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1教学目标
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2学情分析
通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
3重点难点
理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．
4教学过程
4.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】函数的概念
【问题导思】
汽车匀速行驶在高速公路上，行驶速度为v，行驶路程为s，行驶时间为t.
1．上述三个量中，哪个是常量？哪个是变量？
【提示】 v是常量，s、t是变量．
2．三者之间有何关系？
【提示】 s＝vt，s随时间t而变化．
3．s，t有何限制？
【提示】 t≥0，s≥0.
4．t给定，s是否确定？
【提示】 确定并且唯一．
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.
2．函数值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
【思路探究】 求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
【自主解答】 (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|＝0 B，故不能构成函数．
(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)
①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；
②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；
③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；
④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；
⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.
【解析】 能否构成从集合A到集合B的函数，就是看自变量在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应．容易作出题中给出的前三个函数的图象，结合图象可知它们是函数关系，对于④中函数y＝4－x2，集合A中的2对应的数为0，但0不在集合B中，所以不能构成从A到B的函数．由于⑤中的集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数．故填④⑤.
【答案】 ④⑤
求下列函数的定义域．
(1)y＝＋；
(2)y＝＋；
(3)y＝.
【思路探究】 由函数解析式，列出自变量满足的不等式组求解．
【自主解答】 (1)要使函数有意义，需满足
即
∴x＝1，
即函数的定义域为{1}．
(2)要使函数有意义，需满足
即
∴x≤2且x≠－3，
即函数定义域为{x|x≤2，且x≠－3}．
(3)要使函数有意义，需满足
即
∴x<0且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x<0，且x≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
3．定义域的求法
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
求下列函数的定义域：
(1)y＝·；
(2)y＝.
【解】 (1)要使函数式有意义，必须满足，
∴x≥2，即函数定义域为[2，＋∞)．
(2)要使函数式有意义，必须满足，
解得x≥4且x≠5.
即函数定义域为[4,5)∪(5，＋∞)．
若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－x)，f(f(x))．
【思路探究】 将相应的x的值代入函数解析式．
【自主解答】 f(0)＝＝1；f(1)＝＝0；
f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝＝
＝x(x≠－1)．
1．求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可．
2．求f(f(x))时，一般要遵循由里到外的原则．
已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，求：
(1)f(2)，g(2)的值；
(2)f(g(2))的值．
【解】 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝，
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]．
【思路探究】 (1)采用代入法；(2)采用直接法；(3)采用配方法．
【自主解答】 (1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，
∴y∈{3,5,7,9,11}，
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1，
∴函数的值域为[1，＋∞)
(3)配方得y＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5]，由例题)图知2≤y≤11，
即函数的值域为[2,11]．
常用的求值域的几种类型：
(1)用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数y的值构成的集合；
(2)用图象形式给出的函数，其值域是图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
(3)用解析式给出的函数：用相应方法(如观察法、配方法，换元法等)，由解析式与定义域去确定；
(4)实际问题给出的函数：由实际问题的意义确定．
在(3)中，如果x的范围改为x∈[4,5]，结果又如何？
【解】 配方得：y＝(x－2)2＋2，
∵x∈[4,5]，由例题图知：f(4)≤y≤f(5)，
即6≤y≤11，即该函数的值域为[6,11]．
函数的概念理解不清致误
判断下列各组函数是否表示同一函数．
(1)y＝与y＝x＋1；
(2)y＝－1与y＝x－1.
【错解】 (1)∵y＝＝＝x＋1，
∴y＝与y＝x＋1表示同一函数．
(2)∵y＝－1＝x－1，
∴y＝－1与y＝x－1表示同一函数．
【错因分析】 (1)y＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，而y＝x＋1的定义域为R，定义域不同．(2)∵y＝－1＝|x|－1＝∴y＝－1与y＝x－1的对应关系不相同．
【防范措施】 函数的三要素：定义域、对应法则和值域，实质上有两个关键要素：定义域和对应法则，因为值域通常可以由定义域和对应法则推出来，但是在解题时常常由于忘记了定义域而导致错误．
【正解】 (1)∵y＝的定义域与y＝x＋1的定义域不相同，∴两个函数不是同一函数．
(2)∵y＝－1与y＝x－1的对应关系不相同，
∴两个函数不是同一函数．
课堂小结
函数的概念既是本节课的重点也是本节课的难点，准确理解函数的概念，应明确以下几点：
(1)定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相同，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．
(2)y＝f(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应关系f可用一个解析式来表示．但在不少问题中，对应关系f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等．
(3)函数定义域是使函数有意义的自变量的范围，实际问题要结合自变量的实际意义求解．
(4)函数值域是函数值的集合，目前求函数值域仅限于在定义域下求二次函数、一次函数、反比例函数的值域.
1教学目标
了解关于天才的话题。
明确天才出现的原因。
2学情分析3重点难点4教学过程
4.1 第一学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.2 第二学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.3 第三学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
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