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第二十四章《圆》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【思路点拔】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则的度数为（ ）
A．60° B．120° C．75° D．150°
【思路点拔】连接OC，在直角△OCE中，即可求得∠COE的度数为60°，所以∠AOC＝120°，即可求解．
解：如图，连接OC，设CD与OB交于点E，
∵OEOBOC，
∴∠OCD＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的度数为120°．
故选：B．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系，正确解直角三角形，求得∠COE的度数是关键．
3．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①弦是直径，错误，符合题意；
②半圆是弧，正确，不符合题意；
③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；
④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意，
错误的有3个，
故选：C．
【点评】主要考查圆的认识，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【思路点拔】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【思路点拔】利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝72°，从而利用圆内接四边形的性质可求出∠D＝108°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键．
6．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
【思路点拔】根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，由此判断A、B选项；过点O作OF⊥AC于F，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项．
解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°．
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，
∴OF＝DE．
在直角△AFO中，OA＞OF．
∵OD＝OA，
∴DE＜OD．
故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．切线的性质：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
7．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【思路点拔】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧AB多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2023秒时点P的纵坐标为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【思路点拔】根据题意和图形，可以求得的长，然后由图可知，每走两个弧AB为一个循环，然后即可得到在第2023秒时点P的纵坐标，本题得以解决．
解：的长为：，
π＝2（秒），
如图，作CE⊥AB于E，与交于点D．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CEAC2＝1，
∴DE＝CD﹣CE＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P纵坐标为1；
第2秒时点P纵坐标为0；
第3秒时点P纵坐标为﹣1；
第4秒时点P纵坐标为0；
第5秒时点P纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
2023÷4＝505…3，
故在第2023秒时点P的纵坐标为﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
9．如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
【思路点拔】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．
解：连接P4P5，P5P6．
∵点P1～P8是⊙O的八等分点，
∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，
∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，
∵P5P4+P5P6＞P4P6，
∴P3P4+P7P6＞P1P3，
∴b﹣a＞0，
∴a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S扇形BOM＝S扇形DON，
∴S阴影＝S扇形DOC﹣S△DOC1×1，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝ ．
【思路点拔】由垂径定理得CECD＝5，设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，再在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，
∴CECD＝5，∠OEC＝90°，
设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，
即52+（x﹣2）2＝x2，
解得：x，
即OC，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
12．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝ 35 °．
【思路点拔】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABC＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝8，则圆心D的坐标是 （，2） ．
【思路点拔】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝4，OA，所以A（，0），B（0，4），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，
∴OBAB＝4，
∴OAOB，
∴A（，0），B（0，4），
∴D点坐标为（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝2，BC＝1，则⊙O的半径为 ．
【思路点拔】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．
解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB＝2，
∴AE＝EB＝2，
∵BC＝1，
∴EC＝3，
∴AC，
∴OA＝OCAC．
故答案为：．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 （0，13） ．
【思路点拔】过点A作AC⊥x轴于C，AD⊥OP于D，连接AB，根据切线的性质得到AB⊥PB，根据直角三角形的性质求出PA，根据勾股定理求出PD，进而求出OP，得到答案．
解：过点A作AC⊥x轴于C，AD⊥OP于D，连接AB，
则四边形ADOC为矩形，
∵点A的坐标为（6，5），
∴AD＝OC＝6，OD＝AC＝5，
∵⊙A与x轴相切，PB与⊙A相切于点B，
∴AB＝AC＝5，AB⊥PB，
在Rt△APB中，∠APB＝30°，
则PA＝2AB＝10，
∴PD8，
∴OP＝5+8＝13，
∴点P的坐标为（0，13），
故答案为：（0，13）．
【点评】本题考查的是切线的性质、坐标与图形性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 2 ．
【思路点拔】由P在直线y＝﹣x+8上，设P（m，8﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．
解：∵P在直线y＝﹣x+8上，
∴设P坐标为（m，8﹣m），
连接OQ，OP，
由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，
∴PQ2＝m2+（8﹣m）2﹣（2）2＝2m2﹣16m+52＝2（m﹣4）2+20，
则当m＝4时，切线长PQ的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
【思路点拔】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC，BC2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵ODBC，
∴DE，
∴阴影部分的面积是：2×2，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，C是OB的中点，D是上一点，把CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AE，则AE的最小值是 24 ．
【思路点拔】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝4，由AE≥AT﹣ET＝24，可得结论．
解：如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．
∵OA＝OB＝4，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝2，
∴AH＝AO+OH＝6，
∴AT2，
∵∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠TCE，
在△OCD和△TCE中，
，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝4，
∵AE≥AT﹣ET＝24，
∴AE的最小值为24．
故答案为：24．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共8小题）
19．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：2.236）
【思路点拔】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；
（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．
解：（1）如图②中，连接AO．
∵CD⊥AB，CD经过圆心O，
∴AC＝CB＝0.9m，
∴OC1.2（m），
∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），
∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；
（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．
∵CD⊥EF，CD经过圆心，
∴EJ＝JF＝1m，
∴OJ1.118，
∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），
∵0.5＞0.082，
∴搬运该桌子时能够通过拱门．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【思路点拔】（1）由垂径定理，勾股定理即可求解；
（2）连接AC，延长AF交BD于N，由线段垂直平分线的性质推出AF＝AC，得到∠C＝∠AFC，由圆周角定理推出∠B＝∠AFC，由∠EAF+∠AFC＝90°，得到∠EAF+∠B＝90°，因此∠ANB＝90°，即可证明问题．
（1）解：连接OD，
∵M是CD的中点，
∴OM⊥CD，DMCD12＝6，
∵OM＝3，
∴OD3，
∴圆O的半径长是3；
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于N，
∵CE＝EF，AB⊥CD，
∴AF＝AC，
∴∠C＝∠AFC，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠AFC，
∵∠EAF+∠AFC＝90°，
∴∠EAF+∠B＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AF⊥BD．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质推出∠EAF+∠B＝90°．
21．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
【思路点拔】（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得BCAB＝6，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝45°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
（1）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BCAB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC sin45°＝63，
∴线段BF的长为3．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
【思路点拔】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据余弦的定义求出AC；
（Ⅱ）根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD＝EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．
解：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C为的中点，
∴，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝AB cos∠CAB＝3；
（Ⅱ）∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，
则BC4，
∵OD⊥BC，
∴ECBC＝2，
∴FD＝2．
【点评】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
23．如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠CAD＝60°，∠ACD＝35°，∠ACB＝90°，△ABC的外接圆交CD于点E，AC所对的圆心角的度数为120°．
（1）求证：AD是△ABC的外接圆的切线；
（2）若△ABC的外接圆的半径为3，求的长．
【思路点拔】（1）连接OC．证出OA⊥AD．由切线的判定可得出结论；
（2）连接OE．求出∠COE的度数，由弧长公式可得出答案．
（1）证明：如图，设圆心为点O，连接OC．
∵ 所对圆心角的度数为120°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵∠CAD＝60°，
∴∠OAD＝∠OAC+∠CAD＝90°．
∴OA⊥AD．
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∴OA是⊙O的半径．
∴AD是△ABC外接圆的切线．
（2）解：连接OE．
∵∠OCA＝30°，∠ACD＝35°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝30°+35°＝65°．
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCD＝65°，
∴∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
∴的长．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）如图2，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，DF⊥DE，交BC于点F，求证：AE＝BF；
（3）在（2）的条件下，若AE＝1，CF＝2，求DF的长．
【思路点拔】（1）由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）由“ASA”可证△AED≌△BFD，可得AE＝BF；
（3）由勾股定理可求EF的长，由题意可证△EDF是等腰直角三角形，可得EFED，即可求解．
（1）证明：连接BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
又∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AD＝DC＝BDAC；
（2）证明：如图2，连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
由（1）可知：AD＝DC＝BDAC，∠CBD＝∠C＝45°，
∴∠A＝∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG＝90°，
∴∠FDB+∠BDG＝90°，
∵∠EDA+∠BDG＝90°，
∴∠EDA＝∠FDB，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE＝BF；
（3）解：连接EF，
∵△AED≌△BFD，
∴DE＝DF，
∵∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∵AE＝BF，AE＝1，
∴BF＝1，
∵CF＝2，
∴AB＝BC＝3，
∴BE＝2，
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，
根据勾股定理得：EF2＝EB2+BF2，
∴EF，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，
∴由勾股定理得EFED，
∵EF，
∴DF＝DE．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．
（1）求证：∠CAD＝∠DAB；
（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；
（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）由角平分线定义得到∠CDM＝∠ADM，由等腰三角形的性质，余角的性质推出∠CDM＝∠CAD，由直角三角形的性质即可求出∠CAD的度数；
（3）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠DOE＝60°，由直角三角形的性质求出DF，OF，OD的长，求出扇形ODE的面积，△ODF的面积，即可求出阴影的面积．
（1）证明：∵DM＝DE，
∴，
∴∠CAD＝∠DAB；
（2）解：连接OM，OD，作OH⊥MD于H，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴∠MDC+∠MDO＝90°，
∵OM＝OD，OH⊥MD，
∴∠DOH∠MOD，
∵∠CAD∠MOD，
∴∠CAD＝∠DOH，
∵∠DOH+∠MDO＝90°，
∴∠DOH＝∠CDM，
∴∠CAD＝∠CDM，
∵DM平分∠ADC，
∴∠CDM＝∠ADM，
∵∠CAD+∠ADM+∠CDM＝90°，
∴∠CAD＝30°；
（3）解：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠DOB＝∠DAB+∠ADO＝2∠B，
∵∠DOB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵AD＝6cm，
∴DFAD＝3cm，
∴OFFDcm，
∴OD＝2OF＝2cm，
∴扇形ODE的面积2π（cm2），△ODF的面积OF DF3（cm2），
∴阴影的面积＝扇形ODE的面积﹣△ODF的面积＝（2π）（cm2）．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形的性质，余角的性质推出∠CDM＝∠CAD；由直角三角形的性质求出DF，OF，OD的长，∠DOE＝60°．
26．【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最短距离为 ．
【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．
【灵活运用】（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是 ．
【思路点拔】（1）连接AP、OP，当点P在OA上时，PA最短，即可得出答案；
（2）连接OA，交半圆于P′，连接OP，先由勾股定理得OA，当点P在OA上时，AP最短，即可得出答案；
（3）取AB中点O，连接OP、OC、PC，先证△ABM≌△BCN（SAS），得∠BAM＝∠CBN，再证∠APB＝90°，得点P在以AB为直径的⊙O上运动，由勾股定理得OC＝3，进而得出答案；
（4）连接OA、OB，先证△AOB是等边三角形，得∠AOB＝60°，则∠ACB∠AOB＝30°，再证点M在以∠ADB＝120°的⊙D上，AB＝4，S△ABM最大，则点M到AB的距离最大，然后证△ABM是等边三角形，进而得出答案．
【解答】解：（1）连接AP、OP，如图4所示：
∵⊙O的半径为2，
∴OP＝2，
∴OA﹣OP＝5﹣2＝3，
∴PA≥OA﹣OP，
∴PA≥3，
∴当点P在OA上时，PA最短，最小值为3，
故答案为：3；
（2）连接OA，交半圆于P′，连接OP，如图1所示：
∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，
∴OP＝OCBC＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴OA，
∵AP≥OA﹣OP，
∴AP1，
∴当点P在OA上时，AP最短，最小值为1，
故答案为：1；
（3）点P到点C的最短距离为33，理由如下：
取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图2所示：
∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，
∴BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6，∠ABM＝∠BCN＝90°，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠BAM+∠ABN＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，
∵OP＝OA＝OBAB＝3，OC3，
又∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥33，
∴PC的最小值为33；
（4）连接OA、OB，如图3所示：
∵OA＝OB＝4＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB∠AOB60°＝30°，
∵AM⊥AC，
∴∠M＝60°，
∴点M在以∠ADB＝120°的⊙D上，
∵AB＝4，S△ABM最大，则点M到AB的距离最大，
∴当AM＝BM时点M到AB的距离最大，
∴△ABM是等边三角形，
∴S△ABMABAB44＝4，
故答案为：4．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、三角形三边关系、勾股定理、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考压轴题型．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章《圆》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则的度数为（ ）
A．60° B．120° C．75° D．150°
3．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
6．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
7．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
8．在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧AB多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2023秒时点P的纵坐标为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
9．如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
10．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝ ．
12．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝ °．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝8，则圆心D的坐标是 ．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝2，BC＝1，则⊙O的半径为 ．
15．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
16．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，C是OB的中点，D是上一点，把CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AE，则AE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：2.236）
20．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
21．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
22．已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
23．如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠CAD＝60°，∠ACD＝35°，∠ACB＝90°，△ABC的外接圆交CD于点E，AC所对的圆心角的度数为120°．
（1）求证：AD是△ABC的外接圆的切线；
（2）若△ABC的外接圆的半径为3，求的长．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）如图2，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，DF⊥DE，交BC于点F，求证：AE＝BF；
（3）在（2）的条件下，若AE＝1，CF＝2，求DF的长．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．
（1）求证：∠CAD＝∠DAB；
（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；
（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．
26．【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最短距离为 ．
【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．
【灵活运用】（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是 ．
