(共32张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第4课时 等边三角形的判定及含 30° 角的
直角三角形的性质
新课导入
1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？
2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
新课探究
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些结论吗？
等边三角形的判定
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：AB = AC = BC.
∵∠A =∠ B，
∴ AC = BC.
∵∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
证明：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：AB＝AC＝BC.
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴∠A =∠B =∠C.
∴ AB = AC = BC.
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等
边三角形).
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是 60°.
A
C
B
60°
【验证】
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定
等边对等角
等角对等边
“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC，
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
（三个角都相等的三角形是等边三角形）
想一想：本题还有其他证法吗？
典例精析
变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD ＝ AE.
求证：△ADE 是等边三角形.
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ AD＝AE，
∴△ADE 是等腰三角形.
∴△ADE 是等边三角形.
（有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）
又∵∠A＝60°.
做一做
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗
操作：用两个含有 30° 角的三角板，
你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
合作探究
30°
30°
结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
含30°角的直角三角形的性质
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
猜想验证
30°
30°
提示：证明等边三角形
已知：如图在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°. 求证：BC = AB.
1
2
A
B
C
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°∴∠ACD = 90°
∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∵∠ACB = 90°,∠BAC= 30°∴∠ABC = 60°
∴△ABD 是等边三角形（有一个角是
60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC = BD = AB.
A
B
C
D
1
2
1
2
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
归纳总结
例 4 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB.
1
2
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.
1
2
1
2
随堂演练
1. 如图，折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，已知 BC = 12，∠B = 30°，∠C = 90°，则 DE 的长是________.
4
A
E
B
D
C
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的高，且 BD = 1，求 AD 的长.
B
C
D
A
B
C
D
A
解：在△BCD 中，∠BDC = 90°，
∴∠BCD = 30°，
∴ BC = 2BD = 2，
在△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠A = 30°，
∴AB = 2BC = 4，
∴AD = AB – BD = 4 – 1 = 3.
3. 房梁的一部分如图所示，其中，BC⊥AC，∠A = 30°，AB = 7.4 m，点 D 是 AB 的中点，且 DE⊥AC，垂足为 E，求 BC，DE 的长.
解：在△ABC 中，∠A = 30°，BC⊥AC，
∴BC = AB = 3.7 m.
又∵点 D 是 AB 的中点，
∴AD = BD = 3.7 m，
在△ADE 中，∠A = 30°，DE⊥AC，
∴DE = AD = 1.85 m.
1
2
1
2
4. 如图，△ABC 是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3. 判断△DEF 的形状，并简要说明理由.
1
2
3
A
B
C
D
E
F
1
2
3
A
B
C
D
E
F
∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C，
又∵∠1 =∠2 =∠3，
∴∠DAC =∠FCB =∠ABE.
∵ ∠DFE =∠DAC +∠3 ，
∠FED =∠2 +∠FCB，
∠EDF =∠1 +∠ABE，
∴∠DFE =∠FED =∠EDF，
∴△DEF 是等边三角形 .
解： △DEF 是等边三角形.
C
B
A
D
例2 如图，在△ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝ 2a，∠B＝∠ACB ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，求 CD 的长.
解：∵∠B＝∠ACB＝15°，(已知)
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵∠ADC＝90°，
∴ CD＝ AC＝a.
(在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = ∠B = 60°．
∴∠BCD = 30°．
∴ BD =
∴ BD =
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝
D
A
C
B
30°
1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则
△ABC 的周长为_____cm.木有图
9
2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则
AC =_____，BC =______．
A
B
C
3
30°
6
3. 已知：如图，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA，
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：
∵ AB＝BC，
∴△ABC 是等边三角形.
又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，
∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠EDF＝∠FDC＝60°.
又∵ DF∥ BA，
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°，∴∠ACD = 90°．
又∵ AC = AC．∴△ACB≌△ACD (SAS)．
∴ AB = AD．∵ CD = BC，∴ BC = BD．
又∵ BC = AB，∴ AB = BD．
∴ AB = AD = BD，即 △ABD 是等边三角形．
∴∠B = 60°．
在 Rt△ABC 中，∠BAC = 30°．
4. 已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = AB．
求证：∠BAC = 30°．（提示：证明等边三角形）
C
B
A
D
1. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
2. 含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°．
3. 数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想.
课堂小结(共31张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
复习引入
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
等腰三角形的两底角相等 (简写成“等边对等角”).
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上
的高互相重合(简写成 “三线合一”).
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论
分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形.
结论：两底角相等.
A
B
C
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
互动探究
等腰三角形的判定
新课探究
A
B
C
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
已知：在△ABC 中∠B =∠C，
求证：AB = AC.
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC ，其中∠B =∠C =30°，请你量一量 AB 与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
在 △ABD 与 △ACD 中，
∠B =∠C，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∠1 =∠2，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形
结论验证：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
等腰三角形的判定定理：
在△ABC 中，
∵∠B =∠C，
几何语言：
∴ AB = AC (等角对等边).
A
C
B
总结归纳
A
B
C
D
2
1
∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
典例精析
例2 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
证明：∵ AB = AC，
∴∠B =∠C.
又∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠ADE =∠AED.∴AD=AE
∴△ADE 为等腰三角形.
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
A
B
C
反证法
C
A
B
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
你能理解他的推理过程吗
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
总结归纳
用反证法证题的一般步骤
1. 假设： 先假设命题的结论不成立；
2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确.
例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
典例精析
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
随堂演练
1. 下列两个图形是否是等腰三角形？
75°
30°
40°
40°
是
是
2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由.
解：△BDE 是等腰三角形.
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
又∵DE∥BC，
∴∠DBC = ∠EDB，
∴∠ABD =∠EDB，
∴△BDE 是等腰三角形.
3. 如图，上午 10 时，一条船从 A 处出发以 20 海里每小时的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测∠NAC = 40°，∠NBC = 80°，求从 B 处到灯塔 C 的距离.
80°
40°
N
B
A
C
北
80°
40°
N
B
A
C
北
解：∠C = ∠CBN – ∠A = 80°– 40°= 40°，
∴∠C = ∠A，∴AB = BC，
AB = 20×（12 – 10）= 40（海里），
∴BC = 40 海里
4. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设结论不成立，
即：∠A___60°，∠B ___60°，∠C ___60°,
则∠A +∠B +∠C ＞180 °.
这与_____________________相矛盾.
所以______不成立，所求证的结论成立.
＞
＞
＞
三角形内角和等于180°
假设
5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 .
1
5
证明：假设这五个数是a1，a2，a3，a4，a5全部小于 ，那么这五个数的和 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 就小于 1.这与已知这五个数的和等于 1 相矛盾.因此假设不成立，原命题成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 .
1
5
1
5
E
2
1
A
B
C
D
72°
36°
③ 若 AD = 4 cm，则
1. 已知：如图，∠A = 36°，
∠DBC = 36°，∠C = 72°，
①∠1 = °， ∠2 = °；
② 图中有 个等腰三角形；
BC = cm；
72
36
3
4
个等腰三角形.
④ 若过点 D 作 DE∥BC ，
交 AB 于点 E ，则图中有
5
练习 2 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角， AD∥BC 且∠1 =∠2．求证：AB = AC．
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵ AD∥BC ，
∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠C，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC.
2. 已知：等腰三角形 ABC 的底角平分线 BD，CE 相交于点 O.
求证：△OBC 为等腰三角形.
A
B
C
D
E
O
证明：
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，
∠ACE＝∠ECB＝ ∠ACB.
∴∠DBC =∠ECB.
∴△OBC 是等腰三角形.
又∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB.
3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直
线中的一条相交，那么和另一条也相交.
已知：
直线 l1，l2，l3 在同一平面内，且 l1∥ l2 ，l3 与 l1相交于点 P.
求证：
l3 与 l2 相交.
l1
l2
l3
·P
l3 与 l2 不相交
l3∥l2
假设______________，
那么________.
证明：
这与“________________________________________ __________”矛盾.
所以___________，即求证的命题正确.
所以过直线 l2 外一点 P，有两条直线和 l2 平行，
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行
假设不成立
因为已知_________，
l1∥l2
l1
l2
l3
·P
证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∴ AN＝BM.
补充：如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM.手拉手模型
课堂小结
今天你学到了什么
1. 等腰三角形的判定定理：等角对等边.
2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和证明.
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立(共27张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第2课时 等边三角形的性质
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
情境引入
A
C
B
D
E
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
猜想：底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
你能证明你的猜想吗？
等腰三角形的重要线段的性质
如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线．
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：
求证：
BD = CE.
证明猜想
A
C
B
E
1
2
D
∵ AB = AC (已知)，
∴∠ABC =∠ACB (等边对等角).
证明：
∠2 = ∠ACB (已知)，
又∵∠1 = ∠ABC，
∴∠1 =∠2 (等式性质)．
在 △BDC 与 △CEB 中，
∠DCB =∠ EBC (已知)，
BC = CB (公共边)，
∠1 =∠2 (已证)，
∴
△BDC≌△CEB (ASA)．
∴
BD = CE (全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
D
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
BM = CN．
求证：
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 两腰上
的中线．
又∵ CM = AC，BN = AB，
证明：
∵ AB = AC (已知)，∴∠ABC =∠ACB.
在△BMC 与△CNB 中，
∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN，
∴△BMC≌△CNB (SAS)．
∴ BM = CN.
A
C
B
M
N
∴ CM = BN.
例3 证明： 等腰三角形两腰上的高相等．
BP = CQ．
求证：
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是
△ABC 两腰上的高．
证明：
∵ AB = AC (已知)，∴∠QBC =∠PCB.
在△BQC 与△CPB 中，
∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB，
∴△BQC≌△CPB (AAS).
∴ BP = CQ.
A
C
B
P
Q
还有其他的结论吗
新课探究
A
B
C
等腰三角形两个底角的角平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等.
议一议：
1. 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC.
(1) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，
那么 BD = CE 吗？ 为什么？
(2) 如果 ∠ABD = ∠ABC ，∠ACE = ∠ACB 呢？
如果∠ABD = ∠ABC ，
∠ACE = ∠ACB ， 那么
BD = CE 吗
分别将等腰三角形底边两端点与腰上某一点相连，如果两条连线与底边所夹的角相等，那么这两条连线段相等.
BD = CE
BD = CE
BD = CE
A
C
B
D
E
由此你能得到一个什么结论
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
(1) 如果 AD = AC，AE = AB，
那么 BD = CE 吗？ 为什么？
A
C
B
D
E
BD = CE
(2) 如果 AD = AC，AE = AB，
那么 BD = CE 吗？ 为什么？
BD = CE
A
C
B
D
E
由此你能得到一个什么结论
两腰上和顶点等距的两点到对角顶点的距离相等.
这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
(3) 如果 AD = AC，AE = AB，
那么 BD = CE 吗？ 为什么？
BD = CE
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
等边三角形的性质
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
C
B
证明：在△ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
同理∠A =∠B.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
定理证明
等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一。
A
B
C
等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
A
B
C
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（直线）.
随堂演练
1. 等边三角形的对称轴有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
2. 等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ）
A. 3条 B. 6条 C. 9条 D. 7条
C
A
3. 等边三角形 ABC 的周长等于21cm，
求：（1）各边的长；
（2）各角的度数.
A
B
C
解：（1）∵AB = BC = CA，
又 ∵AB + BC + CA = 21cm（已知）
∴AB = BC = CA = 21÷3 = 7（cm）
（2）∵AB = BC = CA，（已知）
∴∠A =∠B =∠C = 60°
（等边三角形的每个内角都等于60°）
4. 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE = CD.
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC 和△BDE 都是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC =∠DBE = 60°，
BE = BD，
∴△ABE ≌△CBD.（SAS）
∴AE = CD.
5. 已知：如图，D，E 分别是等边三角形 ABC 的两边 AB，AC 上的两点，且 AD = CE. 求证：CD = BE.
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC.
在△ADC 和△CEB 中，
AC = CB，AD = CE，∠A =∠BCE，
∴△ADC ≌ △CEB，
∴CD = BE.
B
C
D
A
E
例4 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，
BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
A
C
B
D
E
1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
cm.
12
证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∴ AN＝BM.
2. 如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM.手拉手模型
3. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个
全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，
∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三点共线，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (SAS).
∴∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.（8字模型）
F
变式：如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB 的大小吗？
D
C
A
B
E
O
方法与前面相同，∠AEB = 60°.
课堂小结
等边三角形的性质
2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °.
3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分
线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
1 .三条边相等.
等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.(共36张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
新课导入
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
角边角（ASA）：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
角角边（AAS）：
复习 八上的“平行线的证明”这一章中， 8 条基本事实
1. 两点确定一条直线.
2. 两点之间线段最短.
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直.
4. 同位角相等，两直线平行.
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.SAS
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.ASA
8. 三边分别相等的两个三角形全等.SSS
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路，写出证明过程.
全等三角形的判定和性质
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°（三角形内角和等于180°）.
∴∠C = 180°－（∠A +∠B），
∠F = 180°－（∠D +∠E），
∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） .
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC = EF（已知）.
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
问题：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，在顶点处系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中体现了什么数学原理吗
七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.
思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
定理：等腰三角形的两个底角相等.
问题引入
等腰三角形的性质及其推论
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
A
B
C
已知：△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B = ∠C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
定理：等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角).
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
如何证明两个角相等呢？
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线 AD，则 BD = CD.
AB = AC ( 已知 )，
BD = CD ( 已作 )，
AD = AD (公共边)，
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
在 △BAD 和 △CAD 中，
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
AB = AC ( 已知 )，
∠BAD = ∠CAD ( 已作 )，
AD = AD (公共边)，
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在 △BAD 和 △CAD 中，
想一想：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B =∠C 之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
可分解成下面三个方面来理解：
1. 等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
∵AB ＝ AC，
∠1 ＝∠2（已知）
∴BD ＝ DC，
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
2. 等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。
∵AB ＝ AC
BD ＝ DC （已知）
∴AD⊥BC
∠1 ＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
3. 等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
∵AB＝AC
AD⊥BC （已知）
∴BD＝DC
∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
随堂演练
1.（1）已知等腰三角形的一个角为 40°，则其它两个角分别为 。
（2）已知等腰三角形的一个外角为 70°，则这个三角形的三个内角分别为 。
70° 、70°或40°、100°
110° 、35° 、35°
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = AD，DC = AC，求∠B 的度数.
A
B
C
D
解：∵AB = AC，
∴∠B =∠C（等边对等角）.
同理可得∠B =∠BAD，∠CDA =∠CAD.
设∠B = x，则∠C =∠BAD = x，
∴∠CAD =∠CDA = 2x.
在△ADC 中，∠C +∠CDA +∠CAD =180°，
即 x + 2x +2x = 180°，∴ x = 36°，即∠B =36°.
3. △ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，DF⊥AC 于 F，DE ⊥ AB 于 E .
求证：D E＝ DF。
A
B
C
D
E
F
证明：连接 AD，
∵AB＝ AC，BD＝ DC（已知）
∴AD 是∠BAC 的平分线.
（等腰三角形三线合一）
又∵DE⊥AB DF⊥AC，
∴DE＝ DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
A
B
C
D
E
F
4. 已知：如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF.
求证：∠A =∠D.
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
证明： ∵BE＝ CF，
∴BE + CE＝ CF + EC，
∴BC = EF.
又∵AB = DE AC = DF，
∴△ABC ≌△DEF（SSS）.
∴∠A =∠D.
5. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 都在边 BC 上，且 AD = AE，那么 BD 与 CE 相等吗？请证明你的结论.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵AB = AC，
∴∠B =∠C（等边对等角）.
同理可得∠ADE =∠AED.
∴∠ADB =∠AEC.
∴△ABD ≌ △ACE（AAS）.
∴BD = CE.
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
证明后的定理和推论，以后可以直接运用.
总结归纳
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
等腰三角形的性质
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求△ABC 各角的度数.
典例精析
分析：(1) 找出图中所有相等的角；
(2) 指出图中有几个等腰三角形；
∠A =∠ABD，
∠C =∠BDC =∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
(3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢？
∠BDC =∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和
用含 x 的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∴ x + 2x + 2x = 180°.
A
B
C
D
解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.
设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，
从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x，
于是在 △ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°，在△ABC 中，
∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
归纳
例2 如图①，点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 若 BD＝CE，F 为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
分析：(1) 过 A 作 AG⊥BC 于 G，根据等腰三角形的性质得出 BG ＝CG，DG ＝ EG 即可证明；
(2) 先证 BF ＝ CF，再根据等腰三角形的性质证明．
图①
图②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∴ BG－DG＝CG－EG，即 BD＝CE.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，∴ BD＋DF＝CE＋EF，∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC，∴ AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．
∠C ＝∠D (答案不唯一)
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
__________；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为
______________________；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
75°，30°
72°，72°，或 36°，108°
30°，30°
结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
① 顶角＋2×底角＝180°
② 顶角＝180°－2×底角
③ 底角＝(180°－顶角)÷2
④ 0°＜顶角＜180°
⑤ 0°＜底角＜90°
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
