第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
知识点1 二次函数的定义
1(2024·杭州期中)下列解析式中,y是关于x的二次函数的是(B)
A.y=2x B.y=x2
C.y= D.y=x3+1
2圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是(C)
A.S是R的正比例函数
B.S是R的一次函数
C.S是R的二次函数
D.以上答案都不对
3(2024·广州越秀区质检)已知函数y=(m-1)+5x+3是关于x的二次函数,则m的值为 -1 .
4已知函数y=(a-2)+(a-3)x.
(1)当a为何值时,此函数是二次函数
(2)当a为何值时,此函数是正比例函数
解:(1)由题意得,a2-a=2且a-2≠0,解得a=-1,
∴当a=-1时,此函数是二次函数;
(2)由题意得a2-a=1且a-2+a-3≠0或a-2=0且a-3≠0,
解得a=或或2,
当a=或或2时,此函数是正比例函数.
知识点2 实际问题中的二次函数关系
5[教材再开发·P28问题1,2变式]下列每组变量之间的关系为二次函数的是(D)
A.正方形周长y与边长x的关系
B.菱形面积S一定时,两条对角线的长a与b的关系
C.速度v一定时,路程s与时间t的关系
D.等边三角形的面积S与边长x的关系
6(2024·周口期中)正方形的边长为3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的关系式为(A)
A.y=x2+6x B.y=x2+6x+9
C.y=x2-6x D.y=x2-6x-9
7某工厂本年度的产值为100万元,若在今后两年里产值的年增长率均为x,两年后的产值为y万元.那么y关于x的函数解析式是 y=100(1+x)2 .
练易错 忽略二次项系数不为0而出错
8已知函数y=m(m+2)x2+mx+m+1.
(1)当m为何值时,此函数是一次函数
(2)当m为何值时,此函数是二次函数
解:(1)∵函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是一次函数,
∴m(m+2)=0且m≠0,解得m=-2,
∴当m=-2时,此函数是一次函数;
(2)∵函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是二次函数,∴m(m+2)≠0,
解得m≠-2且m≠0,
∴当m≠-2且m≠0时,此函数是二次函数.
9下列y关于x的函数中,一定是二次函数的有(A)
①y=ax2+bx+c;②y=;③y=-x2;④y=(2x+1)2-4x2;⑤y=100-25x2.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,则m的取值范围是(C)
A.m≠0 B.m≠-1
C.m≠0,且m≠-1 D.m=-1
11若y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数,则一次函数y=mx+m的图象不经过第 四 象限.
12已知二次函数y=-x2+bx+3,当x=2时,y=3.则这个二次函数的解析式是 y=-x2+2x+3 .
13已知:y=y1+y2,y1与x2成正比,y2与x-2成正比,当x=1时,y=1;当x=-1时,y=-5.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)求x=0时,y的值.
解:(1)∵y=y1+y2,y1与x2成正比,y2与x-2成正比,∴设y1=k1x2,y2=k2(x-2).
∴y=k1x2+k2(x-2).
∵当x=1时,y=1;当x=-1时,y=-5,
∴解得
∴y=4x2+3(x-2)=4x2+3x-6.
即y与x的函数关系式是y=4x2+3x-6.
(2)当x=0时,y=4×02+3×0-6=-6.
即x=0时,y的值是-6.
14已知函数y=(m+3)+(m+2)x+3(其中x≠0).
(1)当m为何值时,y是x的二次函数
(2)当m为何值时,y是x的一次函数
解:(1)根据题意,得m+3≠0且m2+m-4=2,解得m=2,
即当m=2时,y是x的二次函数;
(2)①当m+3=0且m+2≠0,即m=-3时,y是x的一次函数;
②当m2+m-4=0且m+2≠0,y是x的一次函数,解得m=;
③当m2+m-4=1且m+3+m+2≠0时,y是x的一次函数,解得m=;
∴当m=-3或或时,y是x的一次函数.
15新趋势·推理能力、模型观念
如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,观察下列图形并解答有关问题:
(1)在第n个图中,共有________块白色瓷砖,共有________块黑色瓷砖(均用含n的代数式表示);
(2)设铺设地面所用瓷砖总数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)若铺设这样的矩形地面共用了506块瓷砖,通过计算求此时n的值;
(4)是否存在n,使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等 说明理由.
解:(1)在第n个图中,共有n(n+1)块白色瓷砖,共有4n+6块黑色瓷砖;
答案:n(n+1) 4n+6
(2)y=n2+5n+6
(3)n2+5n+6=506.
解得n1=20,n2=-25(不合题意,舍去).
∴n的值为20.
(4)由题意,得n(n+1)=4n+6.
解得n1=,n2=(舍去).又因为不是正整数,∴不存在n使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等.第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
知识点1 二次函数的定义
1(2024·杭州期中)下列解析式中,y是关于x的二次函数的是( )
A.y=2x B.y=x2
C.y= D.y=x3+1
2圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是( )
A.S是R的正比例函数
B.S是R的一次函数
C.S是R的二次函数
D.以上答案都不对
3(2024·广州越秀区质检)已知函数y=(m-1)+5x+3是关于x的二次函数,则m的值为 .
4已知函数y=(a-2)+(a-3)x.
(1)当a为何值时,此函数是二次函数
(2)当a为何值时,此函数是正比例函数
知识点2 实际问题中的二次函数关系
5[教材再开发·P28问题1,2变式]下列每组变量之间的关系为二次函数的是( )
A.正方形周长y与边长x的关系
B.菱形面积S一定时,两条对角线的长a与b的关系
C.速度v一定时,路程s与时间t的关系
D.等边三角形的面积S与边长x的关系
6(2024·周口期中)正方形的边长为3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的关系式为( )
A.y=x2+6x B.y=x2+6x+9
C.y=x2-6x D.y=x2-6x-9
7某工厂本年度的产值为100万元,若在今后两年里产值的年增长率均为x,两年后的产值为y万元.那么y关于x的函数解析式是 .
练易错 忽略二次项系数不为0而出错
8已知函数y=m(m+2)x2+mx+m+1.
(1)当m为何值时,此函数是一次函数
(2)当m为何值时,此函数是二次函数
9下列y关于x的函数中,一定是二次函数的有( )
①y=ax2+bx+c;②y=;③y=-x2;④y=(2x+1)2-4x2;⑤y=100-25x2.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,则m的取值范围是( )
A.m≠0 B.m≠-1
C.m≠0,且m≠-1 D.m=-1
11若y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数,则一次函数y=mx+m的图象不经过第 象限.
12已知二次函数y=-x2+bx+3,当x=2时,y=3.则这个二次函数的解析式是 .
13已知:y=y1+y2,y1与x2成正比,y2与x-2成正比,当x=1时,y=1;当x=-1时,y=-5.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)求x=0时,y的值.
14已知函数y=(m+3)+(m+2)x+3(其中x≠0).
(1)当m为何值时,y是x的二次函数
(2)当m为何值时,y是x的一次函数
15新趋势·推理能力、模型观念
如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,观察下列图形并解答有关问题:
(1)在第n个图中,共有________块白色瓷砖,共有________块黑色瓷砖(均用含n的代数式表示);
(2)设铺设地面所用瓷砖总数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)若铺设这样的矩形地面共用了506块瓷砖,通过计算求此时n的值;
(4)是否存在n,使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等 说明理由.
