11.1.2 三角形的高、中线与角平分线专项练习（含解析）

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三角形中线，高线，角平分线 专项练习
1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
3．如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知：　 　，结论：　 　．（填序号）
理由：　 　．
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝　 　．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
5．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
6．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
7．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
9．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．
三角形中线，高线，角平分线 专项练习
1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【思路点拔】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求AC的长度．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC﹣AB＝5cm，是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
【思路点拔】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE∠BAC，而∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可．
解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°
∵AE是的角平分线
∴∠BAE∠BAC＝45°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°
∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°
【点评】本题考查了三角形内角和定理．关键是利用三角形内角和定理求解．
3．如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知：　①②或①③或②③　，结论：　③或②或①　．（填序号）
理由：　见解析部分　．
【思路点拔】根据平行线的性质与判定可进行求解．
解：已知：①②，结论：③；
理由：∵∠B＝∠ADG，
∴DG∥BC，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴EF∥CD，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB；
已知：①③，结论：②；
理由：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠B＝∠ADG；
已知：②③，结论：①；
理由：∵∠B＝∠ADG，
∴DG∥BC，
∴∠2＝∠DCB，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠DCB，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝　15°　．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；
（3）根据（2）中所得解答即可．
解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠CAD＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°（∠B+∠C）]（∠C﹣∠B），
∵∠C﹣∠B＝30°，
∴∠DAE30°＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵∠C﹣∠B＝α，
∴∠DAEα．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．
5．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
【思路点拔】延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，然后利用中线的性质和已知条件证明△ADC≌△GDB（SAS），接着利用全等三角形的性质和已知条件再证明△DAC≌△HEB（SAS）即可解决问题．
解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质与判定，同时也利用了等边三角形的性质与判定，有一定的综合性，对于学生的要求比较高．
6．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【思路点拔】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°．
或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．
7．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【思路点拔】根据三角形中线的特点进行解答即可．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，然后根据角平分线定义得∠BAE∠BAC＝40°；
（2）由于AD⊥BC，则∠ADE＝90°，根据三角形外角性质得∠ADE＝∠B+∠BAD，所以∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算；
（3）根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，再根据角平分线定义得∠BAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°（∠B+∠C），加上∠ADE＝∠B+∠BAD＝90°，则∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用角的和差得∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）（∠B﹣∠C），即∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半．
解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC＝40°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C＝40°，
∴∠DAE40°＝20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．
9．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【思路点拔】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．
【思路点拔】根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝4，（2分）
即AB﹣AC＝4①，
又AB+AC＝14②，
①+②得．2AB＝18，
解得AB＝9，
②﹣①得，2AC＝10，
解得AC＝5，
∴AB和AC的长分别为：AB＝9，AC＝5．（4分）
【点评】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，根据周长的差得出边AB与AC的差等于4是解题的关键．