(共22张PPT)
2.4 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
新课导入
解不等式 < x - 1，并将解集在数轴上表示出来.
1+x
3
1
2
3
0
-1
-2
解：去分母，得 1 + x < 3x - 3.
移项、合并同类项，得 -2x < -4.
系数化为1，得x > 2.
解集在数轴上表示如图所示.
1
2
3
0
-1
-2
解一元一次不等式的步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：
实际问题
找相等关系
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
2. 将下列生活中的不等关系翻译成数学语言.
(1) 超过
(2) 至少
(3) 最多
＞
≥
≤
回顾与思考
问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午 7 点出发，到达山顶后休息 2 h，下午 4 点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是 3 km/h，回来时的平均速度是 4 km/h，他们最远能登上哪座山顶 (图中数字表示出发点到山顶的路程)？
一元一次不等式的应用
前面问题中涉及的数量关系是：
去时所花时间＋休息时间＋回来所花时间 ≤ 总时间.
解：设从出发点到山顶的距离为 x km，则他们去时所花时间为 h 回来所花时间为 h.
他们在山顶休息了 2 h，又上午 7 点到下午 4 点之间总共相隔 9 h，即所用时间应小于或等于 9 h.
所以有 ＋2＋ ≤ 9.
解得 x ≤ 12.
因此要满足下午 4 点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上 D 山顶.
例1 某种商品进价为 200 元，标价为 300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于 5%. 请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？
解：设该商品可以打 x 折销售.
则 (300×0.1x－200)÷200 ≥ 5％.
解得
x ≥ 7.
答：这种商品最多可以按七折销售.
分析： 本题涉及的数量关系是
(出售价－进价)÷进价≥利润率.
典例精析
例2 一次环保知识竞赛共有 25 道题，规定答对一道题得 4 分，答错或不答一道题扣 1 分.在这次竞赛中，小明被评为优秀(85 分或 85 分以上)，小明至少答对了几道题？
解： 设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的
共有 (25－x)道题.根据题意，得
4x－1×(25－x) ≥ 85.
解这个不等式，得 x ≥ 22.
答：小明至少答对了 22 道题.
分析： 本题涉及的数量关系是总得分≥85.
例3 当一个人坐下时，不宜提举超过 4.5 kg的重物，以免受伤. 小明坐在书桌前，桌上有两本各重 1.2 kg 的画册和一批每本重 0.4 kg 的记事本. 如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本. 问他最多只应搬动多少本记事本？
解：设小明最多只应搬动 x 本记事本，则
解得 x ≤ 5.25.
1.2×2＋0.4x ≤ 4.5.
答：小明最多只应搬动 5 本记事本.
由于记事本的数目必须是整数，所以 x 的最大值为 5.
分析: 本题涉及的数量关系是：
画册的总重+记事本的总重≤ 4.5 kg.
你能总结出用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤吗？
（1）审：认真审题找出不等关系；
（2）设：设出适当未知数；
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：解所列的不等式；
（5）答：根据实际情况写出答案.
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
实际问题
解不等式
列不等式
结合实际
确定答案
找出不等关系
设未知数
总结归纳
1. 小明家的客厅长 5 m，宽 4 m．现在想购买边长为 60 cm 的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？
解：设需要购买 x 块这样的地板砖，则有
5×4≤0.6×0.6x
解得 x≥55.6
由于地板砖的数目必须是整数，所以 x 的最小值为 56.
答：小明至少要购买 56 块地板砖.
2. 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果要获得不低于 900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
解： 设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x·10％ ≥ 900.
解得
x ≥ 125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
分析： 本题涉及的数量关系是：
销售额－成本－税费≥纯利润(900元).
随堂练习
1.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
B
2.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多只能安排___人种甲种蔬菜.
4
0.5 x 3x+0.8x2(10- x )≥15.6,
x ≤4.
3.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？
解：设她还可能买n支笔.根据题意，得
3n+ 2.2×2 ≤ 21.
解这个不等式，得 n ≤ .
因为在这一问题中n只能取正整数，
所以她还可能买1支、2支、3支、4支或5支.
83
15
在应用一元一次不等式解决实际问题时，要抓住题中的关键词，如“大于”“不大于”“至少”“不超过”等.
4.某市的一种出租车起步价为7元，起步路程为3 km(即开始行驶路程在3 km以内都需付7元)，超过3 km，每增加1km加价2.4元(不足1 km以1 km计价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费14.2元，问从甲地到乙地的路程最多是多少
解：设从甲到乙地的路程为x 公里，则由题意，可得
7 + 2.4 (x - 3) ≤ 14.2 ,
解得 x ≤6 .
所以 从甲地到乙地的路程最多是6 km.
一元一次不等式的应用
实际问题
↓
根据题意列不等式
↓
解一元一次不等式
→
→
根据实际问题找出符合条件的解集或特殊解
↑
得出解决问题的答案(共25张PPT)
2.4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
复习引入
1. 什么叫一元一次方程
答：“只含一个未知数、并且未知数的次数是 1 ”
的整式方程.解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
2. 不等式的基本性质：
不等式的性质1：不等式的两边都加 (或减) 同一个
整式，不等号的方向不变.
不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个
正数，不等号的方向不变.
不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个
负数，不等号的方向改变.
2.运用不等式基本性质把下列不等式化成 x > a或 x < a的形式.
①x - 4 < 6 ②2x > x - 5
③ x – 4 < 6 ④ x ≥ + x
解：① x < 10 ② x > - 5
③ x < 30 ④ x ≤ -
3.什么是不等式的解集？
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
不等式
数轴
4. 不等式的解集的表示方法：①用_______表示；②用_____表示.
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.
趣味阅读
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法.
合作探究
思考
观察下面的不等式：
(1) x－7＞26
(2) 3x－7＞26
(4) -4x＞3
它们有哪些共同特征？
左右两边都是整式；
都只含有一个未知数；
未知数的次数是 1.
一元一次不等式的概念
左右两边都是整式，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
一元一次不等式的定义
概括总结
练一练
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x＋2＞x－1 (2) 5x＋3＜ 0
(3) (4) x (x－1)＜2x
左边不是整式
化简后是
x2 －x＜2x
练习
在下面的关系式中，哪些是一元一次不等式？哪些不是？为什么？
① ； ② x+y ≥1； ③ y-1=3；
④ x2+1≥1； ⑤ .
① ；不是，左边含有 ，不是整式.
② x+y ≥1；不是，含有两个未知数x，y.
③ y-1=3；不是，用等号连接是等式.
④ x2+1≥1；不是，未知数最高次数是2.
⑤ ；是，符合一元一次不等式的定义.
合作探究
解不等式：
4x－1＜5x ＋15.
解方程：
4x －1 ＝ 5x ＋15.
解：移项，得
4x－5x＝15＋1.
合并同类项，得
－x＝16.
系数化为 1，得
x＝－16.
解：移项，得
4x－5x＜15＋1.
合并同类项，得
－x＜16.
系数化为 1，得
x＞－16.
解一元一次不等式
归纳总结
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为 x＝a 的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为 x＜a 或 x＞a 的形式.
例1 解不等式 3 - x < 2x + 6，并把它的解集表示在数轴上.
解：两边都加 -2x，得3 - x - 2x < 2x + 6 - 2x.
合并同类项，得3 - 3x < 6.
两边都加-3，得3- 3x - 3 < 6 - 3.
合并同类项，得-3x < 3.
两边都除以-3，得x > -1.
0
1
2
-1
-2
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
例2 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.
解：去分母，得3(x - 2) ≥ 2(7 - x).
去括号，得3x - 6 ≥ 14 - 2x.
移项、合并同类项，得5x ≥ 20.
两边都除以5，得x ≥ 4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
5
6
7
4
3
2
1
0
你能否归纳出解一元一次不等式的基本步骤？
步骤 依据 不等号的方向
不等式的基本性质2
去分母
不变
去括号
去括号
不变
移项
不等式的基本性质1
不变
合并同类项
合并同类项法则
不变
系数化为1
系数为正
不等式的基本性质2
不变
系数为负
不等式的基本性质3
改变
例1 解下列一元一次不等式 ：
(1) 2－5x ＜ 8－6x ；
(2)
解：
(1) 原不等式为 2－5x ＜ 8－6x.
将同类项放在一起
即 x ＜ 6.
移项，得 －5x＋6x ＜ 8－2，
计算结果
典例精析
首先将分母去掉
去括号，得 2x－10＋6≤9x.
去分母，得 2( x－5 )＋1×6≤9x.
移项，得 2x－9x≤10－6.
去括号
将同类项放在一起
(2) 原不等式为
合并同类项，得 －7x≤4.
两边都除以－7，得
x≥ .
计算结果
运用不等式的性质3
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.
议一议
1. 解下列不等式：
(1) －5x ≤ 10 ；
(2) 4x －3＜ 10x ＋ 7 .
2. 解下列不等式：
(1) 3x－1 ＞ 2(2－5x) ；
(2) .
x ≥ －2
x ＞
x ＞
x ≤
随堂练习
1. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.
（1）5x < 200； （2） ;
（3）x - 4 ≥ 2(x + 2)；（4） .
解：（1）x < 40
50
60
70
40
30
20
10
0
（2）x > -7
-2
-1
0
-3
-4
-5
-6
-7
（3）x ≤ -8
-4
-2
0
-6
-8
-10
-12
-14
4
3
2
1
0
-1
（4）x >
2. 求不等式 4(x + 1) ≤ 24的正整数解.
解：去括号，得 4x + 4 ≤ 24.
移项、合并同类项，得 4x ≤ 20.
两边都除以4，得 x ≤ 5.
所以原不等式的正整数解为 1,2,3,4,5.
3. y取何正整数时，代数式2(y - 1)的值不大于10 - 4(y - 3)的值.
解：根据题意列出不等式：
2(y - 1) ≤ 10 - 4(y - 3)
解这个不等式，得y ≤ 4，
不等式y ≤ 4的正整数解是：1，2，3，4.
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的概念
步骤
解一元一次不等式
→
