22.2 二次函数与一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1若方程2x2+bx+c=0的两个根分别为-2,3,则抛物线y=2x2+bx+c与x轴的两个交点间的距离是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为( )
A.- B.
C.-4 D.4
3抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为 .
知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系
4 [教材再开发·P47习题T5变式]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3,0),对称轴是直线x=1,当y>0时,自变量x的取值范围是 .
5二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)直接写出方程ax2+bx+c=2的根;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c>0的解集.
知识点3 利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值
6根据下表:
x -3 -2 -1 … 4 5 6
x2-bx-5 13 5 -1 … -1 5 13
确定方程x2-bx-5=0的解的取值范围是( )
A.-2B.-2C.-3D.-3练易错 混淆与x轴的交点和与坐标轴的交点而出错
7已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为 .
8如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,那么关于x的方程ax2+bx+c=-1的根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个不相等实数根
9抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有两个交点,则k的取值范围是( )
A.k≥- B.k>-
C.k≥-且k≠0 D.k>-且k≠0
10抛物线y=(m-1)x2+2x+m与坐标轴有且只有两个交点,下列m的取值中,不满足要求的是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
11二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=-1,则y>3时,该函数的自变量x的取值范围是 .
12(2024·十堰期中)汽车刹车后行驶的距离s(米)与行驶时间t(秒)的函数关系是s=15t-6t2,汽车从刹车到停下来这段时间里,最后1秒行驶了 米.
13(2024·临沂期中)已知二次函数y=-x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围.
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,若点Q是第一象限的抛物线上的一个动点,当S△ABQ=3时,求点Q的坐标.
14新趋势·运算能力、几何直观
如图,在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2-2x-3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,将这个组合的图象记为M.
(1)若直线y=x+n与图象M恰好有3个交点,求n的值.
(2)若直线y=x+n与图象M恰好有2个交点,求n的取值范围.22.2 二次函数与一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1若方程2x2+bx+c=0的两个根分别为-2,3,则抛物线y=2x2+bx+c与x轴的两个交点间的距离是(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
2抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为(B)
A.- B.
C.-4 D.4
3抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为 (-3,0),(2,0) .
知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系
4 [教材再开发·P47习题T5变式]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3,0),对称轴是直线x=1,当y>0时,自变量x的取值范围是 x<-1或x>3 .
5二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)直接写出方程ax2+bx+c=2的根;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c>0的解集.
解:(1)方程ax2+bx+c=2的根为x1=x2=2;
(2)当10,即ax2+bx+c>0,所以不等式ax2+bx+c>0的解集为1知识点3 利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值
6根据下表:
x -3 -2 -1 … 4 5 6
x2-bx-5 13 5 -1 … -1 5 13
确定方程x2-bx-5=0的解的取值范围是(A)
A.-2B.-2C.-3D.-3练易错 混淆与x轴的交点和与坐标轴的交点而出错
7已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为 1或- .
8如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,那么关于x的方程ax2+bx+c=-1的根的情况是(D)
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个不相等实数根
9抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有两个交点,则k的取值范围是(D)
A.k≥- B.k>-
C.k≥-且k≠0 D.k>-且k≠0
10抛物线y=(m-1)x2+2x+m与坐标轴有且只有两个交点,下列m的取值中,不满足要求的是(A)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
11二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=-1,则y>3时,该函数的自变量x的取值范围是 -212(2024·十堰期中)汽车刹车后行驶的距离s(米)与行驶时间t(秒)的函数关系是s=15t-6t2,汽车从刹车到停下来这段时间里,最后1秒行驶了 6 米.
13(2024·临沂期中)已知二次函数y=-x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围.
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,若点Q是第一象限的抛物线上的一个动点,当S△ABQ=3时,求点Q的坐标.
解:(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点,∴-x2+2x+m=0中Δ>0,
即22-4×(-1)·m>0,解得m>-1.
(2)将A(3,0)代入抛物线得,-9+6+m=0,解得m=3,∴y=-x2+2x+3,
∴对称轴为直线x=-=1.
当x=0时,y=3,∴B(0,3).
设直线AB的解析式为y=tx+n,将B(0,3),A(3,0)代入得解得
∴y=-x+3.
当x=1时,y=-1+3=2,∴P(1,2).
(3)连接OQ,BQ,AQ,设点Q(q,-q2+2q+3),
S△ABQ=S△OBQ+S△OAQ-S△OAB=×3·q+×3(-q2+2q+3)-×3×3=-q2+q=3,解得q1=1,q2=2,
∴Q(1,4)或Q(2,3).
14新趋势·运算能力、几何直观
如图,在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2-2x-3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,将这个组合的图象记为M.
(1)若直线y=x+n与图象M恰好有3个交点,求n的值.
(2)若直线y=x+n与图象M恰好有2个交点,求n的取值范围.
解:(1)如图,当y=0时,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,则A(-1,0),B(3,0),
当直线y=x+n经过B(3,0)时,+n=0,解得n=-;当直线y=x+n与抛物线y=x2-2x-3有唯一公共点时,方程x2-2x-3=x+n的Δ=0,解得n=-,
所以当直线y=x+n与图象M恰好有3个交点时,n=-或n=-.
(2)当直线y=x+n经过点A(-1,0)时,-+n=0,解得n=,观察图象,若直线y=x+n与图象M恰好有2个交点,则n的取值范围为-
