(共29张PPT)
1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三条内角的平分线
在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
A
B
C
情境引入
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
三角形的内角平分线
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢
试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你能写出证明过程吗？
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
AP 是∠BAC 的平分线
BP 是∠ABC 的平分线
PI = PH
PG = PI
PH = PG
点 P 在∠BCA的平分线上
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明结论
证明：过点 P 分别作边 AB，BC，CA 的垂线段 PD，PE，PF.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE. 同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点 P 在∠A 的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
解：连接 OC.
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 ( )
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180° － 70°＝110°.
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
B
【解析】∵ 点 P 到∠A 的两边的距离相等，
∴ P 在∠A 的平分线上.
∵ PA＝PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上.
∴ P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点.
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB，∠CBE
=∠ABE，且 AC = 6 cm，那么 AE + DE = .
C
A
B
E
D
6 cm
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
D. △ABC 三条高所在直线的交点
C
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，
∴CD＝DE (角平分线的性质).
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
CD = ED (已证)，
DF = DB (已知)，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等).
C
F
A
E
D
B
拓展思维
5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
l1
l2
l3
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
随堂演练
1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____.
5
A
O
E
B
P
C
2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________.
25°
A
C
B
D
E
3. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD；
（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
E
A
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
OP = OP，PC = PD，
∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）.
∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
O
C
D
B
P
E
A
（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，
∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
O
C
D
B
P
E
A
4. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180°，求证：AE = AD + BE.
A
C
B
E
D
A
C
B
E
D
F
证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质），
∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°.
∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°，
∴∠B ＝ ∠CDF，
∴△CBE ≌△CDF （AAS），
∴DF ＝ BE.
∵AF ＝ AD + DF，
∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE .
课堂小结
三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
三角形内角
平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题(共35张PPT)
1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 角平分线
新课导入
什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？
情境引入
如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？
( 比例尺为 1︰20000 )
D
C
S
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD ＝ 2.5 cm ，D 即为所求.
O
1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE⊥OB，点 D、E 为垂足，测量 PD、PE 的长. 将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系：____
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD=PE
C
O
B
A
P
D
E
实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任
意一点.
角平分线的性质
验证猜想
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO =∠PEO，
∠AOC =∠BOC，
OP = OP，
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
知识要点
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
判一判：(1) ∵ 如下左图，AD 平分∠BAC (已知)，
∴ ＝_____
( ).
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2) ∵ 如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB (已知).
∴ = _____
( ).
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC.垂足分别为 E，F.
求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB = FC.
例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
变式：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB = 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为______；
(2) 求△APB 的面积.
A
B
C
P
D
4
温馨提示：存在一条垂线段——构造应用
故 AB·PD = 28.
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
1. 应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
思考：交换角平分线的性质定理中的已知和结论，你能得到什么命题？它是真命题吗？
角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
角平分线的判定
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
作射线 OP.
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等)，
OP = OP ( 公共边 )，
PD = PE ( 已知 )，
B
A
D
O
P
E
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠AOP =∠BOP
验证猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识总结
例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：
过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.
∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上，
FG⊥AE，FM⊥BC，
∴ FG＝FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， FH⊥AD，FM⊥BC，
∴ FM＝FH.
∴ FG＝FH.
∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
O
N
M
A
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示.
P.
归纳总结
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
练习
如图，OP 平分∠AOB，PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，垂足分别是 C、D. 下列结论中错误的是（ ）
A. PC = PD
B. OC = OD
C. ∠CPO =∠DPO
D. OC = PO
D
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3. 已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB 的两边上，分别取 OM = ON，再分别过点 M，N 作 OA，OB 的垂线，交点为 P，画射线 OP，则 OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在 Rt△MOP 和 Rt△NOP 中，
OM = ON，
OP = OP，
∴ Rt△MOP≌Rt△NOP (HL).
∴∠MOP =∠NOP，即 OP 平分∠AOB.
例 1 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
∴在 Rt△ADE 中，
∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1
2
1
2
练习
判断下列推理是否正确
A
B
C
D
E
F
P
（1）如图，∵AD 平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
√
A
B
C
D
E
F
P
（2）如图，∵ PE = PF，
∴ AD 平分∠BAC （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
×
A
B
C
D
E
F
P
（3）如图，∵ 点 P 在∠BAC 的平分线上，
∴ PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
×
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ AD 平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
A
B
C
D
E
F
P
×
A
B
C
D
E
F
P
（5）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PE = PF，
∴点 P 在∠BAC 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
√
随堂演练
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点 C、点 B 的距离相等；②AD 上任意一点到 AB，AC 的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF. 其中，正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
2. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.
又∵BD = CD，
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
求证：P 在∠A的平分线上.
3. 已知：如图，PB、PC 分别是△ABC 的外角平分线， 相交于点 P.
A
B
C
P
H
E
G
A
B
C
P
证明：作 PE⊥AB，交 AB 延长线于 E. PH⊥BC 于 H，PG⊥AC，交 AC 的延长线于点 G，
∵BP 是角平分线，
∴PE = PH.
∵PC 是角平分线，
∴PH = PG.
∴PE = PG，
∴P 在∠A 的平分线上.
课堂小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
互逆命题
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
