第2课时 最大利润问题
知识点 应用二次函数解决利润有关的问题
1(2024·南平期中)某超市销售某款商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为y=-x2+10x+125,则销售这款商品每天的最大利润为 ( )
A.125元 B.150元 C.175元 D.200元
2某商品现在的售价为每件50元,每星期可卖出200件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x之间的关系式为 ( )
A.y=50(200+20x)
B.y=200(50-20x)
C.y=(50-x)(200+20x)
D.y=(50-x)(200-20x)
3[教材再开发·P50探究2变式]一种商品每件的进价为100元,在某段时间内以每件a元的价格出售,可卖出(200-a)件.若要使利润最大,则商品的定价为 元.
4(2024·杭州期中)为了让农民能种植高产、易发芽的种子,某农科实验基地大力开展种子实验.该实验基地两年前有100种种子,经过两年不断地努力,现在已有144种种子.若培育的种子平均每年的增长率为x,则x的值为 .
5(2024·德州期中)小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯,销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:y=-10x+500,在销售过程中销售单价不低于进价,而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得1 500元的利润
(3)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润
6进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为 ( )
A.y=a(1-2x) B.y=2a(1-x)
C.y=a(1-x)2 D.y=a(1-x2)
7(2024·温州期中)亚运会期间,我市宾馆预订火爆.某宾馆有150间标准房,当标准房价格为100元时,每天都客满.市场调查表明单间房价在100~200元内(含100元和200元)浮动时,每提高10元,日均入住数减少6间.如果不考虑其他因素,为使客房的日营业收入最大,宾馆可将标准房价格提高 ( )
A.100元 B.75元 C.50元 D.25元
8某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为 ( )
A.36万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
9(2024·聊城模拟)某超市购进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系,则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元.(利润=总销售额-总成本)
10东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具,每件成本价为30元,每件玩具销售单价x(元)与每天的销售量y(件)的关系如表:
x(元) … 35 40 45 50 …
y(件) … 750 700 650 600 …
若每天的销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数,
(1)求y与x的函数关系式;
(2)设东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润为w(元),当销售单价x为何值时,每天可获得最大利润 此时最大利润是多少
11新趋势·模型观念、应用意识
某商品每件进价是20元,在试销阶段该商品的日销售量y(件)与商品的日销售单价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定,该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元).
(1)直接写出y与x的函数关系式,并写出相应自变量x的取值范围;
(2)若日销售单价x(元)为整数,则当日销售单价x(元)为多少时,该商品每天的销售利润最大 最大利润是多少
(3)若该商品每天的销售利润不低于1 200元,直接写出日销售单价x的取值范围为________ . 第3课时 建立坐标系解决实际抛物线问题
知识点 建立坐标系解决抛物线型实际问题
1[教材再开发·P51探究3变式]如图,一座抛物线形拱桥,桥下水面宽度是6 m时,拱顶到水面的距离是3 m,则当水面宽为4 m时,水面上升了 (D)
A. m B.1 m C. m D. m
2(2024·厦门期中)有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下水面宽度为20米,拱顶距离水平面4米,如图建立平面直角坐标系,若正常水位时,桥下水深6米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18米,则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行 (B)
A.6.24米 B.6.76米 C.7米 D.7.24米
3如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间
t= 2 s.
4某菜农搭建一个横截面为抛物线形状的大棚如图所示,大棚跨度AB为6米,最高点C到地面的高度CD为2.5米,若菜农身高为1.6米,则他在不弯腰的情况下在大棚里左右活动的范围是 3.6 米.
5要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉,在广场中央竖直安装一根水管.在水管的顶点安一个喷水头,使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1 m处达到最高,且最高为3 m,水柱落地处离广场中央3 m,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求水管的长度.
(3)当音乐喷泉开始喷水时,在广场中央有一身高为1.5 m的男孩未及时跑到喷泉外,问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时,才不会淋湿衣裳
解:(1)设y=a(x-1)2+3,
∵点(3,0)在此抛物线上,
∴0=a(3-1)2+3,得a=-,即抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3.
(2)当x=0时,y=-×(0-1)2+3=2,
答:水管的长度是2 m.
(3)当y=1.5时,1.5=-(x-1)2+3,
解得,x1=1+,x2=1-,
∴当06(2024·合肥质检)如图,一座拱桥的轮廓是抛物线形,桥高10米,拱高8米,跨度
24米,相邻两支柱间的距离均为6米,则支柱MN的长度为 (D)
A.6米 B.5米 C.4.5米 D.4米
7(2024·衢州质检)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,如图,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-x2+x+2,由此可知铅球推出的距离是
10 m.
8(2024·深圳三模)如图,在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线,抛物线解析式的二次项系数为-0.1,已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米,距地面均为1米,以甲所在的地面的O点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)身高为1.65米的小红也想参加这个活动,请问她在跳绳时,头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米 (假定当绳甩到最高处时,学生双脚处于落地状态).
解:(1)设抛物线的函数解析式为y=-0.1x2+bx+c,
由题意可知(0,1)和(6,1)都在该抛物线上,
∴解得
∴抛物线的函数解析式为y=-0.1x2+0.6x+1.
(2)∵y=-0.1x2+0.6x+1=-0.1(x-3)2+1.9,∴当x=3时,y最大=1.9,
∴甩绳与地面最大竖直距离为1.9米,
∵1.9-1.65=0.25(米),
∴她在跳绳时,头顶与甩绳之间的最大竖直距离为0.25米.
9新趋势·模型观念、应用意识
如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).
(1)若h=1.5,EF=0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围.
(2)若EF=1 m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.
解:(1)①由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,
设y=a(x-2)2+2,
又∵抛物线过点(0,1.5),
∴1.5=4a+2,∴a=-,
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+2,
当y=0时,0=-(x-2)2+2,
解得x1=6,x2=-2(舍去),
∴喷出水的最大射程OC为6 m;
②∵上边缘抛物线的对称轴为直线x=2,
∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的,
∴点B的坐标为(2,0);
③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,
∴0.5=-(x-2)2+2,解得x=2±2,
∵x>0,∴x=2+2,
当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5,则x≤2+2,
∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+2,
∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,
∴d的最大值为2+2-3=2-1,
再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB,∴d的最小值为2,
综上所述,d的取值范围是2≤d≤2-1;
(2)当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,
设点D(m,-(m+2)2+h+0.5),F(m+3,-(m+3-2)2+h+0.5),
则有-(m+3-2)2+h+0.5-[-(m+2)2+h+0.5]=1,解得m=2.5,
∴点D的纵坐标为h-,
∴h-=0,∴h的最小值为.
阶段测评 请做 “单元提优测评卷(二)”“期中满分冲刺卷A、B”第2课时 最大利润问题
知识点 应用二次函数解决利润有关的问题
1(2024·南平期中)某超市销售某款商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为y=-x2+10x+125,则销售这款商品每天的最大利润为 (B)
A.125元 B.150元 C.175元 D.200元
2某商品现在的售价为每件50元,每星期可卖出200件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x之间的关系式为 (C)
A.y=50(200+20x)
B.y=200(50-20x)
C.y=(50-x)(200+20x)
D.y=(50-x)(200-20x)
3[教材再开发·P50探究2变式]一种商品每件的进价为100元,在某段时间内以每件a元的价格出售,可卖出(200-a)件.若要使利润最大,则商品的定价为 150 元.
4(2024·杭州期中)为了让农民能种植高产、易发芽的种子,某农科实验基地大力开展种子实验.该实验基地两年前有100种种子,经过两年不断地努力,现在已有144种种子.若培育的种子平均每年的增长率为x,则x的值为 20% .
5(2024·德州期中)小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯,销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:y=-10x+500,在销售过程中销售单价不低于进价,而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得1 500元的利润
(3)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润
解:(1)由题意,得w=(x-15)(-10x+500)=-10x2+650x-7 500,
∵15≤x≤15(1+60%),∴15≤x≤24,
∴w=-10x2+650x-7 500(15≤x≤24).
(2)令w=1 500,即-10x2+650x-7 500=1 500,解得x1=20,x2=45.
∵15≤x≤24,∴x=20.即当销售单价定为20元时,每月可获得利润1 500元.
(3)w=-10x2+650x-7 500,
对称轴为直线x=-=.
∵a=-10<0,∴抛物线开口向下.
∵其对称轴为直线x=,15≤x≤24,∴当x=24时,w最大,即当销售单价定为24元时,每月可获得最大利润.
6进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为 (C)
A.y=a(1-2x) B.y=2a(1-x)
C.y=a(1-x)2 D.y=a(1-x2)
7(2024·温州期中)亚运会期间,我市宾馆预订火爆.某宾馆有150间标准房,当标准房价格为100元时,每天都客满.市场调查表明单间房价在100~200元内(含100元和200元)浮动时,每提高10元,日均入住数减少6间.如果不考虑其他因素,为使客房的日营业收入最大,宾馆可将标准房价格提高 (B)
A.100元 B.75元 C.50元 D.25元
8某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为 (D)
A.36万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
9(2024·聊城模拟)某超市购进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系,则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 800 元.(利润=总销售额-总成本)
10东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具,每件成本价为30元,每件玩具销售单价x(元)与每天的销售量y(件)的关系如表:
x(元) … 35 40 45 50 …
y(件) … 750 700 650 600 …
若每天的销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数,
(1)求y与x的函数关系式;
(2)设东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润为w(元),当销售单价x为何值时,每天可获得最大利润 此时最大利润是多少
解:(1)设函数关系式为y=kx+b,
把(35,750),(40,700)代入y=kx+b,
得解得
所以函数关系式为y=-10x+1 100.
(2)根据题意可得:
w=y(x-30)=(-10x+1 100)(x-30)=-10x2+1 400x-33 000
∵-10<0,
∴当x=-=70时,w有最大值,此时w=-10×702+1 400×70-33 000=16 000,
故当销售单价为70元时,每天可获得最大利润,最大利润是16 000元.
11新趋势·模型观念、应用意识
某商品每件进价是20元,在试销阶段该商品的日销售量y(件)与商品的日销售单价x(元)之间的关系如图中的折线ABC所示(物价局规定,该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元).
(1)直接写出y与x的函数关系式,并写出相应自变量x的取值范围;
(2)若日销售单价x(元)为整数,则当日销售单价x(元)为多少时,该商品每天的销售利润最大 最大利润是多少
(3)若该商品每天的销售利润不低于1 200元,直接写出日销售单价x的取值范围为________ .
解:(1)设y=kx+b(k≠0),
当20≤x≤30时,把(20,200),(30,100)代入得解得
∴y=-10x+400;
当30∴y=-4x+220,
综上,y=
(2)设销售利润为w元,
当20≤x≤30时,w=(x-20)(-10x+400)=-10x2+600x-8 000=-10(x-30)2+1 000,
∴当x=30时,w最大为1 000元;
当30∵x为整数,∴x=37或x=38时,w取最大值-4×+1 225=1 224(元);
综上所述,当日销售单价为37元或38元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润是1 224元;
(3)由(2)知,当20≤x≤30时,该商品每天的销售利润最大为1 000元,
∴只有在30∴-4(x-37.5)2+1 225≥1 200,
解得35≤x≤40,
∴日销售单价x的取值范围是35≤x≤40.
答案:35≤x≤4022.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形面积问题
知识点1 利用二次函数解决最值问题
1如图,已知二次函数的图象(0≤x≤1+2),关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是(C)
A.有最大值2,无最小值
B.有最大值2,有最小值1.5
C.有最大值2,有最小值-2
D.有最大值1.5,有最小值-2
2已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
3已知抛物线y=x2-4x+3,当3≤x≤4时,则该二次函数的最小值为 0 .
知识点2 利用二次函数解决图形面积的最值问题
4如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=8,则四边形ABCD的面积的最大值是(C)
A.4 B.6 C.8 D.10
5已知一个直角三角形的两直角边长度之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是(B)
A.25 cm2 B.50 cm2
C.75 cm2 D.不确定
6生活情境题用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,那么这个窗户的最大透光面积为(B)
A. m2 B. m2 C.2 m2 D.4 m2
7(2024·阜阳期中)在菱形ABCD中,对角线AC,BD的和是20 cm,则这个菱形的面积的最大值是 50 cm2.
练易错 实际问题中忽视自变量的取值范围而致错
8如图,计划用总长为43 m的篱笆围成一个矩形鸡舍ABCD,其中一边AB是墙(可利用的墙的长度为21 m),中间共留两个1 m的小门,设篱笆BC长为x m.
(1)AB的长为________m(用含x的代数式表示);
(2)求矩形鸡舍ABCD面积S的最大值及此时篱笆BC的长.
解:(1)由题意得,
AB=43-3x+2=(45-3x) m;
答案:(45-3x)
(2)根据题意得:45-3x≤21,45-3x≥2,
解得8≤x≤,
∵S=-3x2+45x=-3+,
∴对称轴为直线x=,当8≤x≤时,S随x的增大而减小,∴当x=8时,S取得最大值168,∴矩形鸡舍ABCD面积S的最大值为168 m2,此时篱笆BC的长为8 m.
9已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.点M的坐标为(3,6),P是抛物线y=x2+1上一动点,则△PMF周长的最小值是(C)
A.5 B.9 C.11 D.13
10(2024·阜阳期中)在秋季文化艺术节活动中,汇泉中学开展了多场足球比赛,在某场比赛中,一个足球被从地面踢出,它距地面的高度h(m)关于足球被踢出后经过的时间t(s)的函数关系式是h=-5t2+v0t,其中v0(m/s)是足球被踢出时的速度,如果要求足球的最大高度达到20 m,那么足球被踢出时的速度应该达到(C)
A.5 m/s B.10 m/s
C.20 m/s D.40 m/s
11如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=8,D为AB中点,E,F分别是边AC,BC上的动点,E从A出发向C运动,同时F以相同的速度从C出发向B运动,F运动到B停止,当AE为 4 时,△ECF的面积最大.
12 (2024·济南期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动,如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设运动时间为t.
(1)AP=________,BP=________ ,BQ=________;
(2)当t为何值时,△PBQ的面积为32 cm2
(3)当t为何值时,△PBQ的面积最大
解:(1)根据题意得:AP=2t cm,BQ=4t cm,
∴BP=AB-AP=(12-2t)cm.
答案:2t cm (12-2t)cm 4t cm
(2)S△PBQ=·BP·BQ=×(12-2t)·4t=-4t2+24t=32,解得t=2或4.
∵=6 s,=6 s,∴0∴t=2或4都符合题意,即当t=2 s或4 s时,△PBQ的面积是32 cm2.
(3)由(2)可知S△PBQ=-4t2+24t=-4(t-3)2+36,∵-4<0,013新趋势·模型观念、空间观念
如图,将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形,剩余部分折成一个无盖的盒子.(纸板的厚度忽略不计).
(1)若该无盖盒子的底面积为900 cm2,求剪掉的正方形的边长;
(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值.
解:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,
则(40-2x)2=900,即40-2x=±30,
解得x1=35(不合题意,舍去),x2=5;
答:剪掉的正方形的边长为5 cm.
(2)设剪掉的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm2,
则y与x的函数解析式为y=4(40-2x)x,
即y=-8x2+160x,y=-8(x-10)2+800,
∵-8<0,∴y有最大值,
∴当x=10时,y最大=800;
答:折成的无盖盒子的侧面积的最大值是800 cm2.第3课时 建立坐标系解决实际抛物线问题
知识点 建立坐标系解决抛物线型实际问题
1[教材再开发·P51探究3变式]如图,一座抛物线形拱桥,桥下水面宽度是6 m时,拱顶到水面的距离是3 m,则当水面宽为4 m时,水面上升了 ( )
A. m B.1 m C. m D. m
2(2024·厦门期中)有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下水面宽度为20米,拱顶距离水平面4米,如图建立平面直角坐标系,若正常水位时,桥下水深6米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18米,则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行 ( )
A.6.24米 B.6.76米 C.7米 D.7.24米
3如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间
t= s.
4某菜农搭建一个横截面为抛物线形状的大棚如图所示,大棚跨度AB为6米,最高点C到地面的高度CD为2.5米,若菜农身高为1.6米,则他在不弯腰的情况下在大棚里左右活动的范围是 米.
5要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉,在广场中央竖直安装一根水管.在水管的顶点安一个喷水头,使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1 m处达到最高,且最高为3 m,水柱落地处离广场中央3 m,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求水管的长度.
(3)当音乐喷泉开始喷水时,在广场中央有一身高为1.5 m的男孩未及时跑到喷泉外,问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时,才不会淋湿衣裳
6(2024·合肥质检)如图,一座拱桥的轮廓是抛物线形,桥高10米,拱高8米,跨度
24米,相邻两支柱间的距离均为6米,则支柱MN的长度为 ( )
A.6米 B.5米 C.4.5米 D.4米
7(2024·衢州质检)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,如图,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-x2+x+2,由此可知铅球推出的距离是
m.
8(2024·深圳三模)如图,在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线,抛物线解析式的二次项系数为-0.1,已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米,距地面均为1米,以甲所在的地面的O点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)身高为1.65米的小红也想参加这个活动,请问她在跳绳时,头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米 (假定当绳甩到最高处时,学生双脚处于落地状态).
9新趋势·模型观念、应用意识
如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).
(1)若h=1.5,EF=0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围.
(2)若EF=1 m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形面积问题
知识点1 利用二次函数解决最值问题
1如图,已知二次函数的图象(0≤x≤1+2),关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是( )
A.有最大值2,无最小值
B.有最大值2,有最小值1.5
C.有最大值2,有最小值-2
D.有最大值1.5,有最小值-2
2已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3已知抛物线y=x2-4x+3,当3≤x≤4时,则该二次函数的最小值为 .
知识点2 利用二次函数解决图形面积的最值问题
4如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=8,则四边形ABCD的面积的最大值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5已知一个直角三角形的两直角边长度之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是( )
A.25 cm2 B.50 cm2
C.75 cm2 D.不确定
6生活情境题用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,那么这个窗户的最大透光面积为( )
A. m2 B. m2 C.2 m2 D.4 m2
7(2024·阜阳期中)在菱形ABCD中,对角线AC,BD的和是20 cm,则这个菱形的面积的最大值是 cm2.
练易错 实际问题中忽视自变量的取值范围而致错
8如图,计划用总长为43 m的篱笆围成一个矩形鸡舍ABCD,其中一边AB是墙(可利用的墙的长度为21 m),中间共留两个1 m的小门,设篱笆BC长为x m.
(1)AB的长为________m(用含x的代数式表示);
(2)求矩形鸡舍ABCD面积S的最大值及此时篱笆BC的长.
9已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.点M的坐标为(3,6),P是抛物线y=x2+1上一动点,则△PMF周长的最小值是( )
A.5 B.9 C.11 D.13
10(2024·阜阳期中)在秋季文化艺术节活动中,汇泉中学开展了多场足球比赛,在某场比赛中,一个足球被从地面踢出,它距地面的高度h(m)关于足球被踢出后经过的时间t(s)的函数关系式是h=-5t2+v0t,其中v0(m/s)是足球被踢出时的速度,如果要求足球的最大高度达到20 m,那么足球被踢出时的速度应该达到( )
A.5 m/s B.10 m/s
C.20 m/s D.40 m/s
11如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=8,D为AB中点,E,F分别是边AC,BC上的动点,E从A出发向C运动,同时F以相同的速度从C出发向B运动,F运动到B停止,当AE为 时,△ECF的面积最大.
12 (2024·济南期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动,如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设运动时间为t.
(1)AP=________,BP=________ ,BQ=________;
(2)当t为何值时,△PBQ的面积为32 cm2
(3)当t为何值时,△PBQ的面积最大
13新趋势·模型观念、空间观念
如图,将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形,剩余部分折成一个无盖的盒子.(纸板的厚度忽略不计).
(1)若该无盖盒子的底面积为900 cm2,求剪掉的正方形的边长;
(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值.
