望
问题1.从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记 录, 甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为
Y 6 7 8 9
10
P 0.07 0.22 0.38 0.30
0.03
X 6 7 8 9
10
P 0.09 0.24 0.32 0.28
0.07
如何评价这两名同学的射击水平？E(X) = 8, E(Y) = 8,
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
两个均值相等
除平均中靶环数以外,还要考虑稳定性, 即击中环数的离散程度.
下图分别是X 和Y 的概率分布图.
比较两个图形,哪一名同学的射击成绩更稳定
0 6 7 8 9 10 X
0 6 7 8 9 10 Y
P
0.4
0.3 0.2 0.1
P
0.4
0.3 0.2 0.1
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为x ,则
这组数据的方差为：
方差反应的是这组数 据的波动情况
2 1 2 2 2
S = n [(x1 - x ) + (x2 - x ) + …+ (xn - x ) ]
类似 于这个概念, 我们可以定义随机变量的方差.
问题探究
差.记为σ(X).
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们 的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
X x1 x2 … xi …
xn
P p1 p2 … pi …
pn
3.离散型随机变量方差
设离散型随机变量X的概率分布为：
D (X )为随机变量X的方差. 并称 D(X)为随机变量X的标准
练习：给出下列四个命题：
①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度. 则正确命题应该是( D )
A . ①④ B . ②③ C . ①② D . ③④
D（X)=(6-8)2 ×0.09+(7-8)2 ×0.24+(8-8)2 ×0.32+(9-8)2 ×0.28+(10-8)2 ×0.07=1.16
D（Y)=(6-8)2 ×0.07+(7-8)2 ×0.22+(8-8)2 ×0.38+(9-8)2 ×0.30+(10-8)2 ×0.03=0.92
D(X)>D(Y) ，即乙同学的射击成绩相对更稳定
Y 6 7 8 9
10
P 0.07 0.22 0.38 0.30
0.03
X 6 7 8 9
10
P 0.09 0.24 0.32 0.28
0.07
下面用两名同学射击成绩的的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性
E(X) = 8,
E(Y) = 8.
: E (ξ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × 0 + 4 × = 1
: D(ξ) = (0 - 1)2 × + (1 - 1)2 × + (2 - 1)2 × + (3 - 1)2 × 0 + (4 - 1)2 × = 1
例1.数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则
称有一个巧合，求巧合数 的期望和方差.
在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化
= x pi - (E(X))2 .
= E(X2 ) - (E(X))2
i
2
例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
离散型随机变量方差的性质
若Y=aX+b, 则 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b
D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)
3
例4.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(其中n =1,2,3,4).
现从袋中任取1个球,X表示所取球的标号.
(1).求X的分布列、 期望和方差;
(2).若Y= aX +b, E(Y) = 1,D(Y) = 11, 试求a,b的值.
解:(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4
= 2.75.
X 0 1 2 3
4
P 1 2 1 20 1 10 3 20
1
5
例4.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(其n =1,2,3,4).
现从袋中任取1个球,X表示所取球的标号.
(1).求X的分布列、 期望和方差;
(2).若 Y= aX +b, E(Y) = 1,D(Y) = 11, 试求a,b的值.
（2） 由(1)得 E(X) = 1.5, D(X) = 2.75,
由E(Y) = aE (X) + b, D(Y) = a 2 D(X)得
b==1 解得： 2或
2
P50-53
课外资料相应练习
二项分布