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1教学目标：1.在集合对应的基础上理解函数的概念；2.会求一些简单函数的定义域和值域；3能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；.2学情分析：在学生学过的初中函数概念的基础上，利用对不同实例的探究，通过学生积极参与问题讨论并结合对应的观点，引导学生从集合的角度总结函数的概念．使学生感受到学习函数的必要性与重要性，激发学习的积极性．3重点难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．
4教学过程
4.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】温故链接 导引自学
【问题导思】
汽车匀速行驶在高速公路上，行驶速度为v，行驶路程为s，行驶时间为t.
1．上述三个量中，哪个是常量？哪个是变量？
【提示】 v是常量，s、t是变量．
2．三者之间有何关系？
【提示】 s＝vt，s随时间t而变化．
3．s，t有何限制？
【提示】 t≥0，s≥0.
4．t给定，s是否确定？
【提示】 确定并且唯一．
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.
2．函数值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
活动2【讲授】交流质疑 精讲点拨
函数的概念
例题1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±√x；
(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
【思路探究】 求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
【自主解答】 (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|＝0 B，故不能构成函数．
(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
规律方法：1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
变式训练：
下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)
①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；
②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；
③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；
④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；
⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.
【解析】 能否构成从集合A到集合B的函数，就是看自变量在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应．容易作出题中给出的前三个函数的图象，结合图象可知它们是函数关系，对于④中函数y＝4－x2，集合A中的2对应的数为0，但0不在集合B中，所以不能构成从A到B的函数．由于⑤中的集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数．故填④⑤.
【答案】 ④⑤
函数的定义域
例题2 求下列函数的定义域．
(1)y＝√x 1＋√1 x；
(2)y＝＋；
(3)y＝.
【思路探究】 由函数解析式，列出自变量满足的不等式组求解．
【自主解答】 (1)要使函数有意义，需满足
即∴x＝1，
即函数的定义域为{1}．
(2)要使函数有意义，需满足
即∴x≤2且x≠－3，
即函数定义域为{x|x≤2，且x≠－3}．
(3)要使函数有意义，需满足
即∴x<0且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x<0，且x≠－1}．
规律方法
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
3．定义域的求法
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
变式训练：求下列函数的定义域：
(1)y＝·；(2)y＝.
【解】 (1)要使函数式有意义，必须满足，∴x≥2，即函数定义域为[2，＋∞)．
(2)要使函数式有意义，必须满足，解得x≥4且x≠5.
即函数定义域为[4,5)∪(5，＋∞)．
求函数值
例题3若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－x)，f(f(x))．
【思路探究】 将相应的x的值代入函数解析式．
【自主解答】 f(0)＝＝1；f(1)＝＝0；
f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝＝＝x(x≠－1)．
规律方法：1．求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可．
2．求f(f(x))时，一般要遵循由里到外的原则．
变式训练：已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，求：
(1)f(2)，g(2)的值；
(2)f(g(2))的值．
【解】 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝，
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
求函数值域
例题4 求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝＋1；(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]．
【思路探究】 (1)采用代入法；(2)采用直接法；(3)采用配方法．
【自主解答】 (1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}，
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1，∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)配方得y＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5]，由例题)图知2≤y≤11，
即函数的值域为[2,11]．
规律方法：
常用的求值域的几种类型：
(1)用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数y的值构成的集合；
(2)用图象形式给出的函数，其值域是图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
(3)用解析式给出的函数：用相应方法(如观察法、配方法，换元法等)，由解析式与定义域去确定；
(4)实际问题给出的函数：由实际问题的意义确定．
互动探究：在(3)中，如果x的范围改为x∈[4,5]，结果又如何？
【解】 配方得：y＝(x－2)2＋2，
∵x∈[4,5]，由例题图知：f(4)≤y≤f(5)，
即6≤y≤11，即该函数的值域为[6,11]．
活动3【练习】当堂反馈 拓展迁移
当堂反馈 拓展迁移
1．有以下4个对应法则：
①A＝R，B＝R，f：x→y＝－；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝3x；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝x2＋3x－4；④A＝R，B＝R，f：x→y2＝x.
其中不能构成从集合A到集合B的函数关系的是________．(填序号)
【解析】 ①中，当集合A中的元素取0时，在集合B中无元素和它对应；②③容易作出题中给出的函数的图象，结合图象可以知道它们是函数关系；④中，当集合A中的x为正数时，集合B中有两个元素和它对应，而当x为负数时，集合B中无元素和它对应．
【答案】 ①④
2．函数y＝的定义域是________．
【解析】 由题意可知，要使函数有意义，只需x＋1>0，解得x>－1.故函数y＝的定义域是{x|x>－1}．
【答案】 {x|x>－1}
3．函数g(x)＝3x＋1，x∈{0,1,2,3,4}的值域为________．
【解析】 ∵x∈{0,1,2,3,4}，∴当x依次取值时，对应g(x)的值为{1,4,7,10,13}．
【答案】 {1,4,7,10,13}
4．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝·；(2)f(x)＝.
【解】 (1)要使函数有意义，需满足
即∴x≥2，
故函数定义域为[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
即
故函数定义域为{x|x∈R，且x≠－1，x≠0}
1教学目标
了解关于天才的话题。
明确天才出现的原因。
2学情分析3重点难点4教学过程
4.1 第一学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.2 第二学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.3 第三学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
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