22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系
1(2024·吉林期中)将二次函数y=2x2+4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式为(C)
A.y=2(x-1)2+8 B.y=2(x+1)2-4
C.y=2(x+1)2-8 D.y=2(x+2)2-10
2二次函数y=x2-4x+6的图象的顶点坐标为(A)
A.(2,2) B.(-2,2)
C.(4,6) D.(-4,6)
3[教材再开发·P37思考变式]若将一元二次方程x2-4x-7=0化为(x-2)2=11,则y=x2-4x-7的顶点坐标为 (2,-11) .
4已知二次函数y=(x-1)2-4.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P的坐标;
(2)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,求△ABP的面积.
解:(1)∵y=(x-1)2-4,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=1,顶点P的坐标为(1,-4);
(2)如图,
∵A(-1,0),B(3,0),顶点P的坐标为(1,-4),∴S△ABP=×4×4=8.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
5抛物线y=x2-4x+2的对称轴是直线(A)
A.x=2 B.x=-2
C.x=4 D.x=-4
6二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(D)
A.a>0,b>0,c>0
B.a<0,b<0,c<0
C.a<0,b>0,c<0
D.a<0,b>0,c>0
7已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为直线 x=3 .
8二次函数y=ax2+bx-3中x,y满足下表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -3 -4 -3 m …
则表中m的值为 0 .
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象变换
9抛物线y=x2-4x+3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移方法正确的是(D)
A.先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
10抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是 (3,5) .
练易错 求最值时忽视自变量范围而致错
11已知抛物线y=x2-2x-2,则当0≤x≤4时,函数的最大值为 6 .
12二次函数y=-x2+2x+m2的最大值为3,则m的值为(A)
A.± B.± C.2 D.±2
13对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是(D)
A.该抛物线开口向下
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.图象的对称轴是直线x=-1
D.该图象与y轴交于点(0,-6)
14如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax-b与二次函数y=ax2+bx+2的图象大致可能是(D)
15抛物线y=x2+3x+2不经过第 四 象限.
16在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位长度,所得到的抛物线的顶点坐标是 (1,-3) .
17已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(-2,0),对称轴为直线x=-.对于下列结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③a+b+c=0;
④am2+bm<(a-2b) (其中m≠-);⑤若A(x1,y1)和B(x2,y2)均在该函数图象上,且x1>x2>1,则y1>y2.其中正确结论的个数共有 3 个.
18新趋势·模型观念、几何直观
一个滑雪者从山坡滑下,为了得出滑行距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)之间的关系式,测得一些数据(如表).
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48
【实验猜想】
(1)为观察s与t之间的关系,请在坐标系中描出表中数据对应的5个点,并用平滑曲线连接它们.
(2)试猜想此图象应该是我们已经学过的函数图象________的一部分,因此,s应该是t的________函数.
【推理验证】
(3)试求出函数关系式.
【数据分析】
(4)滑雪者滑行5 s,滑行距离s是多少
(5)若滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176 m,他需要多长时间才能到达终点
解:(1)如图所示:
(2)根据图象猜想是抛物线的一部分,因此s应该是t的二次函数.
答案:抛物线 二次
(3)设s关于t的函数关系式为s=at2+bt,将(1,4.5),(2,14)代入s=at2+bt,得
,解得,
∴s关于t的函数关系式为s=t2+2t.
(4)当t=5时,s=×52+2×5=72.5(m).
∴当滑行时间为5 s时,滑雪者的滑行距离为72.5 m.
(5)由题意可知,把s=176代入方程得t2+2t=176,解得t=8,t=-(舍去).
答:他需要8 s才能到达终点.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系
1(2024·吉林期中)将二次函数y=2x2+4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式为( )
A.y=2(x-1)2+8 B.y=2(x+1)2-4
C.y=2(x+1)2-8 D.y=2(x+2)2-10
2二次函数y=x2-4x+6的图象的顶点坐标为( )
A.(2,2) B.(-2,2)
C.(4,6) D.(-4,6)
3[教材再开发·P37思考变式]若将一元二次方程x2-4x-7=0化为(x-2)2=11,则y=x2-4x-7的顶点坐标为 .
4已知二次函数y=(x-1)2-4.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P的坐标;
(2)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,求△ABP的面积.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
5抛物线y=x2-4x+2的对称轴是直线( )
A.x=2 B.x=-2
C.x=4 D.x=-4
6二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.a>0,b>0,c>0
B.a<0,b<0,c<0
C.a<0,b>0,c<0
D.a<0,b>0,c>0
7已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为直线 .
8二次函数y=ax2+bx-3中x,y满足下表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -3 -4 -3 m …
则表中m的值为 .
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象变换
9抛物线y=x2-4x+3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移方法正确的是( )
A.先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
10抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是 .
练易错 求最值时忽视自变量范围而致错
11已知抛物线y=x2-2x-2,则当0≤x≤4时,函数的最大值为 .
12二次函数y=-x2+2x+m2的最大值为3,则m的值为( )
A.± B.± C.2 D.±2
13对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( )
A.该抛物线开口向下
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.图象的对称轴是直线x=-1
D.该图象与y轴交于点(0,-6)
14如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax-b与二次函数y=ax2+bx+2的图象大致可能是( )
15抛物线y=x2+3x+2不经过第 象限.
16在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位长度,所得到的抛物线的顶点坐标是 .
17已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(-2,0),对称轴为直线x=-.对于下列结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③a+b+c=0;
④am2+bm<(a-2b) (其中m≠-);⑤若A(x1,y1)和B(x2,y2)均在该函数图象上,且x1>x2>1,则y1>y2.其中正确结论的个数共有 个.
18新趋势·模型观念、几何直观
一个滑雪者从山坡滑下,为了得出滑行距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)之间的关系式,测得一些数据(如表).
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48
【实验猜想】
(1)为观察s与t之间的关系,请在坐标系中描出表中数据对应的5个点,并用平滑曲线连接它们.
(2)试猜想此图象应该是我们已经学过的函数图象________的一部分,因此,s应该是t的________函数.
【推理验证】
(3)试求出函数关系式.
【数据分析】
(4)滑雪者滑行5 s,滑行距离s是多少
(5)若滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176 m,他需要多长时间才能到达终点
