人教A版（2019）选择性必修第三册 8.1.2 样本相关系数 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
8.1.2 样本相关系数
通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变
量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关
等. 散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就 无法量化两个变量之间相关程度的大小. 能否像引人均值、方差等数字特 征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征” ，对成对样 本数据的相关程度进行定量分析呢
对于变量x和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1), (x2,
y2), , (xn, yn) ，其中x1, x2, , xn和y1, y2, , yn 的均值分别为 x和y . 将数据
以(x,y) 为零点进行平移，得到平移后的成对数据为
(x1 — x,y1 — y ),(x2 — x,y2 — y ),. ..,(xn — x,yn — y ), 并绘制散点图.
通过绘图分析可得，如果变量x和y正相关 ，那么关于均值平移后的大多数散点 将分布在第一象限 、第三象限 ，对应的成对数据同号的居多 ，如图 (1)所示；
如果变量x和y负相关 ，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限 、 第四象限 ，对应的成对数据异号的居多 ，如图(2)所示.
思考1 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据
平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数
字特征吗
利用散点(xi — x,yi — y )(i = 1, 2, . . ., n) 的横 、纵坐标是否同号 ，可以构造 一个量
= [(x1 — x )(y1 — y ) + (x2 — x )(y2 — y ) + . . . + (xn — x )(yn — y )].
一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关； Lxy <0表明成对样本数据负相关.
L
xy
思考2 Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗
因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关 程度的大小. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理. 我们用
分别除xi — x和yi — y (i = 1, 2, . . ., n),并仿照Lxy的构造可得
我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.
(xi — x)(yi — y)
r =
· (xi — x)2 . · (yi — y)2
+…+ 同理可得
2
思考3 样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？
标准化处理后的成对样本数据: (x1' , y1'), (x2 ' , y2 '), ..., (xn' , yn')
-→ -
设其第一分量为 x' = (x1' , x2 ' , ..., xn ' ) 设其第二分量为 y' = (y1' , y2' , ..., yn' )
● | cos θ r = cosθ :-1≤ r ≤1
相关系数的性质：
① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.
② |r|≤1；
③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数 据的线性相关程度越弱；注意，当|r| ＝0时，成对数据没有线性相关关系，但不 排除它们之间有其他相关关系；当|r| ＝1时，成对数据都落在一条直线上.
一般地：若0.75≤|r|≤1 ， 则认为y与x的线性相关程度很强；
若0.3 ≤|r|<0.75 ， 则认为y与x的线性相关程度一般；
若|r|≤0.25 ， 则认为y与x的线性相关程度较弱.
样本相关系数
图(1) 中成对样本数据的正 线性相关程度很强.
图(2) 中成对样本数据的负
线性相关程度比较强.
图(3)中对样本数据的线性
相关程度很弱.
图(4)中成对样本数据的线
性相关程度极弱.
练习1
√
练习3.两个变量x ，y的样本相关系数r1 ＝0.7859 ，两个变量u ，v的样本相关系数r2
= -0.9568 ，则下列判断正确的是( C )
A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v 的线性相关性较强 D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v 的线性相关性较强
8.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较
, 正确的是( A )
A.r2练习1 判断正误(正确的打“√” , 错误的打“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系
系．( √ )
(2)散点图越接近某一条直线，线性相关程度越强，样本相关
(3)散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．(√
(4)若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．( ×
练习2 已知求得甲、乙、丙3组不同的数据的样本相关系数分别为0.81 ，－0.98，
0.63 ，其中 乙 (填甲、乙或丙)组数据的线性相关程度最强.
, 可能是伴随关
系数越大．( ×)
) )
解: 由样本数据可得 x ≈ 48.07,y ≈ 27.26, (xi — x )(yi — y ) ≈ 1054.34,
≈ 0.97.
由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60
61
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2
34.6
例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相
关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.
解: 由样本数据可得
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60
61
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2
34.6
例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相
关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.
xi yi — 14xy
·i x — 14x . y — 14y
2
2
i
2
i
2
(xi — x)(yi — y)
·i (xi — x) . ·i (yi — y)
2
2
由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
∴r =
≈ 0.97.
=
练习1 在一次试验中，测得(x, y)的4组值分别为(1, 2), (2, 0), (4, －4), (－1,6), 则y与x的样本相关系数为( )
A ．1 B ．－2 C ．0 √D．－1
解：由样本数据可得 xi yi = —20, = 22, = 56.
xi yi — 4xy 20 4 × 3 × 1
∴r = i =1 = 2 = 1.
x — 4x2 . y — 4y2 22 — 4× ( )2 × 56 — 4× 12
2
3
i
2
i
2
根据上表数据, 计算y与x的样本相关系数r, 并说明y与x的线性相关程度.
(附： 若0.75≤|r|≤1 ，则认为y与x的线性相关程度很强；若0.3≤|r|<0.75 ，则认为 y与x的线性相关程度一般；|r|≤0.25 ，则认为y与x的线性相关程度较弱)
年份x 2016 2017 2018 2019
2020
足球特色学校y(百个) 0.30 0.60 1.00 1.40
1.70
练习2 足球是深受全世界人们喜爱的运动，我国大力发展校园足球．为
了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
参考公式和数据
(xi — x)2 = 10， (yi — y)2 = 1.3，· i13 ≈ 3.6056.
请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变
化趋势的特征.
解：由样本数据可得 = 42, xi yi = 2841, = 753, = 13350.
超市 A B C D E F
G
广告支出x/万元 1 2 4 6 10 14
20
销售额y/万元 19 32 44 40 52 53
54
xi yi — 7xy 2841 7 ×
∴r = i =1 =
x — 7x2 . y — 7y2 753 — 7 × ( )2 × 13350 — 7 × 422
7
57
i
2
i
2
课本103页
练习3. 随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下:
正线性相关，相关性较强，销售额与广告支出的变化趋势相同.
× 42
≈ 0.83.
57
7
课本103页
练习4. 已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2, 2), (3, －1), (5, －7) ，计算
成对样本数据的样本相关系数. 能据此推断这两个变量线性相关吗 为什么
解：由样本数据可得 = —2, xi yi = 2 × 2 + 3× = —34,
2 = — 1.
虽然样本相关系数为－1 ，三个样本点在一条直线上，但是由于样本 量太小 ，据此推断两个变量完全线性相关并不可靠.
y




3 4 x
相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点.
(1) (－2, －3), (－1, －1), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)；
(2) (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)；
(3) (－2, －8), (－1, －1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27);
(4) (2, 0) (1, · 3 ), (0, 2), (－1, · 3 ), (－2, 0).
y r = 0.89 25 - 20 - 15 - 10 - 5 - - 0 1 -5 - -10 - 2 3
x
解: -3 -2 r = 1 8 - 6 - 4 - 2 - - 0 - 1 2 -2 -4 -

3 x
-3 -2 y 2 1.5 - 1 - 0.5 - -1 0 1
r = 0


2 3 x
课本103页
练习5. 画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数. 据此，请你谈谈样本
样本相关系数主要刻画的是成对样本数据线性相关的程度.
15 -
10 - 5 -
0
-3 -2

r = 0.96
1 2
y
课堂小结：
1. 样本相关系数
2.相关系数的性质：
① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.
② |r|≤1；
③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数 据的线性相关程度越弱；特别地，当|r| ＝0时，成对数据的没有线性相关关系； 当|r| ＝1时，成对数据都落在一条直线上.
P67-71
课外资料相应练习
一元线性回归模型及其应用（ 1）
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